การประมาณค่าพารามิเตอร์ LogLikelihood สำหรับตัวกรองคาลมานแบบเกาส์เชิงเส้น

ฉันได้เขียนโค้ดบางอย่างที่สามารถทำการกรองคาลมานได้ (โดยใช้ตัวกรองคาลมานที่แตกต่างกันจำนวนหนึ่ง [Information Filter et al.]) สำหรับการวิเคราะห์อวกาศรัฐเกาส์เชิงเส้นสำหรับเวกเตอร์สถานะ n- มิติ ตัวกรองทำงานได้ดีและฉันได้ผลลัพธ์ที่ดี อย่างไรก็ตามการประมาณค่าพารามิเตอร์ผ่านการประมาณ loglikelihood ทำให้ฉันสับสน ฉันไม่ใช่นักสถิติ แต่เป็นนักฟิสิกส์ดังนั้นโปรดเป็นคนใจดี

ขอให้เราพิจารณาโมเดลเชิงเส้น Gaussian State Space

y_{t} = Z_{t} α_{t} + ϵ_{t},

$y_t = \mathbf{Z}_{t}\alpha_{t} + \epsilon_{t},$

α_{t + 1} = T_{t} α_{t} + R_{t} η_{t},

$\alpha_{t + 1} = \mathbf{T}_{t}\alpha_{t} + \mathbf{R}_{t}\eta_{t},$

ที่เป็นเวกเตอร์ของเราสังเกตเวกเตอร์รัฐของเราในเวลาขั้นตอนทีปริมาณที่เป็นตัวหนาคือเมทริกซ์การแปลงสภาพของแบบจำลองพื้นที่ของรัฐซึ่งตั้งค่าตามลักษณะของระบบภายใต้การพิจารณา เรายังมี $y_{t}$ $\alpha_{t}$ $t$

ϵ_{t} \sim N I D (0, H_{t}),

$\epsilon_{t} \sim NID(0, \mathbf{H}_{t}),$

η_{t} \sim N I D (0, Q_{t}),

$\eta_{t} \sim NID(0, \mathbf{Q}_{t}),$

α_{1} \sim N I D (a_{1}, P_{1}) .

$\alpha_{1} \sim NID(a_{1}, \mathbf{P}_{1}).$

ที่n ตอนนี้ฉันได้รับและดำเนินการเรียกซ้ำสำหรับตัวกรองคาลมานสำหรับตัวแบบพื้นที่ว่างทั่วไปโดยคาดเดาพารามิเตอร์เริ่มต้นและเมทริกซ์ความแปรปรวนและฉันสามารถสร้างแปลงได้ ชอบ $t = 1,\ldots, n$ $\mathbf{H}_{1}$ $\mathbf{Q}_{1}$

ตัวกรองคาลมาน

จุดที่เป็นระดับน้ำของแม่น้ำไนล์ในเดือนมกราคมที่ผ่านมา 100 ปีเส้นคือสถานะโดยประมาณของ Kalamn และเส้นประคือระดับความเชื่อมั่น 90%

ทีนี้สำหรับข้อมูล 1D นี้จะตั้งค่าเมทริกซ์และเป็นสเกลาร์และตามลำดับ ดังนั้นตอนนี้ฉันต้องการรับพารามิเตอร์ที่ถูกต้องสำหรับสเกลาร์เหล่านี้โดยใช้เอาต์พุตจากตัวกรองคาลมานและฟังก์ชั่น loglikelihood $\mathbf{H}_{t}$ $\mathbf{Q}_{t}$ $\sigma_{\epsilon}$ $\sigma_{\eta}$

\log L (Y_{n}) = - \frac{n p}{2} \log (2 π) - \frac{1}{2} \sum_{t = 1}^{n} (l o g | F_{t} | + v_{t}^{T} F_{t}^{- 1} v_{t})

$\log L(Y_{n}) = -\frac{np}{2}\log(2\pi) - \frac{1}{2}\sum^{n}_{t = 1}(log|\mathbf{F}_{t}| + v^{\mathsf{T}}_{t}\mathbf{F}_{t}^{-1}v_{t})$

โดยที่เป็นข้อผิดพลาดของรัฐและคือความแปรปรวนข้อผิดพลาดของรัฐ ตอนนี้ที่นี่ฉันอยู่ที่ไหนสับสน จากตัวกรองคาลมานฉันมีข้อมูลทั้งหมดที่ฉันต้องใช้ในการทำงานแต่ดูเหมือนว่าฉันจะไม่สามารถคำนวณความน่าจะเป็นสูงสุดของและได้ คำถามของฉันคือฉันจะคำนวณโอกาสสูงสุดของและโดยใช้วิธีการบันทึกและสมการข้างบน การแบ่งอัลกอริทึมจะเป็นเหมือนเบียร์เย็น ๆ สำหรับฉันตอนนี้ ... $v_{t}$ $\mathbf{F}_{t}$ $L$ $\sigma_{\epsilon}$ $\sigma_{\eta}$ $\sigma_{\epsilon}$ $\sigma_{\eta}$

ขอบคุณที่สละเวลา.

บันทึก. สำหรับกรณี 1Dและeta} นี่คือรูปแบบระดับท้องถิ่นที่ไม่เปลี่ยนแปลง $\mathbf{H}_{t} = \sigma^{2}_{\epsilon}$ $\mathbf{H}_{t} = \sigma^{2}_{\eta}$

— moonknight
แหล่งที่มา

เมื่อคุณเรียกใช้ตัวกรองคาลมานที่คุณมีกับค่ากำหนดของ และคุณจะได้รับลำดับของนวัตกรรม และ covariances ของพวกเขาเพราะฉะนั้นคุณสามารถคำนวณ ค่าของโดยใช้สูตรที่คุณให้ $\sigma_\epsilon^2$ $\sigma^2_\eta$ $\nu_t$ $\boldsymbol{F_t}$ $\log L(Y_n)$

ในคำอื่น ๆ ที่คุณสามารถถือว่ากรองคาลมาเป็นวิธีการคำนวณฟังก์ชันนัยของและ\สิ่งเดียวที่คุณต้องทำก็คือการจัดแพคเกจการคำนวณนี้เป็นฟังก์ชั่นหรือย่อยและจัดการกับฟังก์ชั่นที่เพิ่มประสิทธิภาพประจำ --like ในอาร์ที่ฟังก์ชั่นควรจะยอมรับเป็นปัจจัยการผลิต และและผลตอบแทน (y_n) $\sigma_\epsilon^2$ $\sigma^2_\eta$ optim $\sigma_\epsilon^2$ $\sigma^2_\eta$ $\log L(Y_n)$

แพคเกจบางอย่างใน R (เช่นdlm) ทำสิ่งนี้เพื่อคุณ (ดูฟังก์ชันอินสแตนซ์dlmMLE)

— F. Tusell
แหล่งที่มา

ขอบคุณสำหรับการตอบกลับของคุณ. ฉันขอขอบคุณที่ฉันดูเหมือนจะมีองค์ประกอบทั้งหมดที่จำเป็นในการคำนวณ loglikelihood อย่างชัดเจนอย่างไรก็ตามการอ้างอิงทั้งหมดฉันดูเหมือนจะแนะนำว่าฉันใช้และเป็นสิ่งที่ไม่ทราบในฟังก์ชัน loglikelihood ประเภทวิธี นี่คือสิ่งที่ทำให้ฉันสับสน; "loglikelihood ขยายใหญ่สุดเป็นตัวเลขด้วยความเคารพเวกเตอร์สถานะที่ไม่รู้จัก" - อย่างไร

σ_{ϵ}

$\sigma_\epsilon$

σ_{η}

$\sigma_\eta$

— MoonKnight

การคำนวณของความเป็นไปไม่ได้ที่ชัดเจนในการที่และไม่ปรากฏอย่างชัดเจนในการแสดงออกของ(y_n) แต่พวกเขามีอิทธิพลต่อความเป็นไปได้ผ่านและ{} ดังนั้นคุณจำเป็นต้องเรียกใช้ตัวกรองคาลมานในการคำนวณสำหรับคู่ของค่าของแต่ละและ\เมื่อคุณโค้ดที่อยู่ในรูปแบบของฟังก์ชั่นคุณจัดการกับนิวตันประเภท (หรือวัตถุประสงค์ทั่วไป) ฟังก์ชั่นการเพิ่มสูงสุดและที่มัน

σ_{ϵ}

$\sigma_\epsilon$

σ_{η}

$\sigma_\eta$

\log L (Y_{n})

$\log L(Y_n)$

ν_{t}

$\nu_t$

F_{t}

$\boldsymbol{F_t}$

\log L (Y_{n})

$\log L(Y_n)$

σ_{ϵ}

$\sigma_\epsilon$

σ_{η}

$\sigma_\eta$

— F. Tusell

ฉันมีรหัสรายละเอียด (ใน R) แสดงวิธีการทำเช่นนี้อย่างแม่นยำสำหรับข้อมูลแม่น้ำไนล์ ฉันใช้มันเป็นภาพประกอบสำหรับนักเรียนของฉัน น่าเสียดายที่มันเป็นภาษาสเปน แต่ฉันหวังว่ารหัสนั้นค่อนข้างชัดเจน (และฉันสามารถแปลความคิดเห็นได้ถ้าไม่ใช่) คุณสามารถคว้าตัวอย่างนี้จากet.bs.ehu.es/~etptupaf/N4.html

— F. Tusell

สิ่งนี้มีประโยชน์อย่างมาก ขอบคุณมากสำหรับเวลาของคุณ ความคิดเห็นของคุณช่วยได้มาก! บางครั้งมันเป็นเรื่องยากที่จะ "เห็นต้นไม้สำหรับต้นไม้" และมีบางสิ่งที่เรียบง่ายอธิบายอย่างชัดเจนว่าเป็นสิ่งที่จำเป็น ... ขอขอบคุณอีกครั้ง

— MoonKnight

ฉันยังต้องการถามว่าฉันสามารถดูหน้าเว็บที่คุณผ่านการเรียกซ้ำสถานะที่ราบรื่นหรือไม่ การปรับเรียบของคุณดูดีกว่าของฉันและฉันไม่แน่ใจว่าทำไม! ฉันได้พยายามที่จะหาได้จากเว็บไซต์ของคุณ แต่ฉันไม่สามารถหาหน้าจำเป็น ...

— moonknight