เราต้องการที่จะ factorize semiprime Nเป้าหมายของการท้าทายนี้คือการหาจำนวนเต็มสองจำนวนขนาดเล็กและดังกล่าวว่าสามารถ factorized นิด ๆ ด้วยวิธีการของแฟร์มาต์จึงอนุญาตให้หักค่าใช้จ่ายได้อย่างง่ายดายปัจจัยของN $N$ $u$ $v$ $uvN$ $N$

งาน

รับsemiprime และจำนวนเต็มบวกเรานิยามและเป็น: $N$ $k$ $x$ $y$

x = ⌈ \sqrt{k N} ⌉

$x=\lceil\sqrt{kN}\rceil$

y = x^{2} - k N

$y=x^2-kN$

ขั้นตอนที่ # 1 - ค้นหา $k$

ก่อนอื่นคุณต้องหาค่าที่เป็นไปได้ที่เล็กที่สุดของดังกล่าวว่าเป็นจำนวนตาราง ( akaตารางที่สมบูรณ์) $k$ $y$

นี้จะช่วยให้ Factorize ด้วยซ้ำเดียวของวิธีการแยกตัวประกอบของแฟร์มาต์ ยิ่งเป็นรูปธรรมสิ่งนี้นำไปสู่: $kN$

k N = (x + \sqrt{y}) \times (x - \sqrt{y})

$kN=(x+\sqrt{y})\times(x-\sqrt{y})$

(อัปเดต: ลำดับนี้เผยแพร่ในขณะนี้เป็นA316780 )

ขั้นตอนที่ # 2 - แยกตัวประกอบ $k$

จากนั้นคุณต้องค้นหาจำนวนเต็มบวกทั้งสองตัวและเช่นนั้น: $u$ $v$

u v = k

$uv=k$

c u = x + \sqrt{y}

$cu=x+\sqrt{y}$

d v = x - \sqrt{y}

$dv=x-\sqrt{y}$

ที่และเป็นปัจจัยที่สำคัญของN $c$ $d$ $N$

สรุป

งานของคุณคือการเขียนโปรแกรมหรือฟังก์ชั่นที่ใช้เป็นอินพุตและพิมพ์หรือส่งออกและในลำดับใด ๆ และรูปแบบที่เหมาะสม $N$ $u$ $v$

ตัวอย่าง

ลองพิจารณา $N = 199163$

ขั้นตอนที่ 1

ค่าที่เล็กที่สุดที่เป็นไปได้ของคือซึ่งให้: $k$ $40$

x = ⌈ (\sqrt{40 \times 199163}) ⌉ = 2823

$x = \lceil(\sqrt{40 \times 199163})\rceil = 2823$

y = 2823^{2} - 40 \times 199163 = 7969329 - 7966520 = 2809 = 53^{2}

$y = 2823^2 - 40 \times 199163 = 7969329 - 7966520 = 2809 = 53^2$

k N = (2823 + 53) \times (2823 - 53)

$kN = (2823 + 53) \times (2823 - 53)$

k N = 2876 \times 2770

$kN = 2876 \times 2770$

ขั้นตอนที่ 2

การแยกตัวประกอบที่ถูกต้องของคือเพราะ: $k$ $k = 4 \times 10$

k N = 2876 \times 2770

$kN = 2876 \times 2770$

k N = (719 \times 4) \times (277 \times 10)

$kN = (719 \times 4) \times (277 \times 10)$

N = 719 \times 277

$N = 719 \times 277$

$[ 4, 10 ]$ $[ 10, 4 ]$

กฎระเบียบ

$u$ $v$
$uvN$
อินพุตรับประกันว่าจะเป็น semiprime
นี่คือโค้ดกอล์ฟดังนั้นคำตอบที่สั้นที่สุดในหน่วยไบต์ชนะ
ช่องโหว่มาตรฐานเป็นสิ่งต้องห้าม

กรณีทดสอบ

N          | k    | Output
-----------+------+------------
143        | 1    | [   1,  1 ]
2519       | 19   | [   1, 19 ]
199163     | 40   | [   4, 10 ]
660713     | 1    | [   1,  1 ]
4690243    | 45   | [   9,  5 ]
11755703   | 80   | [  40,  2 ]
35021027   | 287  | [   7, 41 ]
75450611   | 429  | [ 143,  3 ]
806373439  | 176  | [   8, 22 ]
1355814601 | 561  | [  17, 33 ]
3626291857 | 77   | [   7, 11 ]
6149223463 | 255  | [  17, 15 ]
6330897721 | 3256 | [  74, 44 ]

ตัวอย่างการนำไปใช้

$f$ $N$ $u$ $v$

$g$ $N$ $u$ $v$ $N$ $O(1)$

แสดงตัวอย่างโค้ด

f = N => {
  for(k = 1;; k++) {
    x = Math.ceil(Math.sqrt(k * N));
    y = x * x - k * N;
    ySqrt = Math.round(Math.sqrt(y));
    
    if(ySqrt * ySqrt == y) {
      p = x + ySqrt;

      for(u = 1;; u++) {
        if(!(p % u) && !(N % (p / u))) {
          v = k / u;
          return [ u, v ];
        }
      }
    }
  }
}

g = (N, u, v) => {
  x = Math.ceil(Math.sqrt(u * v * N));
  y = x * x - u * v * N;
  ySqrt = Math.round(Math.sqrt(y));
  p = x + ySqrt;
  q = x - ySqrt;
  return [ p / u, q / v ];
}

[
  143, 2519, 199163, 660713, 4690243, 11755703,
  35021027, 75450611, 806373439, 1355814601,
  3626291857, 6149223463, 6330897721
]
.map(N => {
  [u, v] = f(N);
  [c, d] = g(N, u, v);
  console.log(
    'N = ' + N + ', ' +
    'u = ' + u + ', ' +
    'v = ' + v + ', ' +
    'N = ' + c + ' * ' + d
  );
});

ขยายตัวอย่างข้อมูล

code-golf number-theory primes

— Arnauld
แหล่งที่มา

เรารับประกันได้หรือไม่ว่าข้อมูลNนั้นจะเป็นครึ่งปีหรือไม่?

— เกร็กมาร์ติน

@ GregMartin ใช่คุณเป็น

— Arnauld

8

Mathematica, 81 79 ไบต์

ขอบคุณ Martin Ender สำหรับการบันทึก 2 ไบต์!

(c=Ceiling;For[j=0;z=E,c@z>z,p=(x=c@Sqrt[j+=#])+{z=Sqrt[x^2-j],-z}];p/#~GCD~p)&

ฟังก์ชั่น Pure รับ semiprime เป็นอินพุตและส่งคืนคู่ของจำนวนเต็มบวกที่สั่ง Forดำเนินห่วงขั้นตอนที่แน่นอนที่อธิบายไว้ในคำถาม (ใช้#สำหรับใส่ในสถานที่n) ด้วยxตามที่กำหนดไว้มีถึงแม้ว่าเราจะเก็บj = k*nแทนkตัวเองและz=Sqrt[y]แทนyตัวเอง นอกจากนี้เรายังคำนวณp={x+z,x-z}ภายในForลูปซึ่งสิ้นสุดการบันทึกหนึ่งไบต์ (เช่นเดียวกับการลองครั้งที่เจ็ด) จากนั้นทั้งสองปัจจัยที่ต้องการ(x+z)/GCD[#,x+z]และ(x-z)/GCD[#,x-z]ซึ่งการแสดงออกที่กระชับp/#~GCD~pคำนวณโดยตรงเป็นคู่ที่สั่งซื้อ

ความอยากรู้: เราต้องการวนซ้ำจนกว่าzจะเป็นจำนวนเต็ม; แต่เนื่องจากเรากำลังจะใช้Ceilingอยู่แล้วในรหัสที่มันจะช่วยประหยัดไบต์ที่สองมากกว่า!IntegerQ@zที่จะกำหนดc=Ceiling(ซึ่งค่าใช้จ่ายสี่ไบต์เป็นนักกอล์ฟ Mathematica รู้) c@z>zแล้วทดสอบว่า เราต้องเริ่มต้นzกับบางสิ่งบางอย่างและบางสิ่งที่ดีกว่าไม่ใช่จำนวนเต็มเพื่อให้ลูปเริ่มต้นได้ โชคดีที่Eเป็นทางเลือกที่กระชับ

— Greg Martin
แหล่งที่มา

4

JavaScript (ES7), 86 81 ไบต์

n=>(g=k=>(y=(n*k)**.5+1|0,y+=(y*y-n*k)**.5)%1?g(k+1):n*u++%y?g(k):[--u,k/u])(u=1)

แก้ไข: บันทึกแล้ว 4 ไบต์ขอบคุณ @Arnauld

— นีล
แหล่งที่มา

4

Python 2, 127 121 117 111 107 104 101 99 ไบต์

-1 ไบต์ต้องขอบคุณ Neil และ -3 ไบต์ขอบคุณ ovs

N=input()
k=u=1;p=m=.5
while p%1:p=1+(k*N)**m//1;p+=(p*p-k*N)**m;k+=1
while N*u%p:u+=1
print~-k/u,u

ลองออนไลน์!

วิทยากร:

pถูกเตรียมใช้งานเพื่อ.5ให้เงื่อนไขลูปจะเป็นจริงในการวนซ้ำครั้งแรก โปรดทราบว่ามันจะสั้นกว่าในการจัดเก็บp(เป็นx+ sqrt(y)) กว่าที่จะเก็บแต่ละxและyแยก

— คณิตศาสตร์ขี้ยา
แหล่งที่มา

x*xแทนx**2?

— Neil

@ Neil ใช่แน่นอน ขอบคุณ

— คณิตศาสตร์ junkie

1

ความจริง131 115 ไบต์

v(x)==floor(x^.5)::INT;r(n)==(k:=0;repeat(k:=k+1;x:=1+v(k*n);y:=v(x*x-k*n);x^2-y^2=k*n=>break);[w:=gcd(k,x+y),k/w])

ฟังก์ชั่นที่จะแก้ไขคำถามคือ r (n) ด้านบน ungolf และทดสอบ

vv(x)==floor(x^.5)::INT    

--(x-y)*(x+y)=k*n
rr(n)==
  k:=0
  repeat
     k:=k+1
     x:=1+vv(k*n)
     y:=vv(x*x-k*n)
     x^2-y^2=k*n=>break
  [w:=gcd(k,x+y),k/w]


(4) -> [[i,r(i)] for i in [143,2519,199163,660713,4690243,11755703]]
   (4)
   [[143,[1,1]], [2519,[1,19]], [199163,[4,10]], [660713,[1,1]],
    [4690243,[9,5]], [11755703,[40,2]]]
                                                      Type: List List Any

— RosLuP
แหล่งที่มา

ผู้ช่วยแยกตัวประกอบของแฟร์มาต์

งาน