เป็นไปได้หรือไม่ที่จะรวม

ประการแรกฉันคิดว่ามีการรวมกฎเพื่อบูรณาการเชิงวิเคราะห์เพื่อแก้ปัญหานี้เมื่อเทียบกับการวิเคราะห์เชิงตัวเลข (เช่นสี่เหลี่ยมคางหมูกฎ Gauss-Legendre หรือ Simpson) หรือไม่

ฉันมีฟังก์ชั่นโดยที่ $\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}f(x) = x g(x; \mu, \sigma)$ เป็นฟังก์ชั่นความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของการกระจาย lognormal กับพารามิเตอร์และσด้านล่างนี้ฉันจะย่อเครื่องหมายเป็นและใช้สำหรับฟังก์ชันการแจกแจงสะสม

g (x; μ, σ) = \frac{1}{σ x \sqrt{2 π}} e^{- \frac{1}{2 σ^{2}} (\log (x) - μ)^{2}}

$g(x; \mu, \sigma) = \frac{1}{\sigma x \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(\log(x) - \mu)^2}$

μ

$\mu$

σ

$\sigma$

g (x)

$g(x)$

G (x)

$G(x)$

ฉันต้องการคำนวณอินทิกรัล

\int_{a}^{b} f (x) d x .

$\int_{a}^{b} f(x) \,\rd x \>.$

ขณะนี้ฉันกำลังทำสิ่งนี้ด้วยการรวมตัวเลขโดยใช้วิธี Gauss-Legendre เนื่องจากฉันต้องเรียกใช้งานเป็นจำนวนมากประสิทธิภาพจึงเป็นสิ่งสำคัญ ก่อนที่ฉันจะพิจารณาการเพิ่มประสิทธิภาพการวิเคราะห์เชิงตัวเลข / ส่วนอื่น ๆ ฉันต้องการทราบว่ามีกฎการรวมเพื่อแก้ไขปัญหานี้หรือไม่

ฉันพยายามใช้กฎการรวมเป็นส่วน ๆ และฉันได้สิ่งนี้ซึ่งฉันติดอยู่อีกครั้ง

U $\int u \,\mathrm{d}v = u v - \int v \mathrm{d}u$
$u=x \implies \rd u = \rd x$
$\rd v = g(x) \rd x \implies v = G(x)$
$u v - \int v \rd x = x G(x) - \int G(x) \rd x$

$\int G(x) \rd x$

นี่สำหรับแพ็คเกจซอฟต์แวร์ที่ฉันสร้าง

distributions lognormal

— Rosh
แหล่งที่มา

l o g n o r m a l

$lognormal$

นี่เป็นสิ่งที่สามารถแสดงให้เห็นได้ว่าค่าคงที่คูณสองของ cdf ปกติ cdf ปกตินั้นคำนวณได้อย่างมีประสิทธิภาพโดยใช้การประมาณด้วยเหตุผลของ W. Cody Chebyshev คุณไม่ควรต้องและเกือบจะไม่ต้องสงสัยไม่ควรต้องการทางเลือกที่ตัวเลขการรวมนี้ หากคุณต้องการรายละเอียดเพิ่มเติมฉันสามารถโพสต์ได้

— พระคาร์ดินัล

@mpiktas, ใช่, lognormal เป็นฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นและ LognormalCDF เป็นฟังก์ชันความหนาแน่นสะสม

— Rosh

x

$x$

\log (x)

$\log(x)$

x = \exp (y)

$x = \exp(y)$

y

$y$

e^{μ + \frac{1}{2} σ^{2}} (Φ (β) - Φ (α))

$e^{\mu + \frac{1}{2} \sigma^2} (\Phi(\beta) - \Phi(\alpha))$

β = (\log (b) - (μ + σ^{2})) / σ

$\beta = (\log(b) - (\mu + \sigma^2))/\sigma$

α = (\log (a) - (μ + σ^{2})) / σ

$\alpha = (\log(a) - (\mu+\sigma^2))/\sigma$

Φ (\cdot)

$\Phi(\cdot)$

a

$a$

b

$b$

μ

$\mu$

σ

$\sigma$

คำตอบสั้น ๆ : ไม่เป็นไปไม่ได้อย่างน้อยก็ในแง่ของฟังก์ชั่นพื้นฐาน อย่างไรก็ตามมีอัลกอริธึมเชิงตัวเลขที่ดีมาก (และเร็วพอสมควร!) ในการคำนวณปริมาณดังกล่าวและควรใช้เทคนิคการรวมตัวเลขใด ๆ ในกรณีนี้

ปริมาณที่สนใจในแง่ของ cdf ปกติ

$X$ $\mu$ $\sigma$

\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{b} \frac{1}{σ \sqrt{2 π}} e^{- \frac{1}{2 σ^{2}} (\log (x) - μ)^{2}} d x = P (a \leq X \leq b) E (X ∣ a \leq X \leq b) .

$\newcommand{\e}{\mathbb{E}}\renewcommand{\Pr}{\mathbb{P}}\newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \int_a^b f(x) \rd x = \int_a^b \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(\log(x) - \mu)^2} \rd x = \Pr(a \leq X \leq b) \e(X \mid a \leq X \leq b) \>.$

$z = (\log(x) - (\mu + \sigma^2))/\sigma$ $x = e^{\mu + \sigma^2} e^{\sigma z}$

\int_{a}^{b} f (x) d x = e^{μ + \frac{1}{2} σ^{2}} \int_{α}^{β} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{1}{2} z^{2}} d z,

$\int_a^b f(x) \rd x = e^{\mu + \frac{1}{2}\sigma^2} \int_{\alpha}^{\beta} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2} z^2} \rd z \> ,$

α = (\log (a) - (μ + σ^{2})) / σ

$\alpha = (\log(a) - (\mu + \sigma^2))/\sigma$

β = (\log (b) - (μ + σ^{2})) / σ

$\beta = (\log(b) - (\mu + \sigma^2))/\sigma$

\int_{a}^{b} f (x) d x = e^{μ + \frac{1}{2} σ^{2}} (Φ (β) - Φ (α)),

$\int_a^b f(x) \rd x = e^{\mu + \frac{1}{2}\sigma^2} \big( \Phi(\beta) - \Phi(\alpha) \big) \>,$

Φ (x) = \int_{- \infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- z^{2} / 2} d z

$\Phi(x) = \int_{-\infty}^x \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-z^2/2} \rd z$

การประมาณเชิงตัวเลข

$\Phi(x)$

ดังนั้นเราจึงเหลือที่จะใช้อัลกอริธึมเชิงตัวเลขเพื่อประมาณปริมาณที่ต้องการ สิ่งนี้สามารถทำได้ภายในจุดลอยตัวที่มีความแม่นยำสองเท่าของ IEEE ผ่านอัลกอริทึมของ WJ Cody's มันเป็นขั้นตอนวิธีการมาตรฐานสำหรับปัญหานี้และใช้การแสดงออกเหตุผลของการสั่งซื้อที่ค่อนข้างต่ำก็มีประสิทธิภาพอีกด้วย

นี่คือข้อมูลอ้างอิงที่กล่าวถึงการประมาณ:

เจดับบลิวโคเหตุผลเซฟประการสำหรับฟังก์ชั่นข้อผิดพลาด , คณิตศาสตร์ คอมพ์ , 1969, pp. 631--637

$R$

นี่คือคำถามที่เกี่ยวข้องในกรณีที่คุณสนใจ

— พระราชาคณะ
แหล่งที่มา