วัตถุประสงค์ของฟังก์ชั่นลักษณะคืออะไร?

ฉันหวังว่าบางคนสามารถอธิบายได้ว่าในแง่ของคนธรรมดาหน้าที่ของคุณลักษณะคืออะไรและใช้ในทางปฏิบัติอย่างไร ฉันอ่านว่ามันคือการแปลงฟูริเยร์ของ pdf ดังนั้นฉันเดาว่าฉันรู้ว่ามันคืออะไรแต่ฉันก็ยังไม่เข้าใจวัตถุประสงค์ของมัน หากใครบางคนสามารถให้คำอธิบายที่เข้าใจง่ายเกี่ยวกับจุดประสงค์ของมันและอาจเป็นตัวอย่างของวิธีการใช้โดยทั่วไปนั่นจะยอดเยี่ยม!

เพียงหนึ่งบันทึกล่าสุด: ฉันได้เห็นหน้า Wikipediaแต่เห็นได้ชัดว่าหนาแน่นเกินไปที่จะเข้าใจสิ่งที่เกิดขึ้น สิ่งที่ฉันกำลังมองหาคือคำอธิบายว่าบางคนไม่ได้หมกมุ่นอยู่กับสิ่งมหัศจรรย์ของทฤษฎีความน่าจะเป็นนักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์สามารถเข้าใจได้

ย้อนกลับไปในวันนี้ผู้คนใช้ตารางลอการิทึมเพื่อเพิ่มจำนวนเร็วขึ้น ทำไมนี้ ลอการิทึมแปลงคูณไปนอกจากนี้ตั้งแต่ ) ดังนั้นในการคูณสองจำนวนมากaและbคุณพบลอการิทึมเพิ่มลอการิทึมz = log ( a ) + log ( b )แล้วค้นหาexp ( z )บนตารางอื่น$\log(ab) = \log(a) + \log(b)$$a$$b$$z = \log(a) + \log(b)$$\exp(z)$

ตอนนี้ฟังก์ชั่นลักษณะทำสิ่งที่คล้ายกันสำหรับการแจกแจงความน่าจะเป็น สมมติว่ามีการแจกแจงfและYมีการกระจายgและXและYเป็นอิสระ จากนั้นการกระจายของX + Yเป็นบิดของFและG , F *กรัม$X$$f$$Y$$g$$X$$Y$$X+Y$$f$$g$$f * g$

ตอนนี้ฟังก์ชั่นลักษณะเป็นการเปรียบเทียบของ "ลอการิทึมตารางลวงตา" สำหรับการแปลงเนื่องจากถ้าเป็นฟังก์ชันลักษณะของfดังนั้นความสัมพันธ์ต่อไปนี้จะเก็บ:$\phi_f$$f$

$\phi_h$$h$$h$$\phi_h$

ลักษณะฟังก์ชั่นแปลงบิดไป คูณสำหรับฟังก์ชั่นความหนาแน่นเช่นเดียวกับที่ลอการิทึมแปลงคูณเข้าไปนอกจากนี้สำหรับตัวเลข การแปลงทั้งสองแปลงการดำเนินการที่ค่อนข้างซับซ้อนให้เป็นแบบที่ค่อนข้างง่าย

@ charles.y.zheng และ @cardinal ให้คำตอบที่ดีมากฉันจะเพิ่มสองเซ็นต์ของฉัน ใช่ฟังก์ชั่นที่มีลักษณะอาจดูเหมือนแทรกซ้อนที่ไม่จำเป็น แต่มันเป็นเครื่องมืออันทรงพลังที่สามารถให้ผลลัพธ์แก่คุณได้ หากคุณพยายามพิสูจน์บางสิ่งด้วยฟังก์ชันการแจกแจงแบบสะสมขอแนะนำให้ตรวจสอบเสมอว่าไม่สามารถรับผลลัพธ์ด้วยฟังก์ชันลักษณะพิเศษได้ บางครั้งสิ่งนี้ให้การพิสูจน์สั้นมาก

ถึงแม้ว่าในตอนแรกฟังก์ชั่นลักษณะจะมีวิธีการทำงานที่ไม่คุ้นเคยกับการแจกแจงความน่าจะเป็น แต่ก็มีผลลัพธ์ที่ทรงพลังที่เกี่ยวข้องโดยตรงกับมันซึ่งหมายความว่าคุณไม่สามารถละทิ้งแนวคิดนี้ได้ ตัวอย่างเช่นผลที่ชื่นชอบในทฤษฎีความน่าจะเป็นที่ใด ๆกระจายหารเพียบมีเอกลักษณ์เป็นตัวแทนLévy-Khintchine บวกกับความจริงที่ว่าการกระจายตัวแบบหารไม่สิ้นสุดนั้นเป็นเพียงการแจกแจงที่เป็นไปได้สำหรับข้อ จำกัด ของผลรวมของตัวแปรสุ่มแบบอิสระ

วัตถุประสงค์ของฟังก์ชั่นคุณลักษณะคือพวกมันสามารถใช้เพื่อหาคุณสมบัติของการแจกแจงในทฤษฎีความน่าจะเป็น หากคุณไม่สนใจในภาคส่วนดังกล่าวคุณไม่จำเป็นต้องเรียนรู้เกี่ยวกับฟังก์ชั่นพิเศษ

ฟังก์ชันลักษณะคือการแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชันความหนาแน่นของการแจกแจง หากคุณมีปรีชาญาณใด ๆ เกี่ยวกับการแปลงฟูริเยร์ความจริงข้อนี้อาจเป็นความกระจ่าง เรื่องราวทั่วไปเกี่ยวกับการแปลงฟูริเยร์คือพวกมันอธิบายฟังก์ชั่น 'ในพื้นที่ความถี่' เนื่องจากความหนาแน่นของความน่าจะเป็นมักจะไม่เปลี่ยนรูปแบบ (อย่างน้อยในโลกแห่งความเป็นจริงหรือในรูปแบบที่สร้างขึ้นเกี่ยวกับโลกแห่งความจริง) สิ่งนี้จึงไม่น่าสนใจอย่างยิ่ง

การแปลงฟูริเยร์เป็นการสลายตัวของฟังก์ชั่น (ไม่เป็นคาบ) ในความถี่ การตีความเพื่อความหนาแน่น?

การแปลงฟูริเยร์เป็นเวอร์ชั่นต่อเนื่องของอนุกรมฟูริเยร์เนื่องจากไม่มีความหนาแน่นเป็นระยะโดยไม่แสดงออกเหมือน