ตัวอย่างของ CLT เมื่อไม่มีช่วงเวลา

พิจารณา $X_n = \begin{cases} 1 & \text{w.p. } (1 - 2^{-n})/2\\ -1 & \text{w.p. } (1 - 2^{-n})/2\\ 2^k & \text{w.p. } 2^{-k} \text{ for } k > n\\ \end{cases}$

ฉันต้องแสดงให้เห็นว่าถึงแม้จะมีช่วงเวลาไม่สิ้นสุด

\sqrt{n} ({\bar{X}}_{n}) \overset{d}{\to} N (0, 1)

$\sqrt{n}(\bar{X}_n) \overset{d}{\to} N(0,1)$

ฉันได้ลองแสดงสิ่งนี้โดยใช้ทฤษฎีความต่อเนื่องของเลวีคือพยายามแสดงให้เห็นว่าฟังก์ชั่นลักษณะของด้านซ้ายบรรจบกับฟังก์ชั่นลักษณะของมาตรฐานปกติ อย่างไรก็ตามเรื่องนี้ดูเหมือนจะเป็นไปไม่ได้ที่จะแสดง

คำแนะนำที่มีให้สำหรับปัญหานี้คือการตัดส่วนแต่ละส่วนออก $X_i$ คือปล่อยให้และใช้สภาพ Lindeberg เพื่อแสดงว่า . $Y_{ni} = X_i I\{X_i \leq n\}$ $\sqrt{n} \bar{Y}_n \overset{d}{\to} N(0,1)$

อย่างไรก็ตามฉันไม่สามารถแสดงให้เห็นว่าเงื่อนไขของ Lyapunov นั้นเป็นที่น่าพอใจ นี่เป็นส่วนใหญ่เพราะไม่ทำงานเหมือนที่ฉันต้องการ ฉันต้องการให้ใช้ค่า -1 และ 1 เท่านั้นอย่างไรก็ตามวิธีการสร้างมันสามารถรับค่า $Y_{ni}$ $Y_{ni}$ $-1, 1, 2^{i+1}, 2^{i+2}, \dots, 2^{\lfloor\log_2 n\rfloor}$

— Greenparker
แหล่งที่มา

หากคุณกำลังตัดทอน

n

$n$ ตรวจสอบว่าย่อหน้าสุดท้ายอย่างรอบคอบสำหรับค่าที่ตัวแปรที่ถูกตัดทอนสามารถใช้งานได้ ลองตัดทอนที่อัตราใดก็ได้

1

$1$ ใช้ Borel-Cantelli แทนแล้วก็ Slutsky เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ คุณควรจะใช้ Lindeberg หรือ Lyapunov กับชิ้นส่วนที่ถูกตัดทอน (แม้ว่าฉันจะไม่ได้ตรวจสอบจริง ๆ )

— พระคาร์ดินัล

ขอโทษด้วยกับเรื่องนั้น. เปลี่ยนเป็นช่วงเวลา "ไม่มีที่สิ้นสุด"

— Greenparker

@cardinal ฉันไปมากกว่าค่าที่เป็นไปได้

Y_{n i}

$Y_{ni}$ สามารถใช้อีกครั้งและเพิ่มการปูพื้นให้กับคำศัพท์บันทึก มิฉะนั้นค่าดูเหมือนจะถูกต้อง ถ้าฉันตัดปลายที่ 1 ฉันจะได้ค่าที่ต้องการ

Y_{n i}

$Y_{ni}$ และจะสามารถใช้เงื่อนไขของ Lindeberg เพื่อให้เกิดการลู่เข้าสู่ภาวะปกติ อย่างไรก็ตามฉันไม่เห็นว่าสิ่งนี้จะหมายถึงการลู่เข้าสู่ภาวะปกติสำหรับ

\sqrt{n} {\bar{X}}_{n}

$\sqrt{n} \bar{X}_n$

— Greenparker

คืออะไร "

{\bar{X}}_{n}

$\bar{X}_n$ "คุณยังไม่ได้อธิบายบริบทที่มีตัวอย่างหรือหลายอินสแตนซ์ของแต่ละรายการ

X_{n}

$X_n$ ดังนั้นที่ได้รับสิ่งที่ระบุไว้ในคำถาม - เกี่ยวกับการอ่านที่เป็นไปได้เพียงอย่างเดียวของสัญกรณ์นี้คือมันหมายถึงค่าเฉลี่ยของ

X_{n}

$X_n$ ซึ่งไม่มีที่สิ้นสุดเสมอและเป็นตัวเลขไม่ใช่การแจกแจง ดังนั้นเราต้องจินตนาการว่าคุณกำลังพิจารณาตัวอย่างของ

X_{n}

$X_n$ แต่คุณต้องแจ้งให้เราทราบโดยเฉพาะอย่างยิ่งคุณจำเป็นต้องกำหนดขนาดตัวอย่าง

— whuber

นี่คือคำตอบจากความคิดเห็นของ @ cardinal:

ให้พื้นที่ตัวอย่างเป็นเส้นทางของกระบวนการสุ่ม $(X_i)_{i=0}^{\infty}$ และ $(Y_i)_{i=0}^{\infty}$ ที่เราปล่อย $Y_i=X_i \mathbb{1}_{\{X_i\leq 1\}}$ . เงื่อนไขของ Lindeberg (สอดคล้องกับสัญลักษณ์ของ Wikipedia ) เป็นที่น่าพอใจสำหรับ:

\frac{1}{s_{n}^{2}} Σ_{ผม = 0}^{n} E (Y_{ผม}^{2} 1_{{| Y_{ผม} | > ε s_{n}^{2}}}) \leq \frac{1}{s_{n}^{2}} Σ_{ผม = 0}^{n} P (| Y_{ผม} | > ε s_{n}^{2}) \to 0,

$\frac{1}{s_n^2} \sum_{i=0}^n \mathbb E (Y_i^2 \mathbb{1}_{\{|Y_i|> \epsilon s_n^2\}})\leq \frac{1}{s_n^2} \sum_{i=0}^n P(|Y_i|> \epsilon s_n^2)\to0,$ สำหรับใด ๆ

ϵ

$\epsilon$ เช่น

s_{n}^{2} \to \infty

$s_n^2\to \infty$ เมื่อไรก็ตาม

n \to \infty .

$n\to \infty.$

เรายังมีสิ่งนั้น $P(X_i\neq Y_i, i.o.) = 0$ โดย Borel-Cantelli ตั้งแต่ $P(X_i \neq Y_i)=2^{-i}$ ดังนั้น $\sum_{i=0}^{\infty} P(X_i \neq Y_i) = 2<\infty$ . ระบุไว้แตกต่างกัน $X_i$ และ $Y_i$ แตกต่างกันอย่างประณีตเท่านั้นมักจะเกือบแน่นอน

กำหนด $S_{X,n}=\sum_{i=0}^{n} X_i$ และอย่างเท่าเทียมกันสำหรับ $S_{Y,n}$ . เลือกเส้นทางตัวอย่างของ $(X_i)_{i=1}^{\infty}$ ดังนั้น $X_i > 1$ สำหรับคนจำนวนมากเท่านั้น $i$ . จัดทำดัชนีคำเหล่านี้โดย $\mathcal{J}$ . ต้องใช้จากเส้นทางนี้ด้วยเช่นกันว่า $X_j,j\in \mathcal{J}$ มี จำกัด สำหรับเส้นทางดังกล่าว

\frac{S_{J}}{\sqrt{n}} \to 0, as n \to \infty

$\frac{S_{\mathcal{J}}}{\sqrt{n}} \to 0,\text{ as }n\to \infty$ ที่ไหน

S_{J} := \sum_{j \in J} X_{j}

$S_{\mathcal{J}}:=\sum_{j\in \mathcal{J}}X_j$ . ยิ่งกว่านั้นสำหรับขนาดใหญ่นั่นเอง

n

$n$ ,

S_{X, n} - S_{Y, n} = S_{J} .

$S_{X,n}-S_{Y,n}=S_{\mathcal{J}}.$

การใช้ผลลัพธ์ Borel-Cantelli พร้อมกับความจริงที่ว่า $X_i$ เกือบจะแน่นอนแน่นอนเราเห็นว่าความน่าจะเป็นของเส้นทางตัวอย่างที่เป็นไปตามข้อกำหนดของเราคือ กล่าวอีกนัยหนึ่งคำที่แตกต่างกันไปเป็นศูนย์เกือบจะแน่นอน เราจึงมีทฤษฎีบทของ Slutsky ว่ามีขนาดใหญ่พอ $n$ ,

\frac{1}{\sqrt{n}} S_{X, n} = \frac{S_{Y, n} + S_{J}}{\sqrt{n}} \overset{d}{\to} ξ + 0,

$\frac{1}{\sqrt{n}}S_{X,n}=\frac{S_{Y,n}+S_{\mathcal{J}}}{\sqrt{n}}\overset{d}{\to}\xi+0,$ ที่ไหน

ξ \sim N (0, 1)

$\xi\sim N(0,1)$ .

— Ekvall
แหล่งที่มา