Kurtosis ของการแจกแจงเกี่ยวข้องกับเรขาคณิตของฟังก์ชันความหนาแน่นอย่างไร

12

Kurtosis คือการวัดความแหลมและความเรียบของการแจกแจง ฟังก์ชันความหนาแน่นของการแจกแจงหากมีอยู่สามารถดูเป็นเส้นโค้งและมีคุณสมบัติทางเรขาคณิต (เช่นความโค้งความนูน, ... ) ที่เกี่ยวข้องกับรูปร่างของมัน

ดังนั้นฉันจึงสงสัยว่า kurtosis ของการแจกแจงนั้นเกี่ยวข้องกับคุณสมบัติทางเรขาคณิตของฟังก์ชันความหนาแน่นซึ่งสามารถอธิบายความหมายทางเรขาคณิตของ kurtosis ได้หรือไม่?

kurtosis geometry

— ทิม
แหล่งที่มา

ฉันขอความสัมพันธ์บางอย่างในสูตรกับจำนวนเรขาคณิตของเส้นโค้งความหนาแน่นไม่เพียง แต่ความหมายที่คลุมเครือที่ฉันชี้ให้เห็นในโพสต์ของฉัน หรือเป็นเรื่องดีที่มีคำอธิบายว่าทำไม Kurtosis จึงมีความหมายทางเรขาคณิต

— ทิม

@ Peter ที่อยู่ไกลจากความจริง หนึ่งสามารถแก้ไขรูปทรงเรขาคณิตของกราฟของ PDF เกือบโดยพลการโดยไม่ต้องเปลี่ยนช่วงเวลาที่ระบุ (จำนวน จำกัด ของ) ใด ๆ

— whuber

คำถามที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดที่stats.stackexchange.com/questions/25010/..แสดงให้เห็นว่าคำตอบที่ถูกต้องสำหรับคำถามนี้คืออะไร

— whuber

@ โฮเบอร์ในขณะที่ฉันเห็นด้วยและขอบคุณสำหรับตัวอย่างนั้นฉันยังสงสัยว่ามันจะไม่พูดเกี่ยวกับคุณสมบัติที่โดดเด่นของครอบครัวในรูปแบบ pdf โดยเฉพาะมากกว่าที่เกี่ยวกับความโด่งโดยทั่วไป

— user603

@ user603 นั่นเป็นสิ่งที่ดีที่จะสงสัย อย่างไรก็ตามคำแถลงไม่เกี่ยวกับตระกูลนี้: มันเกิดขึ้นที่การกระจาย lognormal หนึ่งสามารถสร้างการแสดงออกที่ชัดเจนของชั้นของไฟล์ PDF ทางเลือกที่มีช่วงเวลาเดียวกัน มันเป็นพิเศษที่ทุกคนในช่วงเวลาที่มีความเหมือนกัน แต่รบกวนการกระจายมากที่สุดในทางที่แก้ไขจำนวน จำกัด ในช่วงเวลาที่พวกเขาจะไม่ยาก (มันยากสำหรับการแจกแจงแบบไม่ต่อเนื่องเช่น Bernoulli แต่ไม่มี PDF)

— whuber

17

ช่วงเวลาของการแจกแจงแบบต่อเนื่องและฟังก์ชั่นของพวกมันเช่นเคิร์ตซีสบอกคุณน้อยมากเกี่ยวกับกราฟของฟังก์ชันความหนาแน่นของมัน

ยกตัวอย่างเช่นกราฟต่อไปนี้

ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

แต่ละสิ่งเหล่านี้คือกราฟของฟังก์ชั่นที่ไม่เป็นลบที่รวมเข้ากับ : เป็นไฟล์ PDF ทั้งหมด ยิ่งไปกว่านั้นพวกเขาต่างก็มีช่วงเวลาที่เหมือนกันทุกครั้งไม่ จำกัด ดังนั้นพวกเขาจึงแบ่งปัน kurtosis ที่พบบ่อย (ซึ่งเกิดขึ้นกับ ) $1$ $-3+3 e^2+2 e^3+e^4$

สูตรสำหรับฟังก์ชั่นเหล่านี้คือ

f_{k, s} (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π} x} \exp (- \frac{1}{2} (\log (x))^{2}) (1 + s \sin (2 k π \log (x))

$f_{k,s}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}x} \exp\left(-\frac{1}{2}(\log(x))^2\right)\left(1 + s\sin(2 k \pi \log(x)\right)$

สำหรับและ $x \gt 0,$ $-1\le s\le 1,$ $k\in\mathbb{Z}.$

รูปแสดงค่าที่ด้านซ้ายและค่าด้านบน คอลัมน์ซ้ายแสดง PDF สำหรับการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน $s$ $k$

แบบฝึกหัด 6.21 ในทฤษฎีขั้นสูงทางสถิติของเคนดัลล์ (Stuart & Ord, รุ่นที่ 5) ขอให้ผู้อ่านแสดงให้เห็นว่าสิ่งเหล่านี้มีช่วงเวลาเดียวกัน

เราสามารถปรับเปลี่ยนpdf ใดก็ได้เพื่อสร้างรูปแบบที่แตกต่างกันอย่างสิ้นเชิงในรูปแบบ pdf แต่ด้วยช่วงเวลากลางที่สองและสี่ที่เหมือนกัน (พูด) ซึ่งจะมีความเหมือนกัน จากตัวอย่างนี้เพียงอย่างเดียวมันควรจะชัดเจนว่า kurtosis ไม่ใช่การวัดหรือการหยั่งรู้ได้ง่ายของสมมาตร, unimodality, bimodality, นูนหรือลักษณะทางเรขาคณิตที่คุ้นเคยอื่น ๆ ของเส้นโค้ง

ฟังก์ชั่นของช่วงเวลาดังนั้น (และ kurtosis เป็นกรณีพิเศษ) ไม่ได้อธิบายคุณสมบัติทางเรขาคณิตของกราฟของ pdf วิธีนี้เหมาะสม: เนื่องจาก pdf หมายถึงความน่าจะเป็นโดยวิธีการของพื้นที่เราสามารถเปลี่ยนความหนาแน่นของความน่าจะเป็นได้อย่างอิสระจากที่หนึ่งไปอีกที่หนึ่งเปลี่ยนการปรากฏตัวของ pdf อย่างรุนแรงในขณะเดียวกันก็กำหนดช่วงเวลาที่แน่นอน

— whuber
แหล่งที่มา

1

"จากตัวอย่างนี้เพียงอย่างเดียวมันควรจะชัดเจนมาก ... ลักษณะทางเรขาคณิตที่คุ้นเคยอื่น ๆ ของเส้นโค้ง" ฉันเข้าใจสิ่งที่คุณหมายถึง แต่มีเหตุผลสำหรับความแตกต่างที่เหมาะสมในการตีความที่นี่ การตีความอีกอย่างคือของดาร์ลิงตันผู้ซึ่งแสดงให้เห็นว่าการเริ่มต้นจากการกระจายแบบสมมาตรการเคลื่อนย้ายมวลที่จุดเฉพาะนั้นจะเพิ่ม / ลดความหนา (อีกครั้งไม่ใช่ความขัดแย้งของตัวอย่างของคุณ

— user603

1

@ user603 ฉันไม่เห็นด้วย แต่ฉันคิดว่าวิธีการ "บวก" มองเห็นสมมติฐานที่พิเศษมากที่สร้างขึ้นโดยปริยายเพื่อให้สามารถใช้งานได้ทั้งหมด เราสามารถเริ่มด้วยกราฟของ PDF ที่ไม่สมมาตรอย่างมากซึ่งความเบ้เป็นศูนย์ (ไม่ยากที่จะสร้าง) ดังนั้นวิธีการในเชิงบวกเพียงอธิบายสิ่งที่เกิดขึ้นกับ PDF พิเศษบางอย่างเมื่อมีการย้าย แม้ว่ามันจะมีประโยชน์มากสำหรับการหยั่งรู้

— whuber

1

ฉันเห็นด้วยกับความเบ้ (และสำหรับคำตอบของคุณโดยทั่วไป) แต่ความสามารถของ kurtosis นั้นมีค่าน้อยที่สุด ทำให้สิ่งต่าง ๆ น่าสนใจยิ่งขึ้น

— user603

1

@ user603 ขอบคุณ; นั่นคือความแตกต่างที่ลึกซึ้ง ฉันไม่คิดว่ามันจะเปลี่ยนแปลงข้อสรุปใด ๆ ในปัจจุบันในรูปแบบที่สำคัญ แต่แน่นอนช่วยปรีชาและชี้ไปที่ความแตกต่างที่สำคัญระหว่างคู่และช่วงเวลาแปลก ๆ

— whuber

6

สำหรับการแจกแจงแบบสมมาตร (นั่นคือช่วงเวลาที่มีความหมายเป็นศูนย์กลางแม้จะมีความหมาย) kurtosis วัดคุณลักษณะทางเรขาคณิตของ pdf พื้นฐาน มันไม่เป็นความจริงที่มาตรการเคิร์ตซีส (หรือโดยทั่วไปเกี่ยวข้อง) กับความแหลมของการกระจาย แต่ kurtosis จะวัดว่าการกระจายนั้นอยู่ที่เท่าไหร่จากสมมาตรและ bimodal (พีชคณิตการกระจายแบบสมมาตรและ bimodal ที่สมบูรณ์แบบนั้นจะมี kurtosis 1 ซึ่งเป็นค่าที่เล็กที่สุดที่เป็นไปได้ของ kurtosis) [0]

โดยสรุป [1] หากคุณกำหนด:

k = E (x - μ)^{4} / σ^{4}

$k=E(x-\mu)^4/\sigma^4$

$E(X)=\mu,V(X)=\sigma^2$

k = V (Z^{2}) + 1 \geq 1

$k=V(Z^2)+1\ge1$

$Z=(X-\mu)/\sigma$

$k$ $Z^2$

[0] RB ดาร์ลิงตัน (1970) Kurtosis เป็น "Peakedness จริง ๆ หรือไม่" ชาวอเมริกันสถิติฉบับ 24 หมายเลข 2

[1] JJA Moors (1986). ความหมายของ Kurtosis: Darlington Reexamined นักสถิติชาวอเมริกันเล่มที่ 40 ฉบับที่ 4

— user603
แหล่งที่มา

1

ทุกที่ที่คุณเขียน "bimodal" คุณอาจหมายถึง "unimodal" หรือไม่?

— whuber

1

f

$f$

μ

$\mu$

g (x) = (f (x) + f (2 μ - x)) / 2.

$g(x) = (f(x)+f(2\mu-x))/2.$

g

$g$

1

$1$ . อย่างน้อยที่สุด kurtosis ก็ไม่ได้พูดถึงสิ่งใดที่เกี่ยวกับ bimodality มันไม่ได้อธิบายคุณสมบัติเชิงเรขาคณิตของ pdf อย่างแน่นอน

— whuber

1

ให้เราพูดคุยกันต่อไปในแชท

— whuber

1

Kurtosis ไม่ได้บ่งบอกถึงความน่าเชื่อถือ bimodality ยกเว้นในกรณีที่รุนแรงที่สุดซึ่งอยู่ใกล้ขั้นต่ำสุดซึ่งมันบ่งบอกถึงบางสิ่งที่คล้ายกับการกระจายแบบสองจุดที่ติดตั้งได้ คุณสามารถมีการแจกแจงแบบ bimodal ด้วยค่า kurtosis ทุกค่าที่เป็นไปได้ ดูncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC4321753สำหรับตัวอย่าง

— Peter Westfall

1

p

$p$

p

$p$

v \to 0

$v \rightarrow 0$

5

[NB นี้ถูกเขียนเพื่อตอบคำถามอื่นในไซต์; คำตอบถูกรวมเข้ากับคำถามปัจจุบัน นี่คือเหตุผลที่คำตอบนี้ดูเหมือนจะตอบคำถามที่แตกต่างออกไป อย่างไรก็ตามโพสต์ส่วนใหญ่ควรเกี่ยวข้องที่นี่]

Kurtosis ไม่ได้วัดรูปร่างของการแจกแจงจริงๆ ในบางครอบครัวที่มีการแจกจ่ายคุณสามารถพูดได้ว่ามันอธิบายรูปร่าง แต่โดยทั่วไปความโด่งไม่ได้บอกคุณมากเกี่ยวกับรูปร่างที่แท้จริง รูปร่างนั้นได้รับผลกระทบจากหลาย ๆ อย่างรวมถึงสิ่งที่ไม่เกี่ยวข้องกับการเป็นลมพิษ

หากมีภาพที่ค้นหาภาพเสมือนจริงจะมีไม่กี่ภาพเช่นนี้

ซึ่งดูเหมือนจะแสดงให้เห็นถึงความแปรปรวนที่เปลี่ยนไปแทนที่จะเพิ่มความโด่ง สำหรับการเปรียบเทียบนี่คือความหนาแน่นปกติสามแบบที่ฉันเพิ่งใช้ (ใช้ R) กับค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานที่แตกต่างกัน:

ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

อย่างที่คุณเห็นมันดูเหมือนกับภาพก่อนหน้าเกือบจะเหมือนกัน สิ่งเหล่านี้ล้วนมีความเหมือนกัน ในทางตรงกันข้ามนี่คือตัวอย่างที่อาจใกล้เคียงกับแผนภาพที่มีเป้าหมาย

ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

$\sqrt{6}$

นี่คือสิ่งที่ผู้คนมักจะหมายถึงเมื่อพวกเขาพูดถึง kurtosis แสดงรูปร่างของความหนาแน่น อย่างไรก็ตาม kurtosis อาจบอบบาง - ไม่ต้องทำงานอย่างนั้น

ตัวอย่างเช่นที่ความแปรปรวนที่กำหนดความสามารถในการรับแรงกระแทกที่สูงกว่านั้นสามารถเกิดขึ้นได้จริงด้วยค่าสูงสุดที่ต่ำกว่า

เราต้องระวังสิ่งล่อใจ (และในหนังสือไม่กี่เล่มที่ระบุไว้อย่างเปิดเผย) ว่าศูนย์ความเกินส่วนเกินหมายถึงบรรทัดฐาน มีการแจกแจงด้วย kurtosis ส่วนเกิน 0 ซึ่งไม่มีอะไรเหมือนปกติ นี่คือตัวอย่าง:

dgam 2.3

อันที่จริงยังแสดงให้เห็นถึงจุดก่อนหน้า ฉันสามารถสร้างการกระจายตัวที่ดูคล้าย ๆ กันด้วยความโด่งสูงกว่าปกติ แต่ยังคงเป็นศูนย์ที่ศูนย์ - ไม่มีตัวตนสูงสุด

มีจำนวนโพสต์ในเว็บไซต์ที่อธิบายถึงความรุนแรงมากขึ้น ตัวอย่างหนึ่งคือที่นี่

— Glen_b -Reinstate Monica
แหล่งที่มา

แต่ฉันไม่ได้พูดมัน? หนังสือเล่มนี้บอกว่ามัน?

— สถิติ Tistician

ฉันรู้แล้ว. ฉันไม่เคยบอกว่าคุณพูด คุณจะแนะนำให้ฉันตอบงบที่ไม่ถูกต้องโจ่งแจ้งที่คุณถามได้อย่างไร แค่แกล้งทำเป็นว่าพวกเขาไม่ผิด

— Glen_b -Reinstate Monica

1

@Glen_b รูปภาพไม่ได้มาจากหนังสือ หนังสือเล่มนี้ไม่ได้ให้ภาพประกอบ ฉันใช้การค้นหารูปภาพ goolge สำหรับภาพประกอบเหล่านี้

— สถิติ Tistician

2

ผู้เขียนบางคนเขียนว่า kurtosis เป็นแหลมและบางคนเขียนว่ามันเป็นน้ำหนักหาง แต่การตีความที่ไม่เชื่อว่า kurtosis เป็นสิ่งที่มาตรการ kurtosis เป็นเพียงเรื่องที่ปลอดภัยอย่างสมบูรณ์ ตัวอย่างตัวเลขที่กำหนดโดย Irving Kaplansky (1945) เพียงอย่างเดียวพอเพียงเพื่อแสดงว่า kurtosis หมีไม่ตีความอย่างชัดเจน (กระดาษของ Kaplansky เป็นหนึ่งในไม่กี่แห่งที่เขาเขียนในช่วงกลางทศวรรษที่ 1940 ในความน่าจะเป็นและสถิติเขาเป็นที่รู้จักกันดีในฐานะนักพีชคณิตที่มีชื่อเสียง) การอ้างอิงแบบเต็มและอื่น ๆ ภายในstata-journal.com/sjpdf.html?articlenum=st0204

— Nick Cox

1

มีหนังสือและเอกสารที่อ้างว่า kurtosis นั้นมีลักษณะแหลมดังนั้นประโยคแรกของฉันจึงยังคงถูกต้องและสนับสนุนได้เช่นเดียวกับคำแถลงเกี่ยวกับสิ่งที่อยู่ในวรรณคดี สิ่งที่สำคัญยิ่งกว่าคือวิธีหนึ่งที่เกี่ยวกับตัวอย่างและข้อโต้แย้งของ Kaplansky

— Nick Cox

3

$\mu \pm \sigma$

แก้ไข 11/23/2018: ตั้งแต่เขียนโพสต์นี้ฉันได้พัฒนามุมมองเชิงเรขาคณิตบางอย่างเกี่ยวกับ kurtosis สิ่งแรกคือความเกินจริงสามารถมองเห็นได้ทางเรขาคณิตในแง่ของการเบี่ยงเบนจากเส้น 45 องศาที่คาดไว้ในหางของพล็อตการควอนตัม เห็น พล็อต QQ นี้แสดงถึงการกระจาย leptokurtic หรือ platykurtic หรือไม่?

$p_V(v)$ $V = \{(X - \mu)/\sigma \}^4$ $X$ $E(V)$ $V$ $X$

$\mu \pm \sigma$ $X$ $\mu \pm \sigma$ $\mu$ $\sigma$ $X$ $\le 0.25$ $\mu \pm \sigma$ $\mu$ $\sigma$

— Peter Westfall
แหล่งที่มา

3

แทนที่จะส่งต่อผู้คนไปยังบทความในโพสต์ส่วนใหญ่ของคุณต่อไปคุณจะสรุปข้อโต้แย้งที่นี่ได้ไหม? ดูความช่วยเหลือที่นี่ภายใต้ "ระบุบริบทสำหรับลิงก์เสมอ" โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อมีข้อความระบุว่า "อ้างอิงส่วนที่สำคัญเสมอ" มันไม่จำเป็นต้องพูดอย่างแท้จริงในกรณีที่มีการโต้แย้งอย่างกว้างขวาง แต่อย่างน้อยก็จำเป็นต้องมีการสรุปข้อโต้แย้ง คุณเพียงแค่ทำงบกวาดสองสามแล้วเชื่อมโยงไปยังกระดาษ คำสั่งที่โด่งมาตรการพฤติกรรมหาง (บริบทขาด) ทำให้เข้าใจผิด (demonstrably ดังนั้น)

— Glen_b -Reinstate โมนิกา

2

... แต่มันเป็นไปไม่ได้ที่จะไม่เห็นด้วยกับข้อโต้แย้งที่คุณไม่ได้แสดงที่นี่และอาจได้ข้อสรุปที่เหมาะสมยิ่งขึ้น

— Glen_b -Reinstate Monica

ข้อโต้แย้งของฉันชัดเจนวางที่นี่: en.wikipedia.org/wiki/… ยินดีต้อนรับความคิดเห็น! BTW, โด่งเป็นวัดของน้ำหนักหางเพียงไม่เหมือนกับคนอื่น ๆ ที่ได้รับการพิจารณา มันวัดน้ำหนักหางผ่าน E (Z ^ 4) ซึ่งเป็นการวัดน้ำหนักหางเนื่องจากค่า | Z | <1 มีส่วนช่วยน้อยมาก ด้วยตรรกะเดียวกัน E (Z ^ n) สำหรับพลังที่สูงกว่าแม้จะเป็น n ก็เป็นตัววัดน้ำหนักหาง

— Peter Westfall

สวัสดีปีเตอร์โปรดไปที่stats.stackexchange.com/help/merging-accountsเพื่อรวมบัญชีของคุณเพื่อให้คุณสามารถแก้ไขโพสต์เก่าได้

— whuber

3

คำตอบที่แตกต่าง: เราสามารถอธิบาย kurtosis เชิงเรขาคณิตโดยใช้แนวคิดจากhttp://www.quantdec.com/envstats/notes/class_06/properties.htm : ช่วงเวลาแบบกราฟิก

k = E {(\frac{X - μ}{σ})}^{4} = \int (\frac{x - μ}{σ})^{4} f (x) d x

$\DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} k = \E \left( \frac{X-\mu}{\sigma} \right)^4 =\int (\frac{x-\mu}{\sigma})^4 f(x) \; dx$

f

$f$

X

$X$

μ, σ^{2}

$\mu, \sigma^2$

x

$x$

k_{e} = k - 3

$k_e=k-3$

ในต่อไปนี้ฉันจะแสดงพล็อตของ kurtosis แบบกราฟิกสำหรับการแจกแจงแบบสมมาตรทั้งหมดอยู่กึ่งกลางที่ศูนย์และปรับสัดส่วนให้มีความแปรปรวน 1

สังเกตการขาดเสมือนจริงของการมีส่วนร่วมกับ kurtosis จากศูนย์ซึ่งแสดงให้เห็นว่า kurtosis ไม่มีส่วนเกี่ยวข้องกับ "ความแหลม" มากนัก

— kjetil b halvorsen
แหล่งที่มา

1

Z^{2}

$Z^2$

- b

$-b$

+ b

$+b$

b

$b$