ฉันจะสอนคนกลุ่มเล็ก ๆ เกี่ยวกับระบบเลขในการคำนวณและสงสัยว่ามีกี่บิตต่อหลักในระบบทศนิยมเช่น:

• Hex (ฐาน 16) - 4 บิต
• Octal (ฐาน 8) - 3 บิต
• ไบนารี (ฐาน 2) - 1 บิต
• ทศนิยม (ฐาน 10) -?

สิ่งที่คุณกำลังมองหาคือลอการิทึมแบบยึด 2 ค่าจาก 10 ซึ่งเป็นจำนวนอตรรกยะประมาณ 3.32192809489 ....

ความจริงที่ว่าคุณไม่สามารถใช้จำนวนเต็มบิตสำหรับเลขทศนิยมนั้นเป็นสาเหตุของสาเหตุที่เศษส่วนจำนวนมากที่ง่ายต่อการแสดงในระบบทศนิยม (เช่น 1/5 หรือ 0.2) เป็นไปไม่ได้ (ไม่ยาก: จริงๆ เป็นไปไม่ได้) ที่จะแสดงเป็นไบนารี่ สิ่งนี้มีความสำคัญเมื่อทำการประเมินข้อผิดพลาดในการปัดเศษในเลขทศนิยม

กล่าวอีกนัยหนึ่งจำนวนข้อมูลที่มีอยู่ในระบบเลขหลักเดียว

สำหรับฐาน 2, ฐาน 4, ฐาน 8, ฐาน 16 และฐาน2 ^Nอื่น ๆคำตอบนั้นชัดเจนเพราะในฐาน 2 ^Nแต่ละหลักสามารถแสดงด้วยตัวเลข N หลักทุกประการ

คุณได้รับ^Nอย่างไร2 ^N ทีนี้คุณใช้ลอการิทึม 2 ตัวซึ่งเป็นค่าผกผันของการยกกำลัง

• log ₂ 2 = 1 (1 บิตต่อตัวเลขในฐาน 2)
• log ₂ 4 = 2 (2 บิตต่อหลักในฐาน 4)
• log ₂ 8 = 3 (3 บิตต่อหลักในฐาน 8)
• log ₂ 16 = 4 (4 บิตต่อตัวเลขในฐาน 16)

ลอการิทึมที่ใช้ K สำหรับตัวเลขที่ไม่ใช่พลังของ K ไม่ใช่ตัวเลขที่สำคัญ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง:

• log ₂ 10 = 3.321928094887362347870319429489390175864831393024580612054 …

ตัวเลขนี้อาจดูสับสน แต่จริงๆแล้วมันมีประโยชน์บางอย่าง ตัวอย่างเช่นมันเป็นเอนโทรปีของตัวเลขทศนิยมเดียว

อย่างไรก็ตามสำหรับกรณีของคุณฉันไม่คิดว่าคุณค่านี้มีประโยชน์ใด ๆ @ คำตอบของคริสเตียนทำงานได้ดีในการอธิบายว่าทำไม

ในเรื่องของบิต:

ฉันขอโทษที่บอกว่าคำถามนี้ผิดไป คุณจะไม่ใช้บิตในลักษณะนั้น บิตเป็นเลขฐานสอง คุณสามารถแปลงเลขทศนิยม 10 ให้เป็นไบนารี 1010 (8 + 2) ดังนั้นคุณต้องใช้ 4 บิตเพื่อแสดงค่าทศนิยม 10

พลังของ 2

คุณตกหลุมพรางเล็ก ๆ น้อย ๆ โดยใช้เลขฐานสอง (2), ฐานแปด (8) และเลขฐานสิบหก (16) เป็นตัวอย่างเพราะสิ่งเหล่านี้คือพลังทั้งหมดของ 2 และทำให้คุณคิดได้ในรูปของบิต ในขณะที่ 10 ไม่ใช่พลังของ 2 ดังนั้นมันจึงไม่ทำงานได้ดีเช่นนั้น

BCD - Binary Coded Decimal ใช้ 4 บิตต่อหลักเช่นเดียวกับเลขฐานสิบหก

https://en.wikipedia.org/wiki/Binary-coded_decimal

การใช้บิตหมายถึงพลังของ 2 ดังนั้นอย่างที่คนอื่น ๆ บอกว่าคุณไม่สามารถ shohorn 10 บิตเป็นไบต์โดยไม่สูญเปล่า วิธีแก้ปัญหาทั่วไปคือการใช้ 4 บิตต่อเลขฐานสิบหกและสิ้นเปลืองสถานะ 6 สถานะที่แสดงเป็น AF สิ่งที่น่าสนใจคือการทำเลขทศนิยมด้วยวิธีนี้ - มันไม่เป็นระเบียบและเรียบง่าย

แนวคิดการสอนที่มีประโยชน์อาจเปรียบเทียบว่า Micky Mouse อาจพัฒนาระบบการนับได้อย่างไรเนื่องจากเขามีเพียง 4 นิ้วต่อมือซึ่งนำไปสู่ธรรมชาติด้วยระบบฐานแปด

นี่อาจเป็นการทำให้ใหญ่เกินไป แต่ก็ขึ้นอยู่กับคำถามที่คุณถาม
(และคำตอบนั้นเป็นฐานแปดหรือฐานสิบหก)

ฉันยังไม่พิจารณาเศษบิตเป็นบิตเพราะในบิตการใช้งานจริงไม่มีเศษส่วน

Q1: กี่บิตที่คุณสามารถเป็นตัวแทนในหลักทศนิยม ?

A1:คุณสามารถแสดงข้อมูล 3 บิตในหลักทศนิยมเดียว:

ชุดรูปแบบที่พบมากที่สุดจะเป็นเลขฐานสองตรงกับการตัดที่ 0 = 8 = 000 และ 1 = 9 = 001 แต่คุณสามารถใช้รูปแบบใด ๆ ที่ไม่มีสิ่งใดที่บอกว่านี่เป็นวิธีเดียวที่จะเข้ารหัสบิตเป็นตัวเลขทศนิยม

• 0: 000
• 1: 001
• 2: 010
• 3: 011
• 4: 100
• 5: 101
• 6: 110
• 7: 111
• 8: 000 <- การห่อ (หรือไม่ได้ใช้)
• 9: 001 <- การห่อ (หรือไม่ได้ใช้)

หรือ

Q2: ใช้เวลากี่บิตในการแทนทศนิยม

A2:คุณต้องมีอย่างน้อย 4 บิตเพื่อแสดงทศนิยมทั้งหมด กับขยะหรือห่อ

อีกรูปแบบที่พบมากที่สุดจะเป็นไบนารีตรงกับการห่อ แต่คุณสามารถใช้รูปแบบอื่น ๆ

• 0: 0000
• 1: 0001
• 2: 0010
• 3: 0011
• 4: 0100
• 5: 0101
• 6: 0110
• 7: 0111
• 8: 1,000
• 9: 1001
• 0: 1010 <- การห่อ (หรือไม่ได้ใช้)
• 1: 1011 <- การห่อ (หรือไม่ได้ใช้)
• 2: 1100 <- การห่อ (หรือไม่ได้ใช้)
• 3: 1101 <- การห่อ (หรือไม่ได้ใช้)
• 4: 1110 <- การห่อ (หรือไม่ได้ใช้)
• 5: 1111 <- การห่อ (หรือไม่ได้ใช้)

ในฐาน 1024 แต่ละสัญลักษณ์คือ 10 บิต ทศนิยมสามหลักมีจำนวนข้อมูลเท่ากับหนึ่งหลักในฐาน 1000 ซึ่งน้อยกว่า 1024 เล็กน้อยดังนั้นตัวเลขทศนิยมมีน้อยกว่า 10/3 บิตเล็กน้อย การประมาณนี้ให้ 3.333333 ... ในขณะที่จำนวนที่แน่นอนคือ 3.321928 ...

• Hex (ฐาน 16) - 4 บิต
• Octal (ฐาน 8) - 3 บิต
• ไบนารี (ฐาน 2) - 1 บิต
• ฐานสิบ (ฐาน 10) - 3 1/3 บิต
  2 ¹⁰ = 1,024
  10 ³ = 1,000
  2 ²⁰ = 1,048,576
  10 ⁶ = 1,000,000
  3 หลักในฐาน 10 สูงถึง 999 สามารถเก็บได้ใน 10 บิตในฐาน 2
  6 หลักในฐาน 10 ถึง 999,999 สามารถจัดขึ้นใน 20 บิตในฐาน 2.
  นี่เป็นแนวคิดของกิโลไบต์เมกะไบต์และกิกะไบต์ที่เกิดขึ้น
  

ข้อจำกัดความรับผิดชอบ - ฉันไม่ใช่นักทฤษฎีข้อมูลเพียงรหัสลิงที่ทำงานเป็นหลักใน C และ C ++ (และด้วยประเภทความกว้างคงที่) และคำตอบของฉันจะมาจากมุมมองเฉพาะนั้น

มันต้องใช้เวลาโดยเฉลี่ย 3.2 บิตจะเป็นตัวแทนทศนิยมหลักเดียว - 0 ถึง 7 สามารถแสดงใน 3 บิตในขณะที่ 8 และ 9 ต้อง 4. 1(8*3 + 2*4)/10 == 3.2

มันมีประโยชน์น้อยกว่าที่มันฟัง สิ่งหนึ่งคุณเห็นได้ชัดว่าไม่มีเศษส่วน สำหรับอีกกรณีหนึ่งถ้าคุณใช้ชนิดจำนวนเต็มดั้งเดิม (เช่นไม่ใช่ BCD หรือ BigInt) คุณจะไม่ได้จัดเก็บค่าตามลำดับเลขทศนิยม (หรือเทียบเท่าแบบไบนารี) ประเภท 8 บิตสามารถเก็บค่าบางอย่างที่ใช้เวลาถึง 3 ตัวเลขทศนิยม แต่คุณไม่สามารถเป็นตัวแทนของทุกค่าทศนิยม 3 หลักใน 8 บิต - [0..255]ช่วงคือ คุณไม่สามารถแทนค่า[256..999]ใน 8 บิตเท่านั้น

เมื่อเราพูดถึงค่าเราจะใช้ทศนิยมหากแอปพลิเคชันคาดหวัง (เช่นแอปพลิเคชันธนาคารดิจิทัล) เมื่อเราพูดถึงบิตเรามักจะใช้เลขฐานสิบหกหรือเลขฐานสอง (ฉันแทบจะไม่เคยใช้เลขฐานแปดเพราะฉันทำงานกับระบบที่ใช้ไบต์ 8 บิตและ 32- บิตซึ่งไม่หารด้วย 3)

ค่าที่แสดงเป็นทศนิยมจะไม่จับคู่กับลำดับไบนารีอย่างหมดจด 255ใช้ค่าทศนิยม เทียบเท่าไบนารีของแต่ละหลักจะเป็น010, ,101 101แต่ฐานเป็นตัวแทนของค่าที่เป็น255 11111111ไม่มีการโต้ตอบกันระหว่างตัวเลขทศนิยมใด ๆในค่าตามลำดับเลขฐานสอง แต่มีการโต้ตอบโดยตรงกับตัวเลขฐานสิบหก - F == 1111ดังนั้นค่าสามารถแสดงเป็นเลขFFฐานสิบหก

หากคุณอยู่ในระบบที่มี 9- บิตไบต์และ 36- บิตคำเป็นบรรทัดฐานแล้วฐานแปดทำให้รู้สึกมากขึ้นเนื่องจากบิตกลุ่มเป็นธรรมชาติสาม

ถ้าฉันสอนสิ่งนี้ฉันจะอธิบายก่อนว่าตัวเลขใด (แสดงเป็นชุดตัวเลขหมายถึง) กล่าวคือจากขวาไปซ้ายสมมติว่าฐาน n, a * n ^ 0 + b * n ^ 1 + c * n ^ 2 ... z * n ^ y

จากนั้นอธิบายว่า 10 ^ 3 มีค่าประมาณ 2 ^ 10 มันไม่ถูกต้องและเป็นเหตุผลในคอมพิวเตอร์เรามักไม่ทราบว่า 2k หมายถึงอะไรจริง ๆ (คือ 2,000 หรือ 2,048?) มันให้บริการค่อนข้างดีสำหรับการประมาณอย่างรวดเร็ว 2 ^ 16 ประมาณ 2 ^ (16 - 10) * 1,000 หรือ 2 ^ 6 (64) * 1,000 หรือ 64,000 ในความเป็นจริงมันคือ 65,536 แต่ถ้าคุณไม่รังเกียจที่จะออกไปประมาณร้อยละมันก็ใช้ได้ดีพอสมควรสำหรับการประมาณค่าแบบรวดเร็ว