ความเป็นไปได้ที่เจ้ามือรับแทงจะเสียราคาต่อรองในเกมฟุตบอลเป็นเท่าไหร่?

9

ทีมฟุตบอลอังกฤษเล่นชุดของการแข่งขันกับฝ่ายตรงข้ามที่แตกต่างกันของความสามารถที่แตกต่างกัน เจ้ามือรับแทงนำเสนอราคาต่อรองสำหรับการแข่งขันแต่ละนัดไม่ว่าจะเป็นการชนะในบ้านการชนะหรือการเสมอ ส่วนที่ผ่านฤดูกาลทีมได้เล่นแมทช์และดึงของพวกเขาซึ่งเกินความคาดหมายจากโอกาส $n$ $k$

ความน่าจะเป็นที่เจ้ามือรับแทงคือการกำหนดราคาที่ไม่ถูกต้องในการแข่งขันเหล่านี้ไม่ใช่แค่โชคร้าย? หากเจ้ามือรับแทงยังคงราคาของการแข่งขันที่เหลืออยู่ของทีมในลักษณะที่คล้ายกันและฉันเดิมพัน $\$1$ ว่าแต่ละคนจะเสมอกันผลตอบแทนที่ฉันคาดหวังคืออะไร?

probability games gambling

— Rodrigo de Azevedo
แหล่งที่มา

2

ถามก่อนหน้านี้ที่math.stackexchange.com/q/31871/18398

— Joel Reyes Noche

9

คำตอบสำหรับคำถามของคุณขึ้นอยู่กับข้อมูลและสมมติฐานที่คุณจะใช้ เนื่องจากผลลัพธ์ของเกมเป็นกระบวนการที่ซับซ้อนเป็นพิเศษ มันอาจซับซ้อนโดยพลการขึ้นอยู่กับข้อมูลที่คุณมี:

ผู้เล่นในทีมนั้น ๆ - บางทีผู้เล่นอาจจะมีความเกี่ยวข้องกัน
ผู้เล่นในทีมอื่น
ประวัติศาสตร์ที่ผ่านมาของลีก
ผู้เล่นของทีมมีความเสถียรเพียงใด - ผู้เล่นทำการเลือกและดร็อปต่อไปหรือ 11 เดิม
เวลาที่คุณวางเดิมพันของคุณ (ในระหว่างเกมก่อนหน้านี้ก่อนหน้านี้ข้อมูลอะไรที่หายไปจากการเดิมพันก่อนที่จะวางเดิมพันในวันนั้น)
คุณสมบัติที่เกี่ยวข้องอื่น ๆ ของฟุตบอลที่ฉันได้ละเว้น

อัตราต่อรองที่ผู้ทำหนังสือให้นั้นไม่ได้สะท้อนถึงอัตราต่อรองของผู้ทำบัญชี ซึ่งเป็นไปไม่ได้ถ้าพวกเขาน่าจะเป็น ผู้ทำบัญชีจะปรับอัตราเดิมพันลงเมื่อมีคนเดิมพันแบบเสมอกันและจะปรับขึ้นเมื่อมีคนเดิมพันแบบไม่เสมอกัน ดังนั้นอัตราต่อรองเป็นภาพสะท้อนของการเดิมพัน (ผู้ใช้ผู้ทำหนังสือเล่มนั้น) โดยรวม ดังนั้นจึงไม่ใช่เจ้ามือรับแทงที่พลาดการกำหนดราคา แต่เป็นกลุ่มนักพนัน - หรือ "นักพนันทั่วไป"

ทีนี้ถ้าคุณยินดีที่จะคิดว่าอะไรก็ตาม "กลไกเชิงสาเหตุ" ที่ทำให้เกิดการเสมอยังคงที่ตลอดทั้งฤดูกาล (สมเหตุสมผลหรือไม่อาจไม่ ... ) จากนั้นปัญหาทางคณิตศาสตร์อย่างง่ายจะได้รับ (แต่ทราบว่าไม่มีเหตุผลสำหรับเรื่องนี้ มี "ถูกต้อง" มากกว่าสมมติฐานที่ทำให้เข้าใจง่ายอื่น ๆ ) เพื่อเตือนให้เราทราบว่านี่เป็นข้อสมมุติที่ใช้จะถูกวางไว้ที่ด้านการปรับสภาพของความน่าจะเป็น ภายใต้สมมติฐานนี้การแจกแจงทวินามใช้: $A$

P (k Draws in n matches | θ, A) = (\binom{n}{k}) θ^{k} (1 - θ)^{n - k}

$P(\text{k Draws in n matches}|\theta,A)={n \choose k}\theta^{k}(1-\theta)^{n-k}$

และเราต้องการคำนวณสิ่งต่อไปนี้

P (next match is a draw | k Draws in n matches, A)

$P(\text{next match is a draw}|\text{k Draws in n matches},A)$

= \int_{0}^{1} P (next match is a draw | θ, A) P (θ | k Draws in n matches, A) d θ

$=\int_{0}^{1}P(\text{next match is a draw}|\theta,A)P(\theta|\text{k Draws in n matches},A)d\theta$

โดยที่

P (θ | k Draws in n matches, A) = P (θ | A) \frac{P (k Draws in n matches | θ, A)}{P (k Draws in n matches | A)}

$P(\theta|\text{k Draws in n matches},A)=P(\theta|A)\frac{P(\text{k Draws in n matches}|\theta,A)}{P(\text{k Draws in n matches}|A)}$

เป็นหลังสำหรับ\ตอนนี้ในกรณีนี้มันค่อนข้างชัดเจนว่ามันเป็นไปได้ที่จะเกิดขึ้นและเป็นไปได้ที่มันจะไม่เกิดขึ้นดังนั้นเครื่องแบบก่อนมีความเหมาะสม (เว้นแต่มีข้อมูลเพิ่มเติมที่เราต้องการรวมไว้นอกเหนือจากผลของฤดูกาล ) และเราตั้งค่า 1 หลังจากนั้นจะได้รับจากการแจกแจงเบต้า (โดยที่เป็นฟังก์ชันเบต้า ) $\theta$ $P(\theta|A)=1$ $B(\alpha,\beta)$

P (θ | k Draws in n matches, A) = \frac{θ^{k} (1 - θ)^{n - k}}{B (k + 1, n - k + 1)}

$P(\theta|\text{k Draws in n matches},A)=\frac{\theta^{k}(1-\theta)^{n-k}}{B(k+1,n-k+1)}$

เมื่อพิจารณาและความน่าจะเป็นที่การแข่งขันนัดถัดไปเป็นเสมอคือดังนั้นอินทิกรัลจึงกลายเป็น: $\theta$ $A$ $\theta$

\int_{0}^{1} θ \frac{θ^{k} (1 - θ)^{n - k}}{B (k + 1, n - k + 1)} d θ = \frac{B (k + 2, n - k + 1)}{B (k + 1, n - k + 1)} = \frac{k + 1}{n + 2}

$\int_{0}^{1}\theta \frac{\theta^{k}(1-\theta)^{n-k}}{B(k+1,n-k+1)}d\theta=\frac{B(k+2,n-k+1)}{B(k+1,n-k+1)}=\frac{k+1}{n+2}$

และความน่าจะเป็นก็คือ:

P (next match is a draw | k Draws in n matches, A) = \frac{k + 1}{n + 2}

$P(\text{next match is a draw}|\text{k Draws in n matches},A)=\frac{k+1}{n+2}$

แต่โปรดทราบว่ามันขึ้นอยู่กับ - สมมติฐานที่ทำ เรียกว่า "การต่อรองราคา" เงื่อนไขความน่าจะเป็นในบางข้อมูลที่ซับซ้อนอื่น ๆ ที่ไม่รู้จักพูดBดังนั้นหากอัตราต่อรองที่ตีพิมพ์แตกต่างจากเศษส่วนข้างต้นนี่จะบอกว่าและนำไปสู่ข้อสรุปที่ต่างกันดังนั้นทั้งคู่จึงไม่ถูกต้องเกี่ยวกับ "ผลลัพธ์ที่แท้จริง" (แต่ทั้งคู่สามารถอยู่ในเงื่อนไขที่ถูกต้อง ) $A$ $B$ $A$ $B$

KILLER BLOW

ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นว่าคำตอบสำหรับคำถามของคุณต้มลงเพื่อตัดสินใจว่านั้น "แม่นยำกว่า" กว่าในการอธิบายกลไกของเกมฟุตบอลหรือไม่ นี้จะเกิดขึ้นโดยไม่คำนึงถึงสิ่งที่โจทย์ที่จะเกิดขึ้น เรามักจะต้มคำถามที่ถามว่า "ข้อสันนิษฐานของใครถูกต้องกลุ่มการพนันหรือของฉัน?" คำถามสุดท้ายนี้เป็นคำถามที่ไม่สามารถหาคำตอบได้จนกว่าคุณจะรู้ว่าข้อเสนอประกอบด้วยอะไร (หรืออย่างน้อยก็มีฟีเจอร์หลักของมัน) คุณจะเปรียบเทียบสิ่งที่เป็นที่รู้จักกับสิ่งที่ไม่ได้เป็นอย่างไร $A$ $B$ $A$ $B$

UPDATE: คำตอบจริง :)

@whuber ได้ชี้ให้เห็นอย่างหน้าด้านฉันไม่ได้ให้คุณค่าที่คาดหวังที่นี่จริง ๆ ดังนั้นส่วนนี้ก็ทำคำตอบของฉันให้เสร็จ หากมีใครสมมติว่าเป็นจริงกับราคาต่อรองของคุณจะคาดหวังว่าในเกมถัดไปที่จะได้รับ $A$ $Q$

Q \times P (next match is a draw | k Draws in n matches, A) - 1

$Q\times P(\text{next match is a draw}|\text{k Draws in n matches},A)-1$

= Q \times \frac{k + 1}{n + 2} - 1 = \frac{Q (k + 1) - n - 2}{n + 2}

$=Q\times \frac{k+1}{n+2}-1=\frac{Q(k+1)-n-2}{n+2}$

ทีนี้ถ้าคุณคิดว่าค่าของนั้นขึ้นอยู่กับตัวแบบเดียวกับของคุณเราสามารถทำนายได้ว่าจะเปลี่ยนไปในอนาคตอย่างไร สมมติว่านั้นมีพื้นฐานมาจากความแตกต่างก่อนหน้าของชุดยูนิฟอร์มกล่าวว่าดังนั้นความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกันคือ $Q$ $Q$ $Q$ $Beta(\alpha_Q,\beta_Q)$

P (next match is a draw | k Draws in n matches, A_{Q}) = \frac{k + α_{Q}}{n + α_{Q} + β_{Q}}

$P(\text{next match is a draw}|\text{k Draws in n matches},A_Q)=\frac{k+\alpha_Q}{n+\alpha_Q+\beta_Q}$

ด้วยผลตอบแทนที่คาดหวังจาก

\frac{Q (k + α_{Q}) - n - α_{Q} - β_{Q}}{n + α_{Q} + β_{Q}}

$\frac{Q(k+\alpha_Q)-n-\alpha_Q-\beta_Q}{n+\alpha_Q+\beta_Q}$

ตอนนี้ถ้าเราสร้าง "น้ำหนักก่อนหน้า" โดยที่คือความยาวของฤดูกาล (สิ่งนี้จะช่วยให้ กำหนดผลตอบแทนที่คาดหวังเป็นศูนย์ที่เราได้รับ: $\alpha_Q+\beta_Q = \frac{N}{2}$ $N$

α_{Q} = \frac{2 n + N}{2 Q} - k

$\alpha_Q=\frac{2n+N}{2Q}-k$

(หมายเหตุ: นอกจากจะเป็นแบบจำลองจริงจะขึ้นอยู่กับว่าการคำนวณนี้เสร็จสิ้นเมื่อใดขึ้นอยู่กับซึ่งจะแตกต่างกันไปตามเวลา) ตอนนี้เราสามารถคาดการณ์ได้ว่าจะมีการปรับในอนาคตอย่างไรมันจะเพิ่มตัวหารสำหรับแต่ละการแข่งขันและถึงตัวเศษหากการจับคู่นั้นเสมอกัน ดังนั้นอัตราต่อรองที่คาดหวังหลังจากการแข่งขันครั้งแรกคือ: $\alpha_Q$ $n,k,Q$ $Q$ $1$ $1$

(1 + \frac{n + β_{Q} - k + 1}{k + α_{Q}}) \frac{n - k + β_{Q}}{n + α_{Q} + β_{Q}} + (1 + \frac{n + β_{Q} - k}{k + α_{Q} + 1}) \frac{k + α_{Q}}{n + α_{Q} + β_{Q}}

$(1+\frac{n+\beta_Q-k+1}{k+\alpha_Q})\frac{n-k+\beta_Q}{n+\alpha_Q+\beta_Q}+(1+\frac{n+\beta_Q-k}{k+\alpha_Q+1})\frac{k+\alpha_Q}{n+\alpha_Q+\beta_Q}$

= 1 + \frac{n + β_{Q} - k}{k + α_{Q}} (1 + \frac{2}{(2 n + N) (k + α_{Q} + 1)}) \approx 1 + \frac{n + β_{Q} - k}{k + α_{Q}}

$=1+\frac{n+\beta_Q-k}{k+\alpha_Q}\left(1+\frac{2}{(2n+N)(k+\alpha_Q+1)}\right)\approx 1+\frac{n+\beta_Q-k}{k+\alpha_Q}$

นั่นคืออัตราต่อรองจะไม่เปลี่ยนแปลงมากนักในฤดูกาล ด้วยการใช้การประมาณนี้เราจะได้รับผลตอบแทนที่คาดหวังในช่วงเวลาที่เหลือของฤดูกาลดังนี้

(N - n) \frac{Q (k + 1) - n - 2}{n + 2}

$(N-n)\frac{Q(k+1)-n-2}{n+2}$

แต่จำไว้ว่าสิ่งนี้ขึ้นอยู่กับโมเดลการดึงที่ง่ายเกินไป (หมายเหตุ: นี่ไม่ได้แปลว่ามันจะเป็นตัวทำนาย "อึ") ไม่มีคำตอบที่ไม่ซ้ำกันสำหรับคำถามของคุณเพราะไม่มีรูปแบบที่ระบุไว้และไม่มีข้อมูลก่อนระบุ (เช่นมีกี่คนที่ใช้เจ้ามือรับแทงม้านี้? การหมุนเวียนของเจ้ามือรับแทงม้าคืออะไร สิ่งเดียวที่ระบุไว้คือข้อมูลจากหนึ่งฤดูและสำหรับ "แบบจำลองที่ไม่ได้ระบุบางอย่าง" ความน่าจะเป็นนั้นไม่สอดคล้องกับสิ่งที่แสดงโดยการกำหนดราคาต่อรอง

— probabilityislogic
แหล่งที่มา

0

บุ๊คมาร์กเกอร์ใช้ overround ดังนั้นพวกเขาไม่สนใจว่าผลที่ได้คืออะไรเพราะพวกเขาชนะอะไรก็ตาม นั่นคือเหตุผลที่คุณไม่เคยเจอเจ้ามือรับแทงม้าที่น่าสงสาร หากเจ้ามือรับแทงผิดเพี้ยนดึงความสามารถในการทำกำไรของคุณจะขึ้นอยู่กับอัตราต่อรองที่เจ้ามือรับแทงเสนอและว่ากำไรที่สร้างขึ้นจะครอบคลุมเวลาที่คุณสูญเสียหรือไม่

— Parbury
แหล่งที่มา

1

นี่อาจเป็นเรื่องจริง แต่ส่วนใหญ่ไม่เกี่ยวข้องเพราะคำถามที่ถามถึงการกลับมาของนักการพนันที่คาดหวังไม่ใช่การกลับมาของเจ้ามือรับแทงม้า

— ความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้น

@ ความน่าจะเป็นดังนั้นนักพนันคาดหวังผลตอบแทนอย่างไร ฉันหามันไม่พบในคำตอบของคุณ :-)

— whuber