ทำไมวงรีถึงเป็นวงรีแทนที่จะเป็นวงกลม

16

ทำไมดาวเคราะห์หมุนรอบดาวฤกษ์ในวงโคจรรูปวงรีที่เฉพาะเจาะจงกับดาวที่จุดใดจุดหนึ่ง เหตุใดวงโคจรจึงไม่เป็นวงกลม

star orbit planet

2

คำตอบของ Eduardo สรุปได้มากที่สุด แม้ว่าคุณจะเห็นคำตอบของฉันสำหรับคำถามที่คล้ายกันใน Physics SE physics.stackexchange.com/questions/56657/…

— Cheeku

2

วงโคจรแบบวงกลมเป็นกรณีพิเศษของวงรีรูปไข่

— asawyer

13

สมมติว่าโลกมีมวลน้อยมากเมื่อเทียบกับดาวฤกษ์ซึ่งทั้งสองมีความสมมาตรเป็นทรงกลม (ดังนั้นกฎความโน้มถ่วงของนิวตันจึงถือกำเนิดขึ้น แต่โดยปกติจะเกิดขึ้นกับการประมาณที่ดีมาก ๆ ) และไม่มีแรงใด ๆ . หากเงื่อนไขแรกไม่ได้เก็บไว้การเร่งความเร็วของแต่ละคนจะเป็นไปสู่barycenterของระบบราวกับว่า barycenter กำลังดึงดูดพวกเขาด้วยแรงโน้มถ่วงที่มีมวลลดลงบางอย่างดังนั้นปัญหาจึงเท่ากับคณิตศาสตร์

พาดาวไปเป็นจุดกำเนิด ตามกฎแรงโน้มถ่วงของนิวตันแรงคือโดยที่คือเวกเตอร์สู่ดาวเคราะห์คือมวลของมันและเป็นพารามิเตอร์แรงโน้มถ่วงมาตรฐานของดาว $\mathbf{F} = -\frac{m\mu}{r^3}\mathbf{r}$ $\mathbf{r}$ $m$ $\mu = GM$

กฎหมายการอนุรักษ์

เนื่องจากแรงเป็นรัศมีบริสุทธิ์โมเมนตัมเชิงมุมถูกสงวนไว้: $(\mathbf{F}\parallel\mathbf{r})$ $\mathbf{L} = \mathbf{r}\times\mathbf{p}$ ถ้าความเร็วเริ่มต้นไม่ใช่ศูนย์และดาวเป็นจุดเริ่มต้นแล้วในแง่ของตำแหน่งที่เริ่มต้นและความเร็ววงโคจรที่จะต้องถูกคุมขังในระนาบของทุกจุดที่มีเวกเตอร์จากจุดกำเนิดที่ satisify0หากความเร็วเริ่มต้นเป็นศูนย์การเคลื่อนที่จะเป็นรัศมีอย่างหมดจดและเราสามารถเลือกระนาบใด ๆ ก็ได้ที่มีแบริเซนเตอร์และตำแหน่งเริ่มต้น

\dot{L} = \frac{d}{d t} (r \times p) = m (\dot{r} \times \dot{r}) + r \times F = 0 .

$\dot{\mathbf{L}} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\mathbf{r}\times\mathbf{p}\right) = m(\dot{\mathbf{r}}\times \dot{\mathbf{r}}) + \mathbf{r}\times\mathbf{F} = \mathbf{0}\text{.}$

x

$\mathbf{x}$

L \cdot x = 0

$\mathbf{L}\cdot\mathbf{x} = 0$

พลังงานทั้งหมดที่ได้จากการโคจรคือ ที่ส่วนแรกคือพลังงานจลน์และระยะที่สองเป็นพลังงานศักย์โน้มถ่วงของโลก การอนุรักษ์รวมถึงความจริงที่ว่ามันเรียกใช้พลังงานศักย์ที่ถูกต้องสามารถพิสูจน์ได้โดยทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัสสำหรับการอินทิกรัลเชิงเส้น

E = \frac{p^{2}}{2 m} - \frac{m μ}{r},

$\mathcal{E} = \frac{p^2}{2m} - \frac{m\mu}{r}\text{,}$

นิยามเวกเตอร์ Laplace-Runge-Lenz ให้เป็น มันได้รับการอนุรักษ์ด้วย:

A = p \times L - \frac{m^{2} μ}{r} r .

$\mathbf{A} = \mathbf{p}\times\mathbf{L} - \frac{m^2\mu}{r}\mathbf{r}\text{.}$

\begin{array}{rcl} \dot{A} & = & F \times L + p \times \dot{L} - \frac{m μ}{r} p + \frac{m μ}{r^{3}} (p \cdot r) r \\ = & - \frac{m μ}{r^{3}} \underset{(r \cdot p) r - r^{2} p}{\underset{⏟}{(r \times (r \times p))}} - \frac{m μ}{r} p + \frac{m μ}{r^{3}} (p \cdot r) r \\ = & 0 . \end{array}

$\begin{eqnarray*} \dot{\mathbf{A}} &=& \mathbf{F}\times\mathbf{L} + \mathbf{p}\times\dot{\mathbf{L}} - \frac{m\mu}{r}\mathbf{p} + \frac{m\mu}{r^3}(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r})\mathbf{r}\\ &=& -\frac{m\mu}{r^3}\underbrace{\left(\mathbf{r}\times(\mathbf{r}\times\mathbf{p})\right)}_{(\mathbf{r}\cdot\mathbf{p})\mathbf{r} - r^2\mathbf{p}} - \frac{m\mu}{r}\mathbf{p} + \frac{m\mu}{r^3}(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r})\mathbf{r}\\ &=& \mathbf{0}\text{.} \end{eqnarray*}$

$\mathbf{f} = \mathbf{A}/(m\mathcal{E})$ $\mathbf{r}$ $\mathbf{L}\cdot\mathbf{f} = 0$ $\mathbf{f}$ $\mathcal{E}\neq 0$

ลดความซับซ้อน

\begin{array}{rcl} \frac{1}{m} A & = & \frac{1}{m} [p^{2} r - (p \cdot r) p] - \frac{m μ}{r} r \\ = & (E + \frac{p^{2}}{2 m}) r - \frac{1}{m} (p \cdot r) p \\ E (f - r) & = & (\frac{p^{2}}{2 m}) r - \frac{1}{m} (p \cdot r) p, \end{array}

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{m}\mathbf{A} &=& \frac{1}{m}\left[p^2\mathbf{r}-(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r})\mathbf{p}\right] -\frac{m\mu}{r}\mathbf{r}\\ &=& \left(\mathcal{E}+\frac{p^2}{2m}\right)\mathbf{r} - \frac{1}{m}\left(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}\right)\mathbf{p}\\ \mathcal{E}(\mathbf{f}-\mathbf{r}) &=& \left(\frac{p^2}{2m}\right)\mathbf{r} - \frac{1}{m}\left(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}\right)\mathbf{p}\text{,} \end{eqnarray*}$

E^{2} | f - r |^{2} = {(E + \frac{m μ}{r})}^{2} r^{2},

$\mathcal{E}^2|\mathbf{f}-\mathbf{r}|^2 = \left(\mathcal{E} + \frac{m\mu}{r}\right)^2r^2\text{,}$

E

$\mathcal{E}$

ทำไมต้องเลือกไข่เจียว

$\mathcal{E}$ $\mathcal{E}<0$ $|\mathbf{f}-\mathbf{r}| = -\mathcal{E}^{-1}\left(\mathcal{E}r + m\mu\right)$

| f - r | + | r | = - \frac{m μ}{E},

$|\mathbf{f}-\mathbf{r}| + |\mathbf{r}| = -\frac{m\mu}{\mathcal{E}}\text{,}$

0, f

$\mathbf{0},\,\mathbf{f}$

2 a = - m μ / E

$2a=-m\mu/\mathcal{E}$

ทำไมไม่ใช่แวดวง

$\mathbf{f} = \mathbf{0}$

E = - \frac{1}{2} \frac{m μ}{r} = - \frac{p^{2}}{2 m} .

$\mathcal{E} = -\frac{1}{2}\frac{m\mu}{r} = -\frac{p^2}{2m}\text{.}$

E < 0

$\mathcal{E}<0$

$\mathcal{E}>0$ $\mathcal{E}=0$ $\mathbf{f}$

$\mathbf{e} = \mathbf{A}/(m^2\mu)$

— สแตนหลิว
แหล่งที่มา

8

e = \frac{r_{a} - r_{p}}{r_{a} + r_{p}}

$e = \frac{r_{a} - r_{p}}{r_{a} + r_{p}}$

r_{a}

$r_{a}$

r_{p}

$r_{p}$

e = 0.333

$e=0.333$

จากดาวเคราะห์ทุกดวงในระบบสุริยะวีนัสที่มีความเยื้องศูนย์ของ0.007มีวงโคจรเป็นวงกลมมากที่สุด

$\dot{r}$ $\dot{\phi}$

v^{2} = {\dot{r}}^{2} + r^{2} {\dot{ϕ}}^{2} .

$v^2 = \dot{r}^2 + r^2\dot{\phi}^2\text{.}$ ในกรอบการยืนยันสมดุลแรงโน้มถ่วงอย่างสมดุลไม่มากก็น้อยความไม่สมดุลจะเปลี่ยนความเร็วของรัศมีทำให้วงเสีย

ด้วยความจริงที่ว่าความเร็วนั้นแตกต่างกันไปด้วยเหตุผลหลายประการจึงไม่น่าแปลกใจที่มีเพียงไม่กี่วงที่โคจรเป็นวงกลมและเมื่อพิจารณาว่าการเปลี่ยนแปลงของวงโคจรที่แท้จริงนั้นเปลี่ยนแปลงไปตามกาลเวลาเรารู้ว่ามันไม่สามารถคงอยู่ได้นาน

หากคุณกำลังมองหาการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์, การเชื่อมโยงนี้หุ้นรายละเอียดบางอย่างเกี่ยวกับมัน

นี่คือภาพที่แสดงความผิดปกติของวัตถุบางอย่างในระบบสุริยจักรวาลที่สกัดจากที่นี่ :

บางระบบสุริยะและความยอดเยี่ยม

— Eduardo Serra
แหล่งที่มา

นี่เป็นสิ่งที่ผิดอย่างสมบูรณ์: "เพื่อให้วงโคจรหมุนรอบได้ความเร็วของดาวเคราะห์จะต้องเป็นจุดต่ำสุดที่จำเป็นต้องอยู่ในวงโคจร; ... น้อยกว่าเล็กน้อยและมันจะชนเข้ากับดาวเคราะห์ที่กำลังโคจรอยู่" ย่อหน้านั้นค่อนข้างสับสนเกี่ยวกับสิ่งที่โคจรรอบ เห็นได้ชัดว่าพวกมันลดความเร็วในแนวรัศมีแต่ก็ไม่เหมือนกันและไม่เชื่อมต่อกับการอภิปรายเกี่ยวกับพลังงานจลน์ การแบ่งพลังงานจลน์ออกเป็นส่วนรัศมีและเชิงมุมวงโคจรทรงกลมก็จะลดศักยภาพที่มีประสิทธิภาพถ้าโมเมนตัมเชิงมุมคงที่

— Stan Liou

@Stan คุณสามารถเสนอการแก้ไขหรือให้คำตอบของคุณเอง คุณช่วยอธิบายรายละเอียดเกี่ยวกับสาเหตุที่คำสั่งนั้นผิดได้หรือไม่? หากดาวเทียมกำลังอธิบายวงโคจรเป็นวงกลมและคุณทำให้ช้าลงมันจะชนเข้ากับดาวเคราะห์ ถ้าคุณเร่งความเร็วมันจะฟอร์มและโคจรเป็นวงรี

— Eduardo Serra

r_{a} = r_{p}

$r_a = r_p$

r_{p}^{'}

$r'_p$

1

@EduardoSerra - ทำให้วัตถุเคลื่อนที่ช้าลงในวงโคจรแบบวงกลมและมันจะอยู่ในวงโคจรรูปไข่ด้วยรัศมีวงโคจรวงกลมในอดีตซึ่งขณะนี้อยู่ในระยะห่างสุดขั้ว

— David Hammen

1

ฉันมักจะชอบคำตอบที่พยายามหลีกเลี่ยงสูตรใด ๆ และตอบกลับการโต้แย้งแทน ในส่วนของคำถามที่ว่าทำไมไม่ใช่วงโคจรทั้งหมดเป็นวงกลมการโต้แย้งจะเป็นดังนี้:

พิจารณาดาวที่อยู่นิ่งและดาวเคราะห์ที่กำลังเคลื่อนที่ สำหรับแต่ละแรงกระตุ้นดาวเคราะห์สามารถมีเส้นโค้งสำหรับการเคลื่อนไหวต่อไปของมันสามารถทำนายได้ หากแรงกระตุ้นนี้ตรงไปยังมุมฉากกับเส้นจากดาวฤกษ์ไปยังดาวเคราะห์และหากความเร็วมีจำนวนที่แน่นอนแล้วเส้นโค้งของการเคลื่อนที่นี้อาจเป็นวงกลมที่แน่นอน

แต่สำหรับทุก ๆ ความเบี่ยงเบนของแรงกระตุ้นตรงนี้เส้นโค้งที่เกิดขึ้นนั้นไม่สามารถเป็นวงกลมได้:

หากความเร็วต่ำเกินไปดาวเคราะห์จะตกลงไปยังดาวฤกษ์ (ในกรณีที่มีแรงกระตุ้นเป็นศูนย์มากที่สุดการตกนี้จะเป็นเส้นตรง)
หากความเร็วสูงเกินไปดาวเคราะห์จะได้รับระยะทางจากดาว (คล้ายกับหนังสติ๊ก)
หากแรงกระตุ้นไม่ได้ตั้งฉากกับเส้นตรงไปที่ดวงดาวการเคลื่อนไหวครั้งแรกจะเลื่อนไปทางหรือจากดาวดังนั้นอีกครั้งที่เส้นโค้งจะไม่เป็นวงกลม

ดังนั้นเราสามารถโต้แย้งได้วงกลมเป็นกรณีพิเศษมากสำหรับเส้นโค้งที่ดาวเคราะห์สามารถรับรอบดาวฤกษ์ได้

— Alfe
แหล่งที่มา

(1) อาร์กิวเมนต์ orthogonality เริ่มต้นเป็นการเริ่มต้นที่ดี (2) แต่ข้อพิจารณา "ความเร็วเร็วเกินไป [ต่ำ / สูง]" นั้นไม่ยุติธรรม: เราจะรู้ได้อย่างไรว่าวงโคจรกลมที่ความเร็วหลายระดับไม่อนุญาตในระยะทางเดียวกัน เราสามารถโต้เถียงกับความเป็นไปได้ของความเร็วหลายระดับโดยการปรับสมดุลแรงโน้มถ่วงและแรงเหวี่ยง แต่จากนั้นทั้ง (1) และ (2) จะเปลี่ยนเป็นสิ่งที่ระบุไว้ในคำตอบของ Eduardo Serra

— Stan Liou

ดังนั้นคุณหมายถึงว่าใครคนหนึ่งอาจรู้สึกว่าแรงโน้มถ่วงอาจเป็นเหมือนเชือกที่แน่นหนาในแง่ที่ว่ามันจะใช้แรงมากขึ้นบนดาวเคราะห์ที่มีต่อดาวฤกษ์ ? อืม…ใช่ขึ้นอยู่กับพื้นหลังของคนธรรมดานี่อาจเป็นสิ่งที่เราคาดหวัง ขอบคุณสำหรับความคิด; บางทีฉันสามารถปรับปรุงคำตอบเพื่อแก้ไขปัญหานี้ได้เช่นกัน!

— Alfe