จะทำให้ข้อมูลขาวขึ้นโดยใช้การวิเคราะห์องค์ประกอบหลักได้อย่างไร

ฉันต้องการแปลงข้อมูลของฉัน$\mathbf X$เพื่อให้ความแปรปรวนเป็นหนึ่งและความแปรปรวนร่วมจะเป็นศูนย์ (เช่นฉันต้องการทำให้ข้อมูลขาวขึ้น) นอกจากนี้ค่าเฉลี่ยควรเป็นศูนย์

ฉันรู้ว่าฉันจะไปถึงที่นั่นด้วยการทำมาตรฐาน Z และการแปลง PCA แต่ฉันควรทำตามลำดับใด

ฉันควรเพิ่มว่าประกอบด้วยการเปลี่ยนแปลงไวท์เทนนิ่งควรจะมีรูปแบบ{ข}$\mathbf{x} \mapsto W\mathbf{x} + \mathbf{b}$

มีวิธีการคล้ายกับ PCA ซึ่งทำการเปลี่ยนแปลงทั้งสองอย่างนี้และให้สูตรของแบบฟอร์มด้านบนหรือไม่

ครั้งแรกที่คุณจะได้รับเป็นศูนย์เฉลี่ยโดยการหักค่าเฉลี่ย{x}$\boldsymbol \mu = \frac{1}{N}\sum \mathbf{x}$

ประการที่สองคุณจะได้รับ covariances เป็นศูนย์โดยทำ PCA หากเป็นเมทริกซ์ความแปรปรวนของข้อมูลของคุณแล้ว PCA จำนวนเงินที่จะดำเนินการ eigendecompositionที่คือ เมทริกซ์การหมุนแบบมุมฉากประกอบด้วย eigenvector ของและเป็นเมทริกซ์ทแยงมุมที่มีค่าลักษณะเฉพาะบนเส้นทแยงมุม Matrixให้การหมุนที่จำเป็นในการยกเลิกการเชื่อมโยงข้อมูล (เช่นจับคู่คุณลักษณะดั้งเดิมกับส่วนประกอบหลัก)$\boldsymbol \Sigma$$\boldsymbol \Sigma = \mathbf{U} \boldsymbol \Lambda \mathbf{U}^\top$$\mathbf{U}$$\boldsymbol \Sigma$$\boldsymbol \Lambda$$\mathbf{U}^\top$

ประการที่สามหลังจากการหมุนแต่ละองค์ประกอบจะมีความแปรปรวนที่กำหนดโดยค่าลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกัน ดังนั้นเพื่อให้ความแปรปรวนเท่ากับคุณจะต้องหารด้วยรากที่สองของ\$1$$\boldsymbol \Lambda$

ร่วมกันทั้งหมด, การเปลี่ยนแปลงผิวขาวใสเป็นMU) คุณสามารถเปิดวงเล็บเพื่อรับแบบฟอร์มที่คุณต้องการ$\mathbf{x} \mapsto \boldsymbol \Lambda^{-1/2} \mathbf{U}^\top (\mathbf{x} - \boldsymbol \mu)$

ปรับปรุง ดูรายละเอียดเพิ่มเติมได้ในหัวข้อต่อไปนี้: ความแตกต่างระหว่าง ZCA กับ PCA คืออะไร?