ถ้า ,

9

สมมติต่อไปนี้การตั้งค่า:
Let $Z_i = \min\{k_i, X_i\}, i=1,...,n$ n นอกจากนี้ $X_i \sim U[a_i, b_i], \; a_i, b_i >0$ 0 นอกจากนี้ $k_i = ca_i + (1-c)b_i,\;\; 0<c<1$ ie $k_i$ เป็นการรวมกันแบบนูนของขอบเขตของการสนับสนุนที่เกี่ยวข้อง $c$ เป็นเรื่องธรรมดาสำหรับทุกฉัน $i$

ฉันคิดว่าฉันมีการกระจายของ $Z_i$ ขวา: มันคือการกระจายผสม
มันมีส่วนต่อเนื่อง

X_{i} \in [a_{i}, k_{i}), Z_{i} = X_{i} \Rightarrow Pr (Z_{i} \leq z_{i}) = \frac{z_{i} - a_{i}}{b_{i} - a_{i}}

$X_i \in [a_i, k_i), Z_i=X_i \Rightarrow \Pr(Z_i \le z_i) = \frac {z_i-a_i}{b_i-a_i}$ และไม่ต่อเนื่องส่วนที่ไม่ต่อเนื่อง ความน่าจะเป็นรวมสมาธิ:

Pr (Z_{i} = k_{i}) = Pr (X_{i} > k_{i}) = 1 - Pr (X_{i} \leq k_{i})

$\Pr(Z_i=k_i) = \Pr(X_i > k_i) = 1- \Pr(X_i \le k_i)$

= 1 - \frac{k_{i} - a_{i}}{b_{i} - a_{i}} = 1 - \frac{(1 - c) (b_{i} - a_{i})}{b_{i} - a_{i}} = c

$= 1- \frac {k_i - a_i}{b_i-a_i} = 1-\frac {(1-c)(b_i-a_i)}{b_i-a_i} =c$

ดังนั้นใน

F_{Z_{i}} (z_{i}) = {\begin{cases} 0 z_{i} < a_{i} \\ \frac{z_{i} - a_{i}}{b_{i} - a_{i}} a_{i} \leq z_{i} < k_{i} \\ 1 k_{i} \leq z_{i} \end{cases}

$F_{Z_i}(z_i) = \begin{cases} 0\qquad z_i<a_i\\ \\ \frac {z_i-a_i}{b_i-a_i}\qquad a_i\le z_i<k_i \\ \\1\qquad k_i\le z_i\end{cases}$

ในขณะที่ฟังก์ชั่นสำหรับมวล / ความหนาแน่นต่อเนื่องที่ไม่ต่อเนื่องมันคือ $0$ นอกช่วงเวลา $[a_i, k_i]$ มันมีส่วนต่อเนื่องที่เป็นความหนาแน่นของเครื่องแบบ $U(a_i, b_i)$ , $\frac {1}{b_i-a_i}$ แต่สำหรับ $a_i\le z_i<k_i$ และจะมุ่งเน้นความน่าจะเป็นในเชิงบวกมวล $c >0$ ที่ $z_i = k_i$ k_i

โดยรวมแล้วจะรวมกันเป็นหนึ่งเดียวกับ reals

ฉันต้องการที่จะสามารถที่จะได้รับหรือพูดอะไรเกี่ยวกับการจัดจำหน่ายและ / หรือช่วงเวลาของตัวแปรสุ่ม $S_n \equiv \sum_{i=1}^n Z_i$ เป็น $n\rightarrow \infty$ \

กล่าวว่าถ้า 's มีความเป็นอิสระดูเหมือนว่าเป็น\ ฉันสามารถ "เพิกเฉย" ส่วนนั้นได้หรือไม่? จากนั้นฉันก็จะเหลือตัวแปรสุ่มที่มีช่วงในช่วงดูเหมือนว่าผลรวมของเครื่องแบบที่ถูกเซ็นเซอร์กำลังจะกลายเป็น "ไม่ถูกเซ็นเซอร์" และอาจจะมีบางทฤษฎีบทขีด จำกัด กลาง ... แต่ฉันอาจแยกตัวออกจากที่นี่ ดังนั้นข้อเสนอแนะใด ๆ $X_i$ $\Pr(S_n = \sum_i^nk_i) = c^n \rightarrow 0$ $n\rightarrow \infty$ $[\sum_{i=1}^na_i,\; \sum_{i=1}^nk_i)$

ป.ล. :คำถามนี้มีความเกี่ยวข้องการได้มาซึ่งการกระจายของผลรวมของตัวแปรเซ็นเซอร์แต่คำตอบของ @Glen_b ไม่ใช่สิ่งที่ฉันต้องการ - ฉันต้องทำงานสิ่งนี้วิเคราะห์แม้ใช้การประมาณ นี่คือการวิจัยดังนั้นโปรดปฏิบัติเหมือนการบ้าน - ข้อเสนอแนะทั่วไปหรือการอ้างอิงถึงวรรณกรรมดีพอ

— Alecos Papadopoulos
แหล่งที่มา

หากคุณต้องการให้เขียนการแจกแจงของเป็นด้วยเหมาะสมซึ่งเป็นชุด Borel

Z_{i}

$Z_i$

μ_{Z_{i}} (B) = P (Z_{i} \in B) = \int_{B} g (t) d t + c I_{B} (k_{i})

$\mu_{Z_i}(B)=P(Z_i\in B)=\int_B g(t)\,dt +c\,I_B(k_i)$

g

$g$

B

$B$

— Zen

@ เซนฉันได้เขียนไปแล้วในคำถามว่าการกระจายไม่ต่อเนื่อง นอกจากนี้ RHS ของทำให้เห็นได้ชัดว่านี้หมายถึงความหนาแน่นในแต่สำหรับความน่าจะเป็นสำหรับ - และฉันชอบสัญกรณ์ขนาดกะทัดรัด

f

$f$

f

$f$

[a_{i}, k_{i})

$[a_i,k_i)$

k_{i}

$k_i$

— Alecos Papadopoulos

เท่าที่ฉันรู้สัญกรณ์ที่มีเป็น PDF และ pmf นั้นไม่มีอยู่จริง และเรามีภาษาคณิตศาสตร์ที่เหมาะสมเพื่ออธิบายการแจกแจงแบบผสมอย่างแม่นยำ ฉันสงสัยว่าเอกสารนี้จะได้รับการยอมรับเมื่อคุณเผยแพร่งานวิจัยของคุณ แค่ความเห็นของฉันแน่นอน คุณควรทำอย่างที่คุณชอบ

f

$f$

— Zen

@ Zen Publishing เป็นทางยาวไปข้างหน้าและแน่นอนว่าผู้ตรวจสอบหน้านิ่วเมื่อพวกเขาเห็นสัญกรณ์ที่ไม่เป็นที่ยอมรับ อันนี้เป็นเพียงการจดชวเลขเมื่อต้องการอธิบายการกระจายแบบขั้นตอนในหลายบรรทัด ไม่มี "ข้อโต้แย้งที่เป็นที่โปรดปราน" ของมันและต่อต้านสัญลักษณ์ที่กำหนดไว้เช่นเช่นที่คุณใช้ในความคิดเห็นก่อนหน้า

— Alecos Papadopoulos

5

ฉันจะทำตามเคล็ดลับของเฮนรี่และตรวจสอบ Lyapunov กับ 1 ความจริงที่ว่าการแจกแจงแบบผสมไม่น่าจะมีปัญหาตราบใดที่และทำงานอย่างถูกต้อง การจำลองกรณีเฉพาะที่ , ,สำหรับแต่ละแสดงว่าปกติแล้ว $\delta=1$ $a_i$ $b_i$ $a_i=0$ $b_i=1$ $k_i=2/3$ $i\geq 1$

xbar <- replicate(10^4, mean(pmin(runif(10^4), 2/3)))
hist((xbar - mean(xbar)) / sd(xbar), breaks = "FD", freq = FALSE)
curve(dnorm, col = "blue", lwd = 2, add = TRUE)

CLT

— เซน
แหล่งที่มา

เป็นเรื่องปกติธรรมดา ดีแล้วที่รู้. เงื่อนไขปกติสำหรับ CLT ไม่เคยเป็นปัญหาที่นี่คำถามของฉันคือว่ามีปัญหาอื่น ๆ หรือไม่บางทีอาจเป็นปัญหาที่ละเอียดอ่อนซึ่งบิดผล asymptotic และต้องการ CLT ที่แก้ไข การจำลองของคุณแสดงให้เห็นว่าแท้จริงแล้วความไม่ต่อเนื่องที่ไม่ต่อเนื่องนั้นมีความเป็นไปได้น้อยมากเนื่องจากตัวแปรจำนวนมากป้อนจำนวนรวม

— Alecos Papadopoulos

ไม่มีอะไรพิเศษ แต่พวกเขาไม่ก่อปัญหาใด ๆ คิดว่าพวกเขาเป็นอย่างดีประพฤติจำนวน จำกัด อิสระของดัชนีฉันพวกเขาอาจเพิ่มขึ้นหรือลดลงเมื่อเติบโต (ไม่มีกฎเฉพาะ) และไม่มีใครในพวกเขามากกว่าคนอื่นอย่างไม่เป็นสัดส่วน ... พวกเขาเป็นตัวแทนของความแตกต่างในขนาดของหน่วยงาน "เทียบเคียง" อย่างไรก็ตาม สภาพของ Lindeberg ถือได้อย่างแน่นอนที่สุด

i

$i$

i

$i$

— Alecos Papadopoulos

ดี ขอให้โชคดีกับขั้นตอนต่อไป ดูเหมือนปัญหาที่น่าสนใจ

— เซน

3

คำแนะนำ:

สมมติว่าได้รับการแก้ไขและนั้นเป็นอิสระจากนั้นคุณสามารถคำนวณค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของแต่ละ : ตัวอย่างเช่นและคุณรู้ว่า(1-c) $c$ $X_i$ $\mu_i$ $\sigma_i^2$ $Z_i$ $\mu_i=E[ Z_i] = c\frac{a_i+k_i}{2} + (1-c)k_i$ $k_i = ca_i + (1-c)b_i$

จากนั้นหากและไม่เติบโตเร็วเกินไปคุณสามารถใช้เงื่อนไขLyapunov หรือ Lindebergเพื่อใช้ทฤษฎีบทขีด จำกัด กลางพร้อมข้อสรุปว่ามาบรรจบกับการแจกแจงแบบปกติหรือในความรู้สึกโบกมือจะกระจายโดยประมาณด้วยค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน 2 $a_i$ $b_i$ $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{\sum_1^n \sigma_i^2}}\left(\sum_1^n Z_i - \sum_1^n \mu_i\right)$ $\sum_1^n Z_i$ $\sum_1^n \mu_i$ $\sum_1^n \sigma_i^2$

— เฮนรี่
แหล่งที่มา

ขอบคุณ ไม่มีปัญหากับและพวกเขาไม่เติบโตไปพร้อมกับดัชนีพวกเขาเพียงแค่แกว่งไปมา ดังนั้นคุณกำลังบอกว่าเป็นหลักว่า CLT สามารถครอบคลุมตัวแปรสุ่มด้วยการกระจายแบบผสม?

a_{i}

$a_i$

b_{i}

$b_i$

— Alecos Papadopoulos

หากตัวอย่างเช่นและได้รับการแก้ไขแล้วคุณจะมีตัวแปรสุ่มแบบกระจายอิสระที่เหมือนกันพร้อมกับความแปรปรวน จำกัด ดังนั้นทฤษฎีบทขีด จำกัด กลางจะใช้ ไม่ว่าจะเป็นการกระจายตัวของส่วนผสมหรือไม่มีผลต่อผลลัพธ์นี้ สิ่งที่ฉันกำลังพูดคือคุณสามารถขยายไปยังกรณีที่ตัวแปรสุ่มมีความเป็นอิสระ แต่ไม่กระจายตัวเหมือนกันโดยที่ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนยังคงสมเหตุสมผล

a_{i}

$a_i$

b_{i}

$b_i$

— เฮนรี่

2

ความกังวลหลักของฉันในคำถามนี้คือสามารถใช้ CLT "ตามปกติ" ในกรณีที่ฉันกำลังตรวจสอบอยู่หรือไม่ User @Henry ยืนยันว่าสามารถทำได้ผู้ใช้ @Zen แสดงให้เห็นผ่านการจำลอง ตอนนี้ฉันจะพิสูจน์แล้วว่าได้รับการวิเคราะห์

สิ่งที่ฉันจะทำก่อนคือการตรวจสอบว่าตัวแปรนี้กับการกระจายแบบผสมมีฟังก์ชั่นการสร้างช่วงเวลา "ปกติ" แสดงว่ามูลค่าที่คาดว่าจะ ,ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตนและเป็นศูนย์กลางและรุ่นปรับขนาดโดยsigma_i} การใช้สูตรเปลี่ยนตัวแปรเราพบว่าส่วนต่อเนื่องคือ ฟังก์ชันสร้างโมเมนต์ของควรเป็น $\mu_i$ $Z_i$ $\sigma_i$ $Z_i$ $\tilde Z_i = \frac {Z_i-\mu_i}{\sigma_i}$

f_{\tilde{Z}} ({\tilde{z}}_{i}) = σ_{i} f_{Z} (z_{i}) = \frac{σ_{i}}{b_{i} - a_{i}}

$f_{\tilde Z}(\tilde z_i) = \sigma_if_Z(z_i) = \frac {\sigma_i}{b_i-a_i}$

{\tilde{Z}}_{i}

$\tilde Z_i$

{\tilde{M}}_{i} (t) = E (e^{{\tilde{z}}_{i} t}) = \int_{- \infty}^{\infty} e^{{\tilde{z}}_{i} t} d F_{\tilde{Z}} ({\tilde{z}}_{i}) = \int_{{\tilde{a}}_{i}}^{{\tilde{k}}_{i}} \frac{σ_{i} e^{{\tilde{z}}_{i} t}}{b_{i} - a_{i}} d z_{i} + c e^{{\tilde{k}}_{i} t}

$\tilde M_i(t) = E(e^{\tilde z_it}) = \int_{-\infty}^{\infty}e^{\tilde z_it}dF_{\tilde Z}(\tilde z_i) = \int_{\tilde a_i}^{\tilde k_i}\frac{\sigma_ie^{\tilde z_it}}{b_i-a_i}dz_i + ce^{\tilde k_it}$

\Rightarrow {\tilde{M}}_{i} (t) = \frac{σ_{i}}{b_{i} - a_{i}} \frac{e^{{\tilde{k}}_{i} t} - e^{{\tilde{a}}_{i} t}}{t} + c e^{{\tilde{k}}_{i} t}

$\Rightarrow \tilde M_i(t)=\frac {\sigma_i}{b_i-a_i}\frac{e^{\tilde k_it}-e^{\tilde a_it}}{t} +ce^{\tilde k_it}$ ด้วย

{\tilde{k}}_{i} = \frac{k_{i} - μ_{i}}{σ_{i}}, {\tilde{a}}_{i} = \frac{a_{i} - μ_{i}}{σ_{i}}

$\tilde k_i = \frac {k_i-\mu_i}{\sigma_i},\;\; \tilde a_i = \frac {a_i-\mu_i}{\sigma_i}$

การใช้จำนวนเฉพาะเพื่อแสดงถึงอนุพันธ์ถ้าเราได้ระบุฟังก์ชั่นการสร้างโมเมนต์อย่างถูกต้องเราควรได้รับ ตั้งแต่นี้ เป็นตัวแปรสุ่มกึ่งกลางและปรับขนาด และโดยการคำนวณอนุพันธ์ใช้กฎของ L'Hopital หลายครั้ง (เนื่องจากค่าของ MGF ที่ศูนย์จะต้องคำนวณผ่านขีด จำกัด ) และทำการจัดการพีชคณิตฉันได้ตรวจสอบความเท่าเทียมสองประการแรก ความเท่าเทียมกันข้อที่สามพิสูจน์แล้วว่าน่าเบื่อเกินไป แต่ฉันเชื่อว่ามันคงไว้

{\tilde{M}}_{i} (0) = 1, {\tilde{M}}_{i}^{'} (0) = E (\tilde{Z}) = 0 \Rightarrow {\tilde{M}}_{i}^{″} (0) = E ({\tilde{Z}}_{i}^{2}) = Var ({\tilde{Z}}_{i}) = 1

$\tilde M_i(0) = 1, \;\; \tilde M_i'(0) = E(\tilde Z) = 0 \Rightarrow \tilde M_i''(0) = E(\tilde Z_i^2) = \operatorname {Var}(\tilde Z_i)=1$

ดังนั้นเราจึงมี MGF ที่เหมาะสม ถ้าเราใช้การขยายตัวแบบลำดับที่ 2 ของเทย์เลอร์เป็นศูนย์เราก็มี

\tilde{M} (t) = \tilde{M} (0) + {\tilde{M}}^{'} (0) t + \frac{1}{2} {\tilde{M}}^{″} (0) t^{2} + o (t^{2})

$\tilde M(t) = \tilde M(0) + \tilde M'(0)t +\frac 12\tilde M''(0)t^2 + o(t^2)$

\Rightarrow \tilde{M} (t) = 1 + \frac{1}{2} t^{2} + o (t^{2})

$\Rightarrow \tilde M(t) = 1 + \frac 12t^2+ o(t^2)$

ซึ่งหมายความว่าลักษณะฟังก์ชั่น (ที่นี่หมายถึงหน่วยจินตภาพ) 2) $i$

\tilde{ϕ} (t) = 1 + \frac{1}{2} (i t)^{2} + o (t^{2}) = 1 - \frac{1}{2} t^{2} + o (t^{2})

$\tilde \phi(t) = 1 + \frac 12 (it)^2 + o(t^2)= 1 - \frac 12 t^2 + o(t^2)$

โดยคุณสมบัติของฟังก์ชั่นลักษณะเรามีว่าฟังก์ชั่นลักษณะของเท่ากับ $\tilde Z/\sqrt n$

{\tilde{ϕ}}_{\tilde{Z} / \sqrt{n}} (t) = {\tilde{ϕ}}_{\tilde{Z}} (t / \sqrt{n}) = 1 - \frac{t^{2}}{2 n} + o (t^{2} / n)

$\tilde \phi_{\tilde Z/\sqrt n}(t)=\tilde \phi_{\tilde Z}(t/\sqrt n) = 1 - \frac {t^2}{2n} + o(t^2/n)$

และเนื่องจากเรามีตัวแปรสุ่มอิสระฟังก์ชันลักษณะของ คือ $\frac 1{\sqrt n}\sum_i^n\tilde Z_i$

{\tilde{ϕ}}_{\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i}^{n} {\tilde{Z}}_{i}} (t) = \prod_{i = 1}^{n} {\tilde{ϕ}}_{\tilde{Z}} (t / \sqrt{n}) = \prod_{i = 1}^{n} (1 - \frac{t^{2}}{2 n} + o (t^{2} / n))

$\tilde \phi_{\frac 1{\sqrt n}\sum_i^n\tilde Z_i}(t)= \prod_{i=1}^n\tilde \phi_{\tilde Z}(t/\sqrt n)=\prod_{i=1}^n\left(1 - \frac {t^2}{2n} + o(t^2/n)\right)$

แล้วก็

lim_{n \to \infty} {\tilde{ϕ}}_{\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i}^{n} {\tilde{Z}}_{i}} (t) = lim_{n \to \infty} {(1 - \frac{t^{2}}{2 n})}^{n} = e^{- t^{2} / 2}

$\lim_{n\rightarrow \infty}\tilde \phi_{\frac 1{\sqrt n}\sum_i^n\tilde Z_i}(t) = \lim_{n\rightarrow \infty}\left(1 - \frac {t^2}{2n}\right)^n = e^{-t^2/2}$

โดยวิธีการที่จำนวน $e$ เป็นตัวแทน มันเกิดขึ้นที่เทอมสุดท้ายคือฟังก์ชันลักษณะของการแจกแจงแบบปกติมาตรฐานและโดยทฤษฎีบทความต่อเนื่องของเลวีเรามี

\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i}^{n} {\tilde{Z}}_{i} \overset{d}{\to} N (0, 1)

$\frac 1{\sqrt n}\sum_i^n\tilde Z_i \xrightarrow{d} N(0,1)$

ซึ่งเป็น CLT โปรดทราบว่าความจริงที่ว่าตัวแปรนั้นไม่ได้กระจายแบบ "หายไป" จากการดูเมื่อเราพิจารณารุ่นที่อยู่กึ่งกลางและปรับขนาดแล้วและพิจารณาการขยาย Taylor ลำดับที่ 2 ของ MGF / CHF: ในระดับการประมาณนั้นฟังก์ชันเหล่านี้ เหมือนกันและความแตกต่างทั้งหมดจะถูกบีบอัดในเงื่อนไขส่วนที่เหลือซึ่งหายไปโดยไม่แสดงอาการ $Z$

ความจริงที่ว่าพฤติกรรมที่เป็นนิสัยในระดับบุคคลจากองค์ประกอบทั้งหมดล้วนแต่หายไปเมื่อเราพิจารณาพฤติกรรมโดยเฉลี่ยฉันเชื่อว่ามันแสดงให้เห็นได้ดีมากโดยใช้สิ่งมีชีวิตที่น่ารังเกียจเหมือนตัวแปรสุ่มที่มีการกระจายแบบผสม

— Alecos Papadopoulos
แหล่งที่มา

เด็ดจริงๆ Alecos ความรู้สึกของฉันอยู่ที่การโต้แย้งควรขึ้นอยู่กับเงื่อนไขที่เฉพาะเจาะจงมากขึ้นใน 's และ ' s ตัวอย่างเช่น: การพิสูจน์แบ่งถ้าอย่างรวดเร็วหรือไม่? (ฉันรู้ในใบสมัครของคุณสิ่งนี้จะไม่เกิดขึ้น) คุณคิดอย่างไร?

a_{i}

$a_i$

b_{i}

$b_i$

(b_{i} - a_{i}) ↓ 0

$(b_i-a_i)\downarrow 0$

— เซน

@ เซนปัญหาเกี่ยวกับความแปรปรวนของ rv ที่เป็นอิสระ แต่ไม่กระจายตัวเหมือนกันเป็นสิ่งที่ละเอียดอ่อนมากฉันไม่คิดว่าฉันยังคงเข้าใจอย่างชัดเจน เงื่อนไข Lyapunov หรือ Lindeberg ที่รู้จักนั้นเพียงพอสำหรับ CLT เท่านั้น มีหลายกรณีที่ CLT ถืออยู่แม้ว่าเงื่อนไขเหล่านี้จะไม่ ดังนั้นฉันคิดว่าถ้าเราไม่ผูกพันความแปรปรวนดังนั้นไม่มีคำตอบเดียวและปัญหาจะกลายเป็นกรณีเฉพาะทั้งหมด แม้แต่หนังสือของ Billingsley ก็ยังไม่ชัดเจนในเรื่องนี้ คำถามคือสิ่งที่เหลือจะเป็นอย่างไรและเราสามารถบอกอะไรได้บ้าง

— Alecos Papadopoulos