ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนมีอยู่เสมอสำหรับการแจกแจงแบบครอบครัวชี้แจงหรือไม่?


11

สมมติว่าตัวแปรสเกลาร์แบบสุ่มเป็นของตระกูลเอ็กซ์โพเนนเชียลที่มีพารามิเตอร์แบบเวกเตอร์พร้อม pdfX

fX(x|θ)=h(x)exp(i=1sηi(θ)Ti(x)A(θ))

โดยที่θ=(θ1,θ2,,θs)Tเป็นเวกเตอร์พารามิเตอร์และT(x)=(T1(x),T2(x),,Ts(x))Tเป็นสถิติที่เพียงพอร่วม

สามารถแสดงให้เห็นว่าค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนสำหรับแต่ละTi(x)มีอยู่ อย่างไรก็ตามค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนสำหรับX (เช่นE(X)และVar(X) ) มีอยู่เสมอเช่นกัน? ถ้าไม่มีมีตัวอย่างของการแจกแจงแบบครอบครัวแทนของรูปแบบนี้ซึ่งไม่มีค่าเฉลี่ยและตัวแปรอยู่หรือไม่?

ขอบคุณ.

คำตอบ:


9

รับ , , , และให้ให้ , กำลังสร้างs=1h(x)=1η1(θ)=θT1(x)=log(|x|+1)A(θ)=log(2/(1+θ))θ<1

fX(x|θ)=exp(θlog(|x|+1)log(21+θ))=1+θ2(1+|x|)θ.

รูป

กราฟของแสดงสำหรับ (เป็นสีน้ำเงินแดงและทองตามลำดับ)fX( |θ)θ=3/2,2,3

เห็นได้ชัดว่าช่วงเวลาที่แน่นอนของน้ำหนักหรือมากกว่านั้นไม่มีอยู่เพราะ integrandซึ่งเป็นสัดส่วนแบบไม่มีสัญญาณกับจะผลิตหนึ่งมาบรรจบกันที่ขีด จำกัดถ้าหากว่า-1 โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อการกระจายนี้ไม่มีแม้แต่ค่าเฉลี่ย (และแน่นอนว่าไม่ใช่ความแปรปรวน)α=1θ|x|αfX(x|θ)|x|α+θ±α+θ<12θ<1,


ฉันไม่เข้าใจสภาพ<-1 คุณหมายถึงหรือไม่ เมื่อ ,ไม่ได้ถูกกำหนดและเป็นค่าลบและไม่สามารถเป็น pdf ได้โปรดแจ้งให้เราทราบว่าฉันพลาดอะไรไป ขอบคุณ θ<1θ>1θ<1A(θ)fX(x|θ)
Wei

ผมต้องขออภัยเพราะเครื่องหมายลบที่ละในการคำนวณ ฉันได้แทนที่มันในสูตร ฉันหมายถึงจริงๆ Aθ<1
whuber

ขอบคุณสำหรับตัวอย่าง ฉันเห็นด้วยเกี่ยวกับช่วงเวลาของ. แล้วช่วงเวลาของตัวเองล่ะ? ตัวอย่างเช่นเมื่อในตัวอย่างของคุณด้านบนมีอยู่หรือไม่ |x|x2<θ<1E(x)
Wei

1
เนื่องจากส่วนประกอบสำคัญของ Lebesgue ถูกกำหนดในแง่ของส่วนบวกและลบของปริพันธ์ดังนั้นช่วงเวลาของมีอยู่หากช่วงเวลาของที่มีอยู่ x|x|
whuber

@Wei:มีอยู่เมื่อ<\ หากไม่มีข้อ จำกัด นี้ความคาดหวังจะไม่ได้กำหนดไว้เฉพาะสำหรับ CDF บางตัว E{g(X)}E{|g(X)|}<
Dennis
โดยการใช้ไซต์ของเรา หมายความว่าคุณได้อ่านและทำความเข้าใจนโยบายคุกกี้และนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราแล้ว
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.