ตัวประมาณที่ไม่เอนเอียงสำหรับตัวแปรสุ่มสองตัวที่เล็กกว่า

13

สมมติว่าและ $X \sim \mathcal{N}(\mu_x, \sigma^2_x)$ $Y \sim \mathcal{N}(\mu_y, \sigma^2_y)$

ฉันสนใจในmu_y) มีตัวประมาณค่าที่เป็นกลางสำหรับหรือไม่ $z = \min(\mu_x, \mu_y)$ $z$

ตัวประมาณอย่างง่ายของ $\min(\bar{x}, \bar{y})$ โดยที่ $\bar{x}$ และ $\bar{y}$ เป็นตัวอย่างค่าเฉลี่ยของ $X$ และ $Y$ ตัวอย่างเช่นมีความเอนเอียง (แม้ว่าจะสอดคล้องกัน) มันมีแนวโน้มที่ undershoot Z $z$

ฉันไม่สามารถคิดถึงตัวประมาณค่าที่เป็นกลางสำหรับ $z$ ได้ มีอยู่จริงไหม?

ขอบคุณสำหรับความช่วยเหลือ

random-variable unbiased-estimator minimum

— pazam
แหล่งที่มา

8

นี่เป็นเพียงความคิดเห็นสองสามข้อไม่ใช่คำตอบ (มีจุดตัวแทนไม่เพียงพอ)

(1) มีสูตรที่ชัดเจนสำหรับอคติของตัวประมาณอย่างง่ายที่นี่: $min(\bar{x},\bar{y})$

Clark, CE 1961, มี.ค. - เม.ย. ชุดสุ่มตัวแปรที่ยิ่งใหญ่ที่สุด การวิจัยการดำเนินงาน 9 (2): 145–162

ไม่แน่ใจว่าสิ่งนี้จะช่วยได้อย่างไร

(2) นี่เป็นเพียงสัญชาตญาณ แต่ฉันคิดว่าตัวประมาณนี้ไม่มีอยู่จริง หากมีเป็นเช่นประมาณการก็ควรจะเป็นกลางเมื่อ\ดังนั้น 'การลดระดับ' ใด ๆ ที่ทำให้ตัวประมาณน้อยกว่าค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของตัวอย่างทั้งสองหมายความว่าทำให้ตัวประมาณมีความลำเอียงสำหรับกรณีนี้ $\mu_x=\mu_y=\mu$

— หรือซุก
แหล่งที่มา

1

เป็นไปได้ว่าการแก้ไขใด ๆ อาจจบลงด้วยการมีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์สำหรับกรณีนี้

— พระคาร์ดินัล

เพื่ออธิบายให้ชัดเจน แต่ฉันไม่ได้อ้างว่าฉันเชื่อว่ามีตัวประมาณที่เป็นกลาง ในความเป็นจริงผมเห็นมีแนวโน้มที่จะไม่

— พระคาร์ดินัล

1

ใช่เห็นด้วย - นี่เป็นเพียงสัญชาตญาณ กระดาษต่อไปนี้ให้เงื่อนไขสำหรับการมีอยู่ของตัวประมาณค่าแบบไม่เอนเอียงสำหรับฟังก์ชันของค่าเฉลี่ยแบบเกาส์ univariate - อาจขยายไปยังหลายตัวแปร: stat.ncsu.edu/library/mimeo.archive/ISMS_1988_1929.pdf

— หรือ Zuk

การรู้อคติสามารถช่วยได้คุณสามารถแก้ไขเพื่อให้ได้ตัวประมาณที่เป็นกลาง จริง ๆ แล้วฉันลงเส้นทางนี้ แต่การคำนวณอคติที่แน่นอนต้องการให้คุณมีและ - ซึ่งเราไม่ได้ ดังนั้นโดยธรรมชาติฉันพยายามใช้ค่าเฉลี่ยตัวอย่างแทนเพื่อดูว่าเกิดอะไรขึ้น ดูเหมือนจะไม่ช่วย ในการจำลองตัวประมาณที่ถูกต้องจะแสดงอคติด้วย ฉันเอนตัวไปยังผู้ประมาณค่าที่ไม่มีอคติ แต่ไม่มีหลักฐานที่ดีสำหรับมัน

u_{x}

$u_x$

u_{y}

$u_y$

— pazam

5

คุณถูกต้องที่ไม่มีการประมาณที่เป็นกลาง ปัญหาคือว่าพารามิเตอร์ที่น่าสนใจไม่ได้เป็นฟังก์ชั่นที่ราบรื่นของการกระจายข้อมูลพื้นฐานเนื่องจากไม่ใช่อนุพันธ์ที่\ $\mu_x=\mu_y$

หลักฐานมีดังนี้ ให้เป็นตัวประมาณที่ไม่เอนเอียง จากนั้น\} ด้านซ้ายมือสามารถสร้างความแตกต่างได้ทุกที่ที่เกี่ยวข้องกับและ (แยกความแตกต่างภายใต้สัญลักษณ์อินทิกรัล) อย่างไรก็ตามทางด้านขวาจะไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่ซึ่งนำไปสู่ความขัดแย้ง $T(X,Y)$ $E_{\mu_x,\mu_y}[T(X,Y)]=\min\{\mu_x,\mu_y\}$ $\mu_x$ $\mu_y$ $\mu_x=\mu_y$

Hirano และ Porter มีหลักฐานทั่วไปในกระดาษ Econometrica ที่กำลังจะมาถึง (ดูข้อเสนอที่ 1) นี่คือรุ่นกระดาษทำงาน:

http://www.u.arizona.edu/~hirano/papers/hp4_2011_11_03.pdf

— user8817
แหล่งที่มา

ดีมาก! ขอบคุณสำหรับการติดตามคำถามนี้

— whuber

1

มีตัวประมาณค่าต่ำสุด (หรือสูงสุด) ของชุดของตัวเลขที่กำหนดเป็นตัวอย่าง ดู Laurens de Haan "การประมาณค่าขั้นต่ำของฟังก์ชันโดยใช้สถิติการสั่งซื้อ" JASM, 76 (374), มิถุนายน 1981, 467-469

— Jan Galkowski
แหล่งที่มา

น่าเสียดายที่ฉันไม่คิดว่ากระดาษที่คุณอ้างถึงปัญหานี้ กระดาษเกี่ยวข้องกับเมื่อคุณมีชุดของตัวแปรสโตแคสติก A และหาองค์ประกอบที่เล็กที่สุดใน A ถึงการสุ่มตัวอย่าง ในบริบทของปัญหานี้แต่ละองค์ประกอบใน A จะเป็นตัวแปรสุ่มและในนั้นจะเป็นตัวเลือก คุณต้องหาตัวประมาณค่าที่ไม่เอนเอียงของค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่มที่เล็กที่สุดใน A.

— pazam

0

ฉันค่อนข้างแน่ใจว่าไม่มีตัวประมาณที่เป็นกลาง แต่ตัวประมาณที่ไม่เอนเอียงไม่ได้มีอยู่สำหรับปริมาณส่วนใหญ่และความเป็นกลางไม่ได้เป็นคุณสมบัติที่ต้องการโดยเฉพาะในตอนแรก ทำไมคุณต้องการที่นี่?

ตัวอย่างมีราคาแพงดังนั้นฉันจึงไม่สามารถเพิ่มขนาดตัวอย่างได้จนกว่าอคติจะหายไป ต้องการความเป็นกลางเพราะฉันใช้ผลลัพธ์ของตัวประมาณเป็นในการถดถอยเชิงเส้น การมีอคติหมายความว่าจะมีการรบกวนที่ไม่ปกติซึ่งเทียบเท่ากับข้อผิดพลาดของข้อกำหนดและนำไปสู่ความยุ่งเหยิง ฉันไม่สามารถประมาณความชันความแปรปรวนสร้างช่วงความมั่นใจได้อย่าง

Y

$Y$

Y

$Y$

— แม่นยำ