คุณคำนวณผลกระทบของการ precession บนวงรีรูปไข่ได้อย่างไร

กฎข้อแรกของเคปเลอร์ระบุว่าดาวเคราะห์ (และวัตถุท้องฟ้าทั้งหมดโคจรรอบวัตถุอื่น) เดินทางในวงโคจรรูปไข่ซึ่งมีสูตรที่รู้จักกันดีซึ่งทำให้ง่ายต่อการคำนวณองค์ประกอบการโคจรและพฤติกรรมที่เกี่ยวข้อง อย่างไรก็ตามการ precession อย่างต่อเนื่องหมายความว่าวงโคจรมีการเปลี่ยนแปลงอยู่ตลอดเวลาดังนั้นดาวเคราะห์จึงไม่ได้เดินทางในวงรีตามที่ได้กำหนดไว้! คุณสามารถคำนวณ precession และเอฟเฟกต์ที่เกี่ยวข้อง ( คำถามและคำตอบนี้มีประโยชน์) แต่มีวิธีใดที่จะคำนวณว่าวงโคจรรูปไข่จะ "เสียรูป" โดย precession ได้อย่างไร

จุดเริ่มต้นที่ดีคือ <ใส่ชื่อของนักวิทยาศาสตร์บางคนเมื่อนานมาแล้ว> สมการดาวเคราะห์ ตัวอย่างเช่นมีสมการดาวเคราะห์ของ Lagrange (บางครั้งเรียกว่าสมการดาวเคราะห์ Lagrange-Laplace) สมการดาวเคราะห์ของ Gauss, สมการดาวเคราะห์ของ Delaunay, สมการดาวเคราะห์ของ Hill และอีกมากมาย ชุดรูปแบบทั่วไปในหมู่สมการดาวเคราะห์ต่าง ๆ เหล่านี้คือพวกเขาให้เวลาอนุพันธ์ขององค์ประกอบวงโคจรต่าง ๆ เป็นหน้าที่ของอนุพันธ์บางส่วนของกองกำลัง / รบกวนที่อาจเกิดขึ้นด้วยความเคารพบางตำแหน่งทั่วไป

โดยทั่วไปแล้วคำเดียวที่สามารถอธิบายผลลัพธ์ของกระบวนการนี้ในตอนแรกคือ "ร้อนระอุ" ระเบียบร้อนไม่ได้ยับยั้งจิตใจที่ยอดเยี่ยมของสมัยก่อน ผ่านสมมติฐานต่าง ๆ ที่ทำให้เข้าใจง่ายและใช้เวลานานโดยเฉลี่ยพวกมันมาพร้อมกับคำอธิบายง่ายๆเช่น (acessidal precession) และ (การวางภาพถ่ายระนาบ) คุณสามารถเห็นบางสิ่งนี้ได้ในผลงาน 1900 ที่อ้างถึงโดยฮิลล์ด้านล่าง$\left \langle \frac{d\omega}{dt} \right\rangle$$\left \langle \frac{d\Omega}{dt} \right\rangle$

ในขณะที่เทคนิคเหล่านี้เก่า แต่สมการดาวเคราะห์เหล่านี้ยังคงใช้อยู่ในปัจจุบัน บางครั้งคุณอาจได้รับ "ความยุ่งเหยิง" ก็โอเคตอนนี้เรามีคอมพิวเตอร์แล้ว ผู้คนกำลังใช้สมการของดาวเคราะห์ควบคู่กับเทคนิคการรวมตัวทางเรขาคณิตเพื่อให้ได้อินทิเกรตที่รวดเร็วแม่นยำเที่ยงตรงและอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุมและพลังงานในช่วงเวลาที่ยาวนาน (โดยปกติคุณไม่สามารถมีสิ่งเหล่านี้ได้คุณโชคดีถ้าคุณได้แค่สองหรือสามตัว) คุณลักษณะที่ดีอีกอย่างหนึ่งของสมการดาวเคราะห์เหล่านี้คือพวกมันให้คุณเห็นคุณลักษณะต่าง ๆ เช่นเสียงสะท้อนที่ไม่ชัดเจนโดยแท้จริง " ระเบียบร้อน "ของสมการคาร์ทีเซียนของการเคลื่อนไหว

วัสดุอ้างอิงที่เลือกจัดเรียงตามวันที่:

ฮิลล์ (1900), "ในการขยายวิธีการของ Delaunay ในทฤษฎีทางจันทรคติกับปัญหาทั่วไปของการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์" ธุรกรรมของสมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน , 1.2: 205-242

Vallado (1997 และต่อมา), "ความรู้พื้นฐานของ นอกจากช่องเจาะผ่านกระเป๋าเงินของคุณคุณไม่สามารถผิดกับหนังสือเล่มนี้

Efroimsky (2002), "สมการสำหรับองค์ประกอบ keplerian: สมมาตรที่ซ่อนอยู่" สถาบันคณิตศาสตร์และการประยุกต์

Efroimsky และ Goldreich (2003), "มาตรวัดสัดส่วนของปัญหาร่างกาย N ในแนวทางแฮมิลตัน - จาโคบี" วารสารฟิสิกส์คณิตศาสตร์ , 44.12: 5958-5977

ไวแอตต์ (2549-2552) หลักสูตรการบรรยายระดับบัณฑิตศึกษาในระบบดาวเคราะห์สถาบันดาราศาสตร์เคมบริดจ์
ผลลัพธ์ของสมการดาวเคราะห์ลากรองจ์ถูกนำเสนอบนสไลด์ 6

เคตชูมและคณะ (2013), "เสียงสะท้อนเฉลี่ยในระบบดาวเคราะห์นอกระบบ: การสืบสวนพฤติกรรมพยักหน้า" วารสารฟิสิกส์ดาราศาสตร์ 762.2.

วงโคจรวงรีวงเดียวที่แท้จริงนั้นเป็นของอนุภาคทดสอบที่มีขอบเขตในศักยภาพส่วนกลาง $-k/r$ หรืออย่างเท่าเทียมกันนั่นคือจุดสองจุด (กับการกระจายมวลภายในทรงกลมแบบสมมาตร) มวลชนดึงดูดซึ่งกันและกันด้วยแรงโน้มถ่วงของนิวตัน (และมีพลังงานทั้งหมดเป็นค่าลบ

ทุกอย่างอื่นไม่ใช่รูปไข่ (วงโคจรที่ไม่ได้ผูกไว้เป็นรูปโค้งหรือไฮเพอร์โบลิก) แต่การเบี่ยงเบนส่วนใหญ่มีขนาดเล็ก ความเบี่ยงเบนเล็ก ๆ สามารถเกิดขึ้นได้จากหลายแหล่งรวมถึงคำสี่ส่วนในการกระจายมวลของวัตถุ (ในอนุภาคดวงอาทิตย์), แรงโน้มถ่วงที่ไม่ใช่แรงโน้มถ่วง (ความดันรังสีและการลากก๊าซบนฝุ่นละออง), ผลที่ไม่ใช่ของนิวตัน การก่อกวนจากวัตถุอื่น (ดาวเคราะห์ดวงอื่นทั้งหมด) นิวตันเองก็ตระหนักดีถึงผลสุดท้ายนี้

ถ้าเบี่ยงเบนที่มีขนาดเล็กแล้ววิธีแบบดั้งเดิมในการประเมินนั้นคือทฤษฎีการก่อกวนที่หนึ่งรวมแรงรบกวนตามใจเย็น ๆ (รูปไข่) วงโคจร ตัวอย่างเช่นเพื่อให้ได้ precession ของ periapse เราสามารถรวมการเปลี่ยนแปลงกับเวกเตอร์ eccentricity การหมุนของเวกเตอร์นั้นสอดคล้องกับการ precess ในปริกาล ดูคำตอบของฉันสำหรับคำถามนี้เพื่อเป็นตัวอย่าง

David Hammen เขียน

ผู้คนกำลังใช้สมการของดาวเคราะห์ควบคู่กับเทคนิคการผสมผสานทางเรขาคณิต ...

คุณยังสามารถลอง (สิ่งที่ฉันเรียกว่า) การจำลองแบบ จำกัด ขั้นตอนง่าย ๆ โดยใช้กฎของนิวตันเพื่อทำงานกับมวลวัตถุตำแหน่งความเร็วและการเร่ง ฉันไม่แน่ใจว่าสิ่งนี้อยู่ในสิ่งที่ดาวิดเรียกว่า "เทคนิคการผสมผสานทางเรขาคณิต" หรือไม่ ประเด็นของฉันคือคุณสามารถทำได้โดยไม่ต้องรวมสมการของดาวเคราะห์ ข้อเสีย = เครื่องมือจำลอง "ตัดมุม" โดยใช้การประมาณและสิ่งนี้นำไปสู่พฤติกรรมในรูปแบบซึ่งเป็นสิ่งประดิษฐ์ ข้อเสียเหล่านี้สามารถเอาชนะได้โดยใช้เทคนิคอื่น ข้อได้เปรียบ = ทำให้การออกแบบโค้ดง่ายขึ้นหลีกเลี่ยงความสงสัยว่าสมการดาวเคราะห์ (และสมมติฐานของพวกเขา) กำลังผลักดันการแสดง

คุณไม่จำเป็นต้องเป็นผู้เชี่ยวชาญในวิธีการเชิงตัวเลขเพื่อใช้เทคนิค Leapfrog Integration (อธิบายในรายละเอียดในFeynman Lectures vol I ) เพื่อจำลอง Newtonian Precession ในระบบสุริยะโคจรรอบระยะเวลาไม่กี่ศตวรรษ โดยการจำลองสถานการณ์ในเวลาต่าง ๆ (เช่น$dt=1200s, 600s, 300s, 100s$) การพล็อตผลลัพธ์ใน Excel ปรับเส้นโค้งและคาดการณ์ถึง $dt=0$คุณสามารถได้รับผลลัพธ์สำหรับนิวตันเฉลี่ยระยะยาวของพรีเมี่ยมที่อยู่ภายใน 1% ของตัวเลขที่ยอมรับได้ ข้อดีอีกประการของวิธีการวิเคราะห์ที่ให้ผลลัพธ์ระยะยาวโดยเฉลี่ยคือคุณสามารถตรวจสอบพฤติกรรมในช่วงเวลาที่สั้นลง ตัวอย่างเช่นหากคุณทำกราฟทิศทางการหมุนรอบดวงอาทิตย์เทียบกับเวลาสำหรับดาวเคราะห์บางดวง (เช่นปรอท) คุณจะเห็น$\approx 11.9$ความผันผวนของอัตราการ precession เป็นประจำทุกปีเป็นผลมาจากการเคลื่อนที่ของดาวพฤหัสบดีรอบดวงอาทิตย์ มันสนุกมาก (และง่ายมากเมื่อคุณเขียนโค้ดพื้นฐาน) เพื่อเล่น "จะเกิดอะไรขึ้น?" การจำลองโดยการเปลี่ยนแปลงจำนวนและคุณสมบัติของวัตถุในระบบและแม้กระทั่งการเพิ่มกองกำลังที่ไม่ใช่นิวตัน

เพื่ออ้าง Feymnan: -

อาจเป็นได้ว่าในรอบการคำนวณหนึ่งรอบขึ้นอยู่กับปัญหาเราอาจมีการคูณ 30 ครั้งหรืออะไรทำนองนั้นดังนั้นหนึ่งรอบจะใช้เวลา 300 ไมโครวินาที นั่นหมายความว่าเราสามารถทำการคำนวณได้ 3,000 รอบต่อวินาที เพื่อให้ได้ความถูกต้องของการพูดส่วนหนึ่งในพันล้านเราจะต้อง 4 × 10 ^ 5 รอบเพื่อให้สอดคล้องกับการปฏิวัติหนึ่งของดาวเคราะห์รอบดวงอาทิตย์ ที่สอดคล้องกับเวลาการคำนวณ 130 วินาทีหรือประมาณสองนาที ดังนั้นมันจึงใช้เวลาเพียงสองนาทีในการติดตามดาวพฤหัสรอบดวงอาทิตย์ด้วยการรบกวนทั้งหมดของดาวเคราะห์ทุกดวงที่ถูกต้องให้เป็นส่วนหนึ่งในหนึ่งพันล้านดวงโดยวิธีนี้!

แต่คุณต้องคิดอย่างรอบคอบเกี่ยวกับสิ่งที่คุณสามารถอนุมานได้จากการจำลอง - ตัวอย่างเช่นหากเวลาของคุณนานกว่าสองสามร้อยวินาทีการจำลองจะบ่งบอกถึงการ precession ในทิศทางตรงกันข้ามกับสิ่งที่เกิดขึ้นจริง (เช่นถอยหลังเข้าคลองเมื่อมัน ควรเป็น prograde)