การกระจายตัวตัวอย่างของรัศมีของการแจกแจงแบบปกติ 2D

การกระจายปกติ bivariate ที่มีค่าเฉลี่ยและแปรปรวนเมทริกซ์สามารถเขียนอีกครั้งในพิกัดเชิงขั้วที่มีรัศมีและมุมθคำถามของฉันคือคือการกระจายตัวอย่างของสิ่งที่ , ที่อยู่, ระยะห่างจากจุดไปยังศูนย์ประมาณได้รับตัวอย่างแปรปรวนเมทริกซ์ ? $\mu$ $\Sigma$ $r$ $\theta$ $\hat{r}$ $x$ $\bar{x}$ $S$

พื้นหลัง: ระยะทางจริงจากจุดค่าเฉลี่ยดังต่อไปนี้การกระจายฮอยต์ ด้วยค่าลักษณะเฉพาะของและพารามิเตอร์รูปร่างของมันคือ $r$ $x$ $\mu$ $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ $\Sigma$ $\lambda_{1} > \lambda_{2}$ และพารามิเตอร์ขนาดของมันคือ2ฟังก์ชันการแจกแจงสะสมเป็นที่รู้จักกันว่าเป็นความแตกต่างสมมาตรระหว่างสองฟังก์ชันของ Marcum Q $q=\frac{1}{\sqrt{(\lambda_{1}+\lambda_{2})/\lambda_{2})-1}}$ $\omega = \lambda_{1} + \lambda_{2}$

การจำลองแสดงให้เห็นว่าการเสียบค่าประมาณและสำหรับและลงใน cdf จริงนั้นใช้ได้กับตัวอย่างขนาดใหญ่ แต่ไม่ใช่สำหรับตัวอย่างขนาดเล็ก แผนภาพต่อไปนี้แสดงผลลัพธ์จาก 200 ครั้ง $\bar{x}$ $S$ $\mu$ $\Sigma$

จำลอง 20 เวกเตอร์ปกติ 2 มิติสำหรับการรวมกันของ ( -axis), (แถว) และควอนไทล์ (คอลัมน์) $q$ $x$ $\omega$
สำหรับแต่ละตัวอย่างการคำนวณ quantile กำหนดรัศมีสังเกตเพื่อ $\hat{r}$ $\bar{x}$
สำหรับแต่ละตัวอย่างการคำนวณ quantile จากทฤษฎีฮอยต์ (2D ปกติ) CDF และจากทฤษฎี Rayleigh CDF หลังจากเสียบในประมาณการตัวอย่างและS $\bar{x}$ $S$

ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

ในฐานะที่เป็นแนวทางที่ 1 (การกระจายกลายเป็นวงกลม) ประมาณ quantiles ฮอยต์วิธีการประมาณ quantiles เรย์ลีซึ่งเป็นผลกระทบจากคิวเมื่อเติบโตขึ้นความแตกต่างระหว่างปริมาณเชิงประจักษ์และค่าที่ประมาณนั้นเพิ่มขึ้นโดยเฉพาะอย่างยิ่งในส่วนท้ายของการแจกแจง $q$ $q$ $\omega$

— Caracal
แหล่งที่มา

คำถามคืออะไร?

— จอห์น

@ John ผมไฮไลต์คำถาม: "การกระจายการสุ่มตัวอย่าง [รัศมี] คืออะไร

, ที่อยู่, ระยะห่างจากจุด

ไปยังศูนย์ประมาณ

ได้รับตัวอย่าง convariance เมทริกซ์

r

$r$

x

$x$

\bar{x}

$\bar{x}$

S

$S$

— caracal

ทำไม

เมื่อเทียบกับ

\hat{r}

$\hat{r}$

\hat{r^{2}}

$\hat{r^2}$

— SomeEE

@MathEE

เพียงเพราะวรรณคดีฉันรู้ที่เกี่ยวข้องกับการกระจายของ (จริง)

ไม่ (จริง)

หมายเหตุที่ว่านี้จะแตกต่างจากสถานการณ์ที่มีระยะทาง Mahalanobis กล่าวถึงในคำถามนี้ แน่นอนผลการค้นหาสำหรับการกระจายตัวของ

จะมากยินดีต้อนรับ

\hat{r}

$\hat{r}$

r

$r$

r^{2}

$r^{2}$

{\hat{r}}^{2}

$\hat{r}^{2}$

— caracal

ในขณะที่คุณกล่าวถึงในบทความของคุณเรารู้ว่าการกระจายของประมาณการของถ้าเราจะได้รับเพื่อให้เรารู้การกระจายของประมาณการจากของจริง 2 $\widehat{r_{true}}$ $\mu$ $\widehat{r^2_{true}}$ $r^2$

เราต้องการหาการแจกแจงของโดยที่แสดงเป็นเวกเตอร์คอลัมน์

\hat{r^{2}} = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} (x_{i} - \bar{x})^{T} (x_{i} - \bar{x})

$\widehat{r^2} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N (x_i-\overline{x})^T(x_i-\overline{x})$

x_{i}

$x_i$

ตอนนี้เราทำเคล็ดลับมาตรฐาน

\begin{array}{rcl} \hat{r_{t r u e}^{2}} & = & \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} (x_{i} - μ)^{T} (x_{i} - μ) \\ = & \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} (x_{i} - \bar{x} + \bar{x} - μ)^{T} (x_{i} - \bar{x} + \bar{x} - μ) \\ = & [\frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} (x_{i} - \bar{x})^{T} (x_{i} - \bar{x})] + (\bar{x} - μ)^{T} (\bar{x} - μ) (1) \\ = & \hat{r^{2}} + (\bar{x} - μ)^{T} (\bar{x} - μ) \end{array}

$\begin{eqnarray*} \widehat{r^2_{true}} &=& \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i - \mu)^T(x_i-\mu)\\ &=& \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i-\overline{x} + \overline{x} -\mu)^T(x_i-\overline{x} + \overline{x}-\mu)\\ &=&\left[\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i - \overline{x})^T(x_i-\overline{x})\right] + (\overline{x} - \mu)^T(\overline{x}-\mu) \hspace{20pt}(1)\\ &=& \widehat{r^2} + (\overline{x}-\mu)^T(\overline{x}-\mu) \end{eqnarray*}$

(1)

$(1)$

\frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} (x_{i} - \bar{x})^{T} (\bar{x} - μ) = (\bar{x} - \bar{x})^{T} (\bar{x} - μ) = 0

$\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i-\overline{x})^T(\overline{x}-\mu) = (\overline{x} - \overline{x})^T(\overline{x} - \mu) = 0$

$\widehat{r^2}$ $S$ $(\overline{x}-\mu)^T(\overline{x}-\mu)$ $\overline{x}$

\hat{r_{t r u e}^{2}} = \hat{r^{2}} + (\bar{x} - μ)^{T} (\bar{x} - μ)

$\widehat{r_{true}^2} = \widehat{r^2} + (\overline{x}-\mu)^T(\overline{x}-\mu)$

\hat{r_{t r u e}^{2}}

$\widehat{r^2_{true}}$

(\bar{x} - μ)^{T} (\bar{x} - μ)

$(\overline{x} - \mu)^T(\overline{x}-\mu)$

แก้ไขเพื่อเพิ่ม:

$||x_i-\mu||$

f (ρ) = \frac{1 + q^{2}}{q ω} ρ e^{- \frac{(1 + q^{2})^{2}}{4 q^{2} ω} ρ^{2}} I_{O} (\frac{1 - q^{4}}{4 q^{2} ω} ρ^{2})

$f(\rho) = \frac{1+q^2}{q\omega}\rho e^{-\frac{(1+q^2)^2}{4q^2\omega} \rho^2}I_O\left(\frac{1-q^4}{4q^2\omega} \rho^2\right)$

I_{0}

$I_0$

0^{t h}

$0^{th}$

$||x_i-\mu||^2$

f (ρ) = \frac{1}{2} \frac{1 + q^{2}}{q ω} e^{- \frac{(1 + q^{2})^{2}}{4 q^{2} ω} ρ} I_{0} (\frac{1 - q^{4}}{4 q^{2} ω} ρ) .

$f(\rho) = \frac{1}{2}\frac{1+q^2}{q\omega}e^{-\frac{(1+q^2)^2}{4q^2\omega}\rho}I_0\left(\frac{1-q^4}{4q^2\omega}\rho\right).$

$a = \frac{1-q^4}{4q^2\omega}$ $b=-\frac{(1+q^2)^2}{4q^2\omega}$ $c=\frac{1}{2}\frac{1+q^2}{q\omega}$

$||x_i-\mu||^2$

{\begin{cases} \frac{c}{\sqrt{(s - b)^{2} - a^{2}}} & (s - b) > a \\ 0 & else \end{cases}

$\begin{cases} \frac{c}{\sqrt{(s-b)^2-a^2}} & (s-b) > a\\ 0 & \text{ else}\\ \end{cases}$

$\widehat{r^2_{true}}$

{\begin{cases} \frac{c^{N}}{((s / N - b)^{2} - a^{2})^{N / 2}} & (s / N - b) > a \\ 0 & else \end{cases}

$\begin{cases} \frac{c^N}{((s/N-b)^2-a^2)^{N/2}} & (s/N-b) > a\\ 0 & \text{else} \end{cases}$

| | \bar{x} - μ | |^{2}

$||\overline{x} - \mu||^2$

{\begin{cases} \frac{N c}{\sqrt{(s - N b)^{2} - (N a)^{2}}} = \frac{c}{\sqrt{(s / N - b)^{2} - a^{2}}} & (s / N - b) > a \\ 0 & else \end{cases}

$\begin{cases} \frac{Nc}{\sqrt{(s-Nb)^2-(Na)^2}} = \frac{c}{\sqrt{(s/N-b)^2-a^2}} & (s/N-b) > a\\ 0 & \text{ else} \end{cases}$

$\widehat{r^2}$

{\begin{cases} \frac{c^{N - 1}}{((s / N - b)^{2} - a^{2})^{(N - 1) / 2}} & (s / N - b) > a \\ 0 & else . \end{cases}

$\begin{cases} \frac{c^{N-1}}{((s/N-b)^2-a^2)^{(N-1)/2}} & (s/N-b) > a\\ 0 & \text{ else}. \end{cases}$

$\widehat{r^2}$

g (ρ) = \frac{\sqrt{π} N c^{N - 1}}{Γ (\frac{N - 1}{2})} {(\frac{2 i a}{N ρ})}^{(2 - N) / 2} e^{b N ρ} J_{N / 2 - 1} (i a N ρ) .

$g(\rho) = \frac{\sqrt{\pi}Nc^{N-1}}{\Gamma(\frac{N-1}{2})}\left(\frac{2\mathrm{i} a}{N\rho}\right)^{(2 - N)/2} e^{b N \rho} J_{N/2-1}( \mathrm{i} a N \rho).$

— SomeEE
แหล่งที่มา

ขอบคุณ! ฉันจะต้องตรวจสอบรายละเอียดก่อนที่จะยอมรับ

— caracal

\hat{r_{true}^{2}} \sim Hoyt

$\widehat{r^{2}_{\text{true}}} \sim \text{Hoyt}$

| | \bar{x} - μ | |^{2} \sim N (0, \frac{1}{N} Σ)

$||\bar{x}-\mu||^{2} \sim \mathcal{N}(0, \frac{1}{N}\Sigma)$

\hat{r^{2}}

$\widehat{r^{2}}$

\hat{r^{2}}

$\widehat{r^{2}}$

Σ

$\Sigma$

t

$t$

ฉันได้แก้ไขคำตอบของฉันสำหรับคำตอบแบบเต็ม โปรดแจ้งให้เราทราบหากคุณเห็นด้วย

— SomeEE

Σ

$\Sigma$

\hat{r^{2}}

$\widehat{r^2}$

S

$S$

\frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} (x_{i} - \bar{x})^{T} S^{- 1} (x_{i} - \bar{x})

$\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N(x_i - \overline{x})^T S^{-1}(x_i-\overline{x})$

1

$1$

| | x_{i} - μ | |^{2}

$||x_{i}-\mu||^{2}$

r^{2}

$r^{2}$

Γ (q, \frac{ω}{q})

$\Gamma(q, \frac{\omega}{q})$

Γ

$\Gamma$