วิธีการตีความโหลด PCA?

ในขณะที่อ่านเกี่ยวกับ PCA ฉันเจอคำอธิบายต่อไปนี้:

สมมติว่าเรามีชุดข้อมูลที่แต่ละจุดข้อมูลแสดงถึงคะแนนของนักเรียนคนเดียวในแบบทดสอบคณิตศาสตร์แบบทดสอบฟิสิกส์แบบทดสอบความเข้าใจในการอ่านและแบบทดสอบคำศัพท์

เราพบสององค์ประกอบหลักแรกซึ่งจับ 90% ของความแปรปรวนในข้อมูลและตีความภาระของพวกเขา เราสรุปได้ว่าองค์ประกอบหลักแรกแสดงถึงความสามารถทางวิชาการโดยรวมและองค์ประกอบที่สองแสดงถึงความแตกต่างระหว่างความสามารถเชิงปริมาณและความสามารถทางวาจา

ข้อความระบุว่าการโหลด PC1 และ PC2 คือสำหรับ PC1 และ( 0.5 , 0.5 , - 0.5 , - 0.5 )สำหรับ PC2 และให้คำอธิบายต่อไปนี้:$(0.5, 0.5, 0.5, 0.5)$$(0.5, 0.5, -0.5, -0.5)$

[T] ส่วนประกอบแรกเป็นสัดส่วนกับคะแนนเฉลี่ยและองค์ประกอบที่สองวัดความแตกต่างระหว่างคะแนนคู่แรกและคะแนนคู่ที่สอง

ฉันไม่สามารถเข้าใจความหมายของคำอธิบายนี้

การโหลด (ซึ่งไม่ควรสับสนกับ eigenvector) มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

1. ผลรวมกำลังสองของพวกเขาภายในแต่ละองค์ประกอบคือค่าลักษณะเฉพาะ (ความแปรปรวนของส่วนประกอบ)
2. โหลดเป็นค่าสัมประสิทธิ์ในการรวมกันเชิงเส้นทำนายตัวแปรโดยส่วนประกอบ (มาตรฐาน)

$\bf A$

A (loadings)
         PC1           PC2
X1   .5000000000   .5000000000 
X2   .5000000000   .5000000000 
X3   .5000000000  -.5000000000 
X4   .5000000000  -.5000000000
Eigenvalues:
    1.0000000000  1.0000000000

ในกรณีนี้ค่าลักษณะเฉพาะทั้งสองเท่ากัน มันเป็นกรณีที่เกิดขึ้นได้ยากในโลกแห่งความเป็นจริงมันบอกว่า PC1 และ PC2 นั้นมี "ความแข็งแกร่ง" ที่อธิบายอย่างเท่าเทียมกัน

Nx2$\bf C$$\bf \hat {X}=CA'$$\bf A$$\bf \hat {X}$

$\bf A$4x4$\bf B=(A^{-1})'$$\bf B= A \cdot diag(eigenvalues)^{-1}=(A^+)'$diag(eigenvalues)คือเมทริกซ์ทแยงมุมสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีค่าลักษณะเฉพาะบนเส้นทแยงมุมและ+ตัวยกหมายถึง pseudoinverse ในกรณีของคุณ:

diag(eigenvalues):
1 0
0 1

B (coefficients to predict components by original variables):
    PC1           PC2
X1 .5000000000   .5000000000 
X2 .5000000000   .5000000000 
X3 .5000000000  -.5000000000 
X4 .5000000000  -.5000000000

$\bf X$Nx4$\bf C=XB$$\bf C$

PC1 = 0.5 * X1 + 0.5 * X2 + 0.5 * X3 + 0.5 * X4 ~ (X1 + X2 + X3 + X4) / 4

"องค์ประกอบแรกเป็นสัดส่วนกับคะแนนเฉลี่ย"

PC2 = 0.5 * X1 + 0.5 * X2 - 0.5 * X3 - 0.5 * X4 = (0.5 * X1 + 0.5 * X2) - (0.5 * X3 + 0.5 * X4)

"องค์ประกอบที่สองวัดความแตกต่างระหว่างคะแนนคู่แรกกับคะแนนคู่ที่สอง"

$\bf B=A$

บันทึก$\bf B= A \cdot diag(eigenvalues)^{-1}$$\bf B=R^{-1}A$$\bf R$เป็นเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม (หรือสหสัมพันธ์) ของตัวแปร สูตรหลังมาโดยตรงจากทฤษฎีการถดถอยเชิงเส้น สองสูตรนี้เทียบเท่ากันภายในบริบท PCA เท่านั้น ในการวิเคราะห์ปัจจัยพวกเขาไม่ได้และเพื่อคำนวณคะแนนปัจจัย (ซึ่งมักจะเป็นค่าประมาณใน FA) หนึ่งควรพึ่งพาสูตรที่สอง

คำตอบที่เกี่ยวข้องของฉัน:

รายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับภาระ VS eigenvectors

คะแนนองค์ประกอบหลักและคะแนนปัจจัยคำนวณอย่างไร