ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนมีอยู่เสมอสำหรับการแจกแจงแบบครอบครัวชี้แจงหรือไม่?

สมมติว่าตัวแปรสเกลาร์แบบสุ่มเป็นของตระกูลเอ็กซ์โพเนนเชียลที่มีพารามิเตอร์แบบเวกเตอร์พร้อม pdf $X$

f_{X} (x | θ) = h (x) \exp (\sum_{i = 1}^{s} η_{i} (θ) T_{i} (x) - A (θ))

$f_X(x|\boldsymbol \theta) = h(x) \exp\left(\sum_{i=1}^s \eta_i({\boldsymbol \theta}) T_i(x) - A({\boldsymbol \theta}) \right)$

โดยที่ ${\boldsymbol \theta} = \left(\theta_1, \theta_2, \cdots, \theta_s \right )^T$ เป็นเวกเตอร์พารามิเตอร์และ $\mathbf{T}(x)= \left(T_1(x), T_2(x), \cdots,T_s(x) \right)^T$ เป็นสถิติที่เพียงพอร่วม

สามารถแสดงให้เห็นว่าค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนสำหรับแต่ละ $T_i(x)$ มีอยู่ อย่างไรก็ตามค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนสำหรับ $X$ (เช่น $E(X)$ และ $Var(X)$ ) มีอยู่เสมอเช่นกัน? ถ้าไม่มีมีตัวอย่างของการแจกแจงแบบครอบครัวแทนของรูปแบบนี้ซึ่งไม่มีค่าเฉลี่ยและตัวแปรอยู่หรือไม่?

ขอบคุณ.

— เหว่ย
แหล่งที่มา

รับ , , , และให้ให้ , กำลังสร้าง $s=1$ $h(x)=1$ $\eta_1(\theta)=\theta$ $T_1(x)=\log(|x|+1)$ $A(\theta)=\log\left(-2/(1+\theta)\right)$ $\theta \lt -1$

f_{X} (x | θ) = \exp (θ \log (| x | + 1) - \log (\frac{- 2}{1 + θ})) = - \frac{1 + θ}{2} (1 + | x |)^{θ} .

$f_X(x|\theta) = \exp\left(\theta\log(|x|+1) - \log\left(\frac{-2}{1+\theta}\right)\right) = -\frac{1+\theta}{2}(1+|x|)^\theta.$

รูป

กราฟของแสดงสำหรับ (เป็นสีน้ำเงินแดงและทองตามลำดับ) $f_X(\ |\theta)$ $\theta=-3/2, -2, -3$

เห็นได้ชัดว่าช่วงเวลาที่แน่นอนของน้ำหนักหรือมากกว่านั้นไม่มีอยู่เพราะ integrandซึ่งเป็นสัดส่วนแบบไม่มีสัญญาณกับจะผลิตหนึ่งมาบรรจบกันที่ขีด จำกัดถ้าหากว่า-1 โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อการกระจายนี้ไม่มีแม้แต่ค่าเฉลี่ย (และแน่นอนว่าไม่ใช่ความแปรปรวน) $\alpha=-1-\theta$ $|x|^\alpha f_X(x|\theta)$ $|x|^{\alpha+\theta}$ $\pm\infty$ $\alpha+\theta\lt -1$ $-2 \le \theta \lt -1,$

— whuber
แหล่งที่มา

ฉันไม่เข้าใจสภาพ<-1 คุณหมายถึงหรือไม่ เมื่อ ,ไม่ได้ถูกกำหนดและเป็นค่าลบและไม่สามารถเป็น pdf ได้โปรดแจ้งให้เราทราบว่าฉันพลาดอะไรไป ขอบคุณ

θ < - 1

$\theta < -1$

θ > - 1

$\theta > -1$

θ < - 1

$\theta < -1$

A (θ)

$A(\theta)$

f_{X} (x | θ)

$f_X(x|\theta)$

— Wei

ผมต้องขออภัยเพราะเครื่องหมายลบที่ละในการคำนวณ ฉันได้แทนที่มันในสูตร ฉันหมายถึงจริงๆ

A

$A$

θ < - 1

$\theta\lt -1$

— whuber

ขอบคุณสำหรับตัวอย่าง ฉันเห็นด้วยเกี่ยวกับช่วงเวลาของ. แล้วช่วงเวลาของตัวเองล่ะ? ตัวอย่างเช่นเมื่อในตัวอย่างของคุณด้านบนมีอยู่หรือไม่

| x |

$|x|$

x

$x$

- 2 < θ < - 1

$-2<\theta <-1$

E (x)

$E(x)$

— Wei

เนื่องจากส่วนประกอบสำคัญของ Lebesgue ถูกกำหนดในแง่ของส่วนบวกและลบของปริพันธ์ดังนั้นช่วงเวลาของมีอยู่หากช่วงเวลาของที่มีอยู่

x

$x$

| x |

$|x|$

— whuber

@Wei:มีอยู่เมื่อ<\ หากไม่มีข้อ จำกัด นี้ความคาดหวังจะไม่ได้กำหนดไว้เฉพาะสำหรับ CDF บางตัว

E {g (X)}

$\mathrm{E}\{g(X)\}$

E {| g (X) |} < \infty

$\mathrm{E}\{\, \left| g(X)\, \right| \} < \infty$

— Dennis