มีตำแหน่งดังกล่าวกี่ตำแหน่ง? (ปริศนาหมากรุกรุกฆาต / คณิตศาสตร์)

ฉันสนใจตำแหน่งประเภทนี้:

บนกระดานมีเพียง 4 ชิ้นเท่านั้น ถ้าคนผิวขาวไปก่อนพวกเขาสามารถรุกฆาตในครั้งเดียว หากคนผิวดำไปก่อนพวกเขาสามารถรุกฆาตได้ในครั้งเดียว ตัวอย่างเช่น:

คำถามคือมีตำแหน่งดังกล่าวกี่ตำแหน่ง?

ฉันพบ 3 ตำแหน่งหลัก:

แต่ละตำแหน่งให้เราอีก 6 ตำแหน่ง เราสามารถย้ายตำแหน่งเริ่มต้นของราชินีดำไปอีก 6 กำลัง 6 ดังนั้นเราจึงมี 21 ตำแหน่งพื้นฐาน

มีตำแหน่งพื้นฐานอื่น ๆ อีกไหม?

สำหรับแต่ละตำแหน่งพื้นฐานเราสามารถ:

1) สลับสี x2

2) หมุนกระดาน x4

3) ตำแหน่งกระจก x2

ดังนั้นหนึ่งตำแหน่งพื้นฐานสร้าง 2x4x2 = 16 ตำแหน่ง และคำตอบสุดท้ายคือ: มี 16x21 = 336 ตำแหน่งดังกล่าว

ถูกต้องหรือไม่

ตำแหน่งพื้นฐานที่สองของคุณอนุญาตให้มีอีก 4 รูปแบบที่นอกเหนือจากที่คุณให้ไว้ซึ่งระบุโดยแผนภาพต่อไปนี้:

นั่นทำให้นับสำหรับ "ตำแหน่งพื้นฐาน" ถึง 25 ไม่ว่าการเพิ่มนั้นจะทำให้รายการหมดจดหรือไม่ฉันไม่แน่ใจอย่างสมบูรณ์ (แม้ว่าฉันคิดว่ามันจะเป็น)

ไม่ว่าในกรณีใดก็ตามจำนวนตำแหน่งพื้นฐานคืออะไรการคาดคะเนจำนวนตำแหน่งทั้งหมดจากที่นั่น (x2 สำหรับสวิตช์สีและ x8 สำหรับการเปลี่ยนกระดาน) ถูกต้องเนื่องจากกลุ่มสมมาตรของกระดานหมากรุกมีคำสั่ง 8 ได้รับการยืนยันใน p.334 ของบทนี้จากคู่มือของข้อ จำกัด การเขียนโปรแกรมตัวอย่างเช่น (อย่างใดอย่างหนึ่งจะต้องระมัดระวังเกี่ยวกับ overcounting ที่นี่ แต่ดูด้านล่าง) ดังนั้นในขณะนี้ฉันคาดเดาว่าคำตอบคือ 25 x 16 = 400

ฉันกำลังเพิ่มการแยกย่อยทางคณิตศาสตร์นี้เพราะฉันเห็นจากโปรไฟล์ของคุณที่คุณสนใจในการศึกษาคณิตศาสตร์ต่อไป ฉันอาจไม่ได้พูดอะไรที่นี่ที่คุณไม่ได้ตระหนักถึง แต่ที่นี่ไปเลย

โปรดทราบว่ามีบางตำแหน่งหมากรุกซึ่งจะออกมาเหมือนกันภายใต้สมมาตรที่แตกต่างกันของคณะกรรมการ ตัวอย่างเช่นลองพิจารณาการสะท้อนข้าม a1-h8 ในแนวทแยง ความสมมาตรของบอร์ดโดยทั่วไปจะเปลี่ยนตำแหน่งที่กำหนดเช่น

กลายเป็น

แต่แน่นอนว่าบางตำแหน่ง (คือตำแหน่งที่มีเพียงชิ้นส่วนบน a1-h8 diagonal) ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้สมมาตรนั้นเช่นตำแหน่ง

ยังคงไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อเราสะท้อนข้ามเส้นทแยงมุมนั้น

เนื่องจากพฤติกรรมเช่นนี้เราต้องระมัดระวังไม่ให้เกินจำนวนในปัญหาการนับเช่นนี้ สำหรับปัญหาของคุณนั่นหมายถึงการแน่ใจว่าไม่มีตำแหน่งพื้นฐานของคุณซ้ำตัวเองภายใต้ symmetries (ไม่ใช่ตัวตน) ใด ๆ เพื่อให้ "x 16" ของเราเมื่อรับจำนวนตำแหน่งทั้งหมดจากจำนวนตำแหน่งพื้นฐานไม่ได้ overcounting ในกรณีปัจจุบันตำแหน่งพื้นฐานของคุณมีความซับซ้อน / ไม่สมมาตรพอที่ชัดเจนโดยสังเขปไม่มีพวกมันจะถูกทำซ้ำภายใต้สมมาตรเหล่านี้ดังนั้นจึงไม่มีอะไรต้องกังวล แต่ในทางคณิตศาสตร์มันมักจะเมื่อสิ่งต่าง ๆ เป็นห่วงมากที่สุดเกี่ยวกับความผิดพลาด (อันที่จริงมีการบอกว่าถ้าคุณต้องการค้นหาข้อผิดพลาดในการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ให้เริ่มที่ใดก็ได้ที่มันบอกว่า "เป็นที่ชัดเจนว่า ... ")