Dirichlet บิดเป็นชนิดพิเศษของบิดที่ปรากฏเป็นเครื่องมือที่มีประโยชน์มากในทฤษฎีจำนวน จะดำเนินการในชุดของฟังก์ชั่นทางคณิตศาสตร์

ท้าทาย

รับฟังก์ชั่นเลขคณิตสองฟังก์ชัน (เช่นฟังก์ชัน ) คำนวณDirichlet convolutionตามที่กำหนดไว้ด้านล่าง $f,g$ $f,g: \mathbb N \to \mathbb R$ $(f * g): \mathbb N \to \mathbb R$

รายละเอียด

เราใช้การประชุม\} $0 \notin \mathbb N = \{1,2,3,\ldots \}$
Dirichlet convolution ของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์สองฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์อีกครั้งและถูกกำหนดเป็น(ผลรวมทั้งสองมีค่าเท่ากันนิพจน์หมายถึงหารดังนั้นผลรวมอยู่เหนือตัวหารธรรมชาติของ ในทำนองเดียวกันเราสามารถรองรับ $f*g$ $f,g$ $(f * g) (n) = \sum_{d | n} f (\frac{n}{d}) \cdot g (d) = \sum_{i \cdot j = n} f (i) \cdot g (j) .$ $(f * g)(n) = \sum_\limits{d|n} f\left(\frac{n}{d}\right)\cdot g(d) = \sum_{i\cdot j = n} f(i)\cdot g(j).$ $d|n$ $d \in \mathbb N$ $n$ $n$ $i = \frac{n}{d} \in \mathbb N, j =d \in \mathbb N$ และเราได้สูตรที่สองเท่ากัน หากคุณไม่คุ้นเคยกับสัญกรณ์นี้มีตัวอย่างทีละขั้นตอนด้านล่าง) เพื่ออธิบายอย่างละเอียด (ไม่เกี่ยวข้องโดยตรงกับความท้าทายนี้): คำจำกัดความมาจากการคำนวณผลิตภัณฑ์ของชุด Dirichlet : $(\sum_{n \in N} \frac{f (n)}{n^{s}}) \cdot (\sum_{n \in N} \frac{g (n)}{n^{s}}) = \sum_{n \in N} \frac{(f * g) (n)}{n^{s}}$ $\left(\sum_{n\in\mathbb N}\frac{f(n)}{n^s}\right)\cdot \left(\sum_{n\in\mathbb N}\frac{g(n)}{n^s}\right) = \sum_{n\in\mathbb N}\frac{(f * g)(n)}{n^s}$
การป้อนข้อมูลที่จะได้รับเป็นสองฟังก์ชั่นกล่องดำ อีกวิธีหนึ่งคุณสามารถใช้รายการที่ไม่มีที่สิ้นสุดตัวกำเนิดกระแสข้อมูลหรืออะไรทำนองนั้นที่สามารถสร้างค่าได้ไม่ จำกัด จำนวน
มีสองวิธีเอาต์พุต: ฟังก์ชันถูกส่งคืนหรือคุณสามารถรับอินพุตเพิ่มเติมและส่งกลับโดยตรง $f*g$ $n \in \mathbb N$ $(f*g)(n)$
เพื่อความง่ายคุณสามารถสรุปได้ว่าทุกองค์ประกอบของสามารถแสดงได้ด้วยเช่นค่าบวก 32- บิต $\mathbb N$
เพื่อความง่ายคุณสามารถสันนิษฐานได้ว่าทุกรายการสามารถแสดงได้เช่นหมายเลขจุดลอยตัวเดียว $\mathbb R$

ตัวอย่าง

ก่อนอื่นให้เรานิยามฟังก์ชั่นบางอย่างก่อน โปรดทราบว่ารายการหมายเลขใต้คำจำกัดความแต่ละรายการหมายถึงค่าสองสามค่าแรกของฟังก์ชันนั้น

ตัวคูณแบบหลายตัว ( A000007 ) start $ϵ (n) = {\begin{cases} 1 & n = 1 \\ 0 & n > 1 \end{cases}$ $\epsilon(n) = \begin{cases}1 & n=1 \\ 0 & n>1 \end{cases}$ 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...
ฟังก์ชันหน่วยคงที่ ( A000012 ) $1 (n) = 1 \forall n$ $\mathbb 1(n) = 1 \: \forall n$ 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...
ฟังก์ชันเอกลักษณ์ ( A000027 ) $i d (n) = n \forall n$ $id(n) = n \: \forall n$ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, ...
ฟังก์ชั่นMöbius ( A008683 ) start $μ (n) = {\begin{cases} (- 1)^{k} & if n is squarefree and k is the number of Primefactors of n \\ 0 & otherwise \end{cases}$ $\mu(n) = \begin{cases} (-1)^k & \text{ if } n \text{ is squarefree and } k \text{ is the number of Primefactors of } n \\ 0 & \text{ otherwise } \end{cases}$ 1, -1, -1, 0, -1, 1, -1, 0, 0, 1, -1, 0, -1, 1, 1, 0, -1, 0, -1, ...
ฟังก์ชั่น Euler totient ( A000010 ) $φ (n) = n \prod_{p | n} (1 - \frac{1}{p})$ $\varphi(n) = n\prod_{p|n} \left( 1 - \frac{1}{p}\right)$ 1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 4, 6, 4, 10, 4, 12, 6, 8, 8, 16, 6, 18, 8, ...
ฟังก์ชั่น Liouville ( A008836 ) โดยที่คือจำนวนของตัวประกอบตัวประกอบจำนวนของนับด้วย multiplicity $λ (n) = (- 1)^{k}$ $\lambda (n) = (-1)^k$ $k$ $n$ 1, -1, -1, 1, -1, 1, -1, -1, 1, 1, -1, -1, -1, 1, 1, 1, -1, -1, -1, ...
ฟังก์ชันผลรวมของตัวหาร ( A000203 ) $σ (n) = \sum_{d | n} d$ $\sigma(n) = \sum_{d | n} d$ 1, 3, 4, 7, 6, 12, 8, 15, 13, 18, 12, 28, 14, 24, 24, 31, 18, 39, 20, ...
ฟังก์ชันการนับตัวหาร ( A000005 ) $τ (n) = \sum_{d | n} 1$ $\tau(n) = \sum_{d | n} 1$ 1, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 4, 3, 4, 2, 6, 2, 4, 4, 5, 2, 6, 2, 6, 4, 4, 2, 8, ...
ฟังก์ชั่นลักษณะของตัวเลขสแควร์ ( A010052 ) start $s q (n) = {\begin{cases} 1 & if n is a square number \\ 0 & otherwise \end{cases}$ $sq(n) = \begin{cases} 1 & \text{ if } n \text{ is a square number} \\ 0 & \text{otherwise}\end{cases}$ 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...

จากนั้นเรามีตัวอย่างต่อไปนี้:

$\epsilon = \mathbb 1 * \mu$
$f = \epsilon * f \: \forall f$
$\epsilon = \lambda * \vert \mu \vert$
$\sigma = \varphi * \tau$
$id = \sigma * \mu$ และ $\sigma = id * \mathbb 1$
$sq = \lambda * \mathbb 1$ และ $\lambda = \mu * sq$
$\tau = \mathbb 1 * \mathbb 1$ และ $\mathbb 1 = \tau * \mu$
$id = \varphi * \mathbb 1$ และ $\varphi = id * \mu$

สุดท้ายสำหรับเป็นผลมาจากการผกผันMöbius : สำหรับการใด ๆสมเทียบเท่ากับ\ $f,g$ $g = f * 1$ $f = g * \mu$

ตัวอย่างทีละขั้นตอน

นี่คือตัวอย่างที่ถูกคำนวณทีละขั้นตอนสำหรับผู้ที่ไม่คุ้นเคยกับสัญกรณ์ที่ใช้ในการกำหนด พิจารณาฟังก์ชันและ\ ตอนนี้เราจะประเมินบิดของพวกเขาที่nคำศัพท์สองสามคำแรกของพวกเขาอยู่ในตารางด้านล่าง $f = \mu$ $g = \sigma$ $\mu * \sigma$ $n=12$

\begin{array}{cccccccccccccc} f & f (1) & f (2) & f (3) & f (4) & f (5) & f (6) & f (7) & f (8) & f (9) & f (10) & f (11) & f (12) \\ μ & 1 & - 1 & - 1 & 0 & - 1 & 1 & - 1 & 0 & 0 & 1 & - 1 & 0 \\ σ & 1 & 3 & 4 & 7 & 6 & 12 & 8 & 15 & 13 & 18 & 12 & 28 \end{array}

$\begin{array}{c|ccccccccccccc} f & f(1) & f(2) & f(3) & f(4) & f(5) & f(6) & f(7) & f(8) & f(9) & f(10) & f(11) & f(12) \\ \hline \mu & 1 & -1 & -1 & 0 & -1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ \sigma & 1 & 3 & 4 & 7 & 6 & 12 & 8 & 15 & 13 & 18 & 12 & 28 \\ \end{array}$

iterates รวมมากกว่าตัวเลขจากธรรมชาติทั้งหมด $d \in \mathbb N$ ที่แบ่ง $n=12$ จึง $d$ ถือว่าทั้งหมดหารตามธรรมชาติของ $n=12 = 2^2\cdot 3$ 3เหล่านี้เป็น $d =1,2,3,4,6,12$ 12ในแต่ละสรุปเราประเมิน $g= \sigma$ ที่ $d$ และคูณด้วย $f = \mu$ ประเมินที่ $\frac{n}{d}$ dตอนนี้เราสามารถสรุปได้

\begin{aligned} (μ * σ) (12) & = μ (12) σ (1) & + μ (6) σ (2) & + μ (4) σ (3) & + μ (3) σ (4) & + μ (2) σ (6) & + μ (1) σ (12) \\ = 0 \cdot 1 & + 1 \cdot 3 & + 0 \cdot 4 & + (- 1) \cdot 7 & + (- 1) \cdot 12 & + 1 \cdot 28 \\ = 0 & + 3 & 10 & - 7 & - 12 & + 28 \\ = 12 \\ = i d (12) \end{aligned}

$\begin{array}{rlccccc} (\mu * \sigma)(12) &= \mu(12)\sigma(1) &+\mu(6)\sigma(2) &+\mu(4)\sigma(3) &+\mu(3)\sigma(4) &+\mu(2)\sigma(6) &+\mu(1)\sigma(12) \\ &= 0\cdot 1 &+ 1\cdot 3 &+ 0 \cdot 4 &+ (-1)\cdot 7 &+ (-1) \cdot 12 &+ 1 \cdot 28 \\ &= 0 & + 3 & 1 0 & -7 & - 12 & + 28 \\ &= 12 \\ & = id(12) \end{array}$

— flawr
แหล่งที่มา

4

ลีน , 108 100 95 78 75 ไบต์

def d(f g:_->int)(n):=(list.iota n).foldr(λd s,ite(n%d=0)(s+f d*g(n/d))s)0

ลองออนไลน์!

Testcase เพิ่มเติมด้วยฟังก์ชั่นทั้งหมด

— แม่ชีที่ไม่มั่นคง
แหล่งที่มา

แลมบ์ดามีราคาแพงกว่าสี่ไบต์จริงfun หรือ

— Mario Carneiro

แลมบ์ดาเป็นสามไบต์ฉันคิดว่า

— Leaky Nun

ฉันคิดว่ามันเป็นสองใน UTF8 (กรีกเป็นยูนิโค้ดค่อนข้างต่ำ)

— Mario Carneiro

คุณถูก. ฉันเล่นกอล์ฟด้วยการนำเข้า

— Leaky Nun

ฉันเคยcondบันทึก 5 ไบต์

— Leun Nun

4

Haskell , 46 ไบต์

(f!g)n=sum[f i*g(div n i)|i<-[1..n],mod n i<1]

ลองออนไลน์!

ขอบคุณข้อบกพร่องสำหรับ -6 ไบต์และความท้าทายที่ยิ่งใหญ่! และขอบคุณ H.PWiz สำหรับอีก -6!

— ชำเลือง
แหล่งที่มา

ความเรียบง่ายจะสั้นกว่าที่นี่

— H.PWiz

@ H.PWiz มันค่อนข้างฉลาด - ฉันไม่เคยคิดที่จะทำแบบนั้น!

— Mego

3

Python 3 , 59 ไบต์

lambda f,g,n:sum(f(d)*g(n//d)for d in range(1,n+1)if 1>n%d)

ลองออนไลน์!

— แม่ชีที่ไม่มั่นคง
แหล่งที่มา

เป็น//ความจำเป็นจริงๆแทน/?

— Mr. Xcoder

/จะผลิตลอยใช่ไหม

— Leun Nun

เนื่องจากdเป็นตัวหารของnคำจำกัดความส่วนที่เป็นเศษส่วนของn/dเป็นศูนย์ดังนั้นจึงไม่ควรมีปัญหาใด ๆ กับการคำนวณเลขทศนิยม ทุ่นกับเศษส่วนส่วนศูนย์อยู่ใกล้พอที่จะ ints สำหรับวัตถุประสงค์ Pythonic และเอาท์พุทของฟังก์ชั่นเป็นจำนวนจริงดังนั้นการทำn/dแทนn//dควรจะดี

— Mego

3

ภาษา Wolfram (Mathematica)ขนาด 17 ไบต์

แน่นอน Mathematica มีในตัว นอกจากนี้ยังเกิดขึ้นกับฟังก์ชั่นตัวอย่างมากมาย ฉันได้รวมตัวอย่างการทำงาน

DirichletConvolve

ลองออนไลน์!

— Kelly Lowder
แหล่งที่มา

2

เพิ่ม ++ , 51 ไบต์

D,g,@~,$z€¦~¦*
D,f,@@@,@b[VdF#B]dbRzGb]$dbL$@*z€g¦+

ลองออนไลน์!

$n$ $(f * g)(n)$

มันทำงานอย่างไร

D,g,		; Define a helper function, $g
	@~,	; $g takes a single argument, an array, and splats that array to the stack
		; $g takes the argument e.g. [[τ(x) φ(x)] [3 4]]
		; STACK : 			[[τ(x) φ(x)] [3 4]]
	$z	; Swap and zip:			[[3 τ(x)] [4 φ(x)]]
	€¦~	; Reduce each by execution:	[[τ(3) φ(4)]]
	¦*	; Take the product and return:	τ(3)⋅φ(4) = 4

D,f,		; Define the main function, $f
	@@@,	; $f takes three arguments: φ(x), τ(x) and n (Let n = 12)
		; STACK:			[φ(x) τ(x) 12]
	@	; Reverse the stack:		[12 τ(x) φ(x)]
	b[V	; Pair and save:		[12]			Saved: [τ(x) φ(x)]
	dF#B]	; List of factors:		[[1 2 3 4 6 12]]
	dbR	; Copy and reverse:		[[1 2 3 4 6 12] [12 6 4 3 2 1]]
	z	; Zip together:			[[[1 12] [2 6] [3 4] [4 3] [6 2] [12 1]]]
	Gb]	; Push Saved:			[[[1 12] [2 6] [3 4] [4 3] [6 2] [12 1]] [[τ(x) φ(x)]]]
	$dbL	; Number of dividors:		[[[τ(x) φ(x)]] [[1 12] [2 6] [3 4] [4 3] [6 2] [12 1]] 6]
	$@*	; Repeat:			[[[1 12] [2 6] [3 4] [4 3] [6 2] [12 1]] [[τ(x) φ(x)] [τ(x) φ(x)] [τ(x) φ(x)] [τ(x) φ(x)] [τ(x) φ(x)] [τ(x) φ(x)]]]
	z	; Zip:				[[[τ(x) φ(x)] [1 12]] [[τ(x) φ(x)] [2 6]] [[τ(x) φ(x)] [3 4]] [[τ(x) φ(x)] [4 3]] [[τ(x) φ(x)] [6 2]] [[τ(x) φ(x)] [12 1]]]
	€g	; Run $g over each subarray:	[[4 4 4 6 4 6]]
	¦+	; Take the sum and return:	28

— caird coinheringaahing
แหล่งที่มา

2

R , 58 ไบต์

function(n,f,g){for(i in (1:n)[!n%%1:n])F=F+f(i)*g(n/i)
F}

ลองออนไลน์!

ใช้เวลาn, และf gโชคดีที่numbersแพ็คเกจมีฟังก์ชั่นการใช้งานบางส่วนอยู่แล้ว

หากเวอร์ชัน vectorized พร้อมใช้งานซึ่งสามารถทำได้โดยการห่อแต่ละรายการด้วยVectorizeดังนั้นเวอร์ชัน 45 ไบต์ต่อไปนี้จะเป็นไปได้:

R , 45 ไบต์

function(n,f,g,x=1:n,i=x[!n%%x])f(i)%*%g(n/i)

ลองออนไลน์!

— จูเซปเป้
แหล่งที่มา

1

เยลลี่ขนาด 9 ไบต์

ÆDṚÇ€ḋÑ€Ʋ

ลองออนไลน์!

$f$ $g$ $n$

— Erik the Outgolfer
แหล่งที่มา

1

สวิฟต์ 4 , 74 70 54 ไบต์

{n in(1...n).map{n%$0<1 ?f(n/$0)*g($0):0}.reduce(0,+)}

ลองออนไลน์!

— นาย Xcoder
แหล่งที่มา

1

JavaScript (ES6), 47 ไบต์

(f)(g)(n)จะเข้าเป็น

f=>g=>h=(n,d=n)=>d&&!(n%d)*f(n/d)*g(d)+h(n,d-1)

ลองออนไลน์!

ตัวอย่าง

liouville =
n => (-1) ** (D = (n, k = 2) => k > n ? 0 : (n % k ? D(n, k + 1) : 1 + D(n / k, k)))(n)

mobius =
n => (M = (n, k = 1) => n % ++k ? k > n || M(n, k) : n / k % k && -M(n / k, k))(n)

sq =
n => +!((n ** 0.5) % 1)

identity =
n => 1

// sq = liouville * identity
console.log([...Array(25)].map((_, n) => F(liouville)(identity)(n + 1)))

// liouville = mobius * sq
console.log([...Array(20)].map((_, n) => F(mobius)(sq)(n + 1)))

— Arnauld
แหล่งที่มา

1

APL (Dyalog Classic)ขนาด 20 ไบต์

{(⍺⍺¨∘⌽+.×⍵⍵¨)∪⍵∨⍳⍵}

กับ ⎕IO←1

ลองออนไลน์!

แก้ง่ายยากที่จะทดสอบ - โดยทั่วไปไม่ใช่ความท้าทายของฉัน แต่ฉันก็สนุกกับมันมาก!

{ }กำหนดโอเปอเรเตอร์ dyadic ที่มีตัวถูกดำเนินการ⍺⍺และ⍵⍵เป็นสองฟังก์ชันที่ถูก convolved; ⍵เป็นอาร์กิวเมนต์ตัวเลข

∪⍵∨⍳⍵คือตัวหารของ⍵เรียงลำดับจากมากไปหาน้อยนั่นคือเอกลักษณ์ ( ∪) ของ LCMs ( ∨) ของที่⍵มีจำนวนธรรมชาติทั้งหมดขึ้นอยู่กับมัน ( ⍳)

⍵⍵¨ ใช้ตัวถูกดำเนินการที่เหมาะสมกับแต่ละ

⍺⍺¨∘⌽ ใช้ตัวถูกดำเนินการซ้ายกับแต่ละรายการในสิ่งที่ตรงกันข้าม

+.× ผลิตภัณฑ์ภายใน - องค์ประกอบและผลรวมที่สอดคล้องกันคูณ

เหมือนกันใน ngn / aplดูดีขึ้นเนื่องจากตัวระบุ Unicode แต่ใช้เวลา 2 ไบต์เพิ่มเติมเนื่องจากการสร้างดัชนี 1

— NGN
แหล่งที่มา

ค่อนข้างแน่ใจว่าจะใช้เวลา 27 ไบต์เพิ่มเติมใน ngn / apl ...

— Erik the Outgolfer

1

C (gcc) , 108 ไบต์

#define F float
F c(F(*f)(int),F(*g)(int),int n){F s=0;for(int d=0;d++<n;)if(n%d<1)s+=f(n/d)*g(d);return s;}

การดำเนินการตรงไปตรงมาขโมยลงคอจากรั่วนูนเป็นคำตอบหลาม

Ungolfed:

float c(float (*f)(int), float (*g)(int), int n) {
    float s = 0;
    for(int d = 1; d <= n;++d) {
        if(n % d == 0) {
            s += f(n / d) * g(d);
        }
    }
    return s;
}

ลองออนไลน์!

— joH1
แหล่งที่มา

1

F #, 72 ไบต์

let x f g n=Seq.filter(fun d->n%d=0){1..n}|>Seq.sumBy(fun d->f(n/d)*g d)

ใช้เวลาทั้งสองฟังก์ชั่นfและและจำนวนธรรมชาติg nกรองออกค่าของที่ไม่เป็นธรรมชาติแบ่งออกเป็นd nจากนั้นประเมินf(n/d) และg(d)ทวีคูณพวกเขาเข้าด้วยกันและสรุปผล

— Ciaran_McCarthy
แหล่งที่มา

0

Pari / GP , 32 ไบต์

(f,g,n)->sumdiv(n,d,f(n/d)*g(d))

ลองออนไลน์!

มีdirmulฟังก์ชันในตัวแต่รองรับเฉพาะลำดับที่จำกัดเท่านั้น

— alephalpha
แหล่งที่มา

Dirichlet Convolution

ท้าทาย

รายละเอียด

ตัวอย่าง

ตัวอย่างทีละขั้นตอน

ลีน , 108 100 95 78 75 ไบต์

Haskell , 46 ไบต์

Python 3 , 59 ไบต์

ภาษา Wolfram (Mathematica)ขนาด 17 ไบต์

เพิ่ม ++ , 51 ไบต์

มันทำงานอย่างไร

R , 58 ไบต์

R , 45 ไบต์

เยลลี่ขนาด 9 ไบต์

สวิฟต์ 4 , 74 70 54 ไบต์

JavaScript (ES6), 47 ไบต์

ตัวอย่าง

APL (Dyalog Classic)ขนาด 20 ไบต์

C (gcc) , 108 ไบต์

F #, 72 ไบต์

Pari / GP , 32 ไบต์