รับจำนวนเต็มบวก$n$ที่ไม่ใช่จตุรัสหาวิธีแก้ปัญหาพื้นฐาน$(x,y)$ของสมการเพลล์ที่เกี่ยวข้อง

รายละเอียด

• พื้นฐาน$(x,y)$คือคู่ของจำนวนเต็ม$x,y$ทำให้สมการสมการที่$x$น้อยที่สุดและเป็นบวก (มีวิธีแก้ปัญหาเล็กน้อยอยู่เสมอ$(x,y)=(1,0)$ซึ่งไม่นับ)
• คุณสามารถสันนิษฐานได้ว่า$n$ไม่ใช่จตุรัส

ตัวอย่าง

 n           x    y
 1           -    -
 2           3    2
 3           2    1
 4           -    -
 5           9    4
 6           5    2
 7           8    3
 8           3    1
 9           -    -
10          19    6
11          10    3
12           7    2
13         649    180
14          15    4
15           4    1
16           -    -
17          33    8
18          17    4
19         170    39
20           9    2
21          55    12
22         197    42
23          24    5
24           5    1
25           -    -
26          51    10
27          26    5
28         127    24
29        9801    1820
30          11    2
31        1520    273
32          17    3
33          23    4
34          35    6
35           6    1
36           -    -
37          73    12
38          37    6
39          25    4
40          19    3
41        2049    320
42          13    2
43        3482    531
44         199    30
45         161    24
46       24335    3588
47          48    7
48           7    1
49           -    -
50          99    14
51          50    7
52         649    90
53       66249    9100
54         485    66
55          89    12
56          15    2
57         151    20
58       19603    2574
59         530    69
60          31    4
61  1766319049    226153980
62          63    8
63           8    1
64           -    -
65         129    16
66          65    8
67       48842    5967
68          33    4
69        7775    936
70         251    30
71        3480    413
72          17    2
73     2281249    267000
74        3699    430
75          26    3
76       57799    6630
77         351    40
78          53    6
79          80    9
80           9    1
81           -    -
82         163    18
83          82    9
84          55    6
85      285769    30996
86       10405    1122
87          28    3
88         197    21
89      500001    53000
90          19    2
91        1574    165
92        1151    120
93       12151    1260
94     2143295    221064
95          39    4
96          49    5
97    62809633    6377352
98          99    10
99          10    1

ลำดับ OEIS ที่เกี่ยวข้อง: A002350 A002349 A033313 A033317

Piet , 612 codels

รับnจากอินพุตมาตรฐาน เอาต์พุตyจากนั้นxคั่นด้วยช่องว่าง

Codel ขนาด 1:

Codel size 4 เพื่อการดูที่ง่ายขึ้น:

คำอธิบาย

ตรวจสอบการติดตาม NPiet นี้ซึ่งแสดงโปรแกรมคำนวณโซลูชันสำหรับค่าอินพุตที่ 99

ฉันไม่แน่ใจว่าฉันเคยได้ยินเกี่ยวกับสมการของเพลล์ก่อนหน้าการท้าทายนี้หรือไม่ดังนั้นฉันจึงได้รับสิ่งต่อไปนี้ทั้งหมดจาก Wikipedia โดยเฉพาะหัวข้อเหล่านี้ของสามบทความ:

• สมการของเพลล์§วิธีแก้ปัญหาพื้นฐานผ่านเศษส่วนต่อเนื่อง
• วิธีการคำนวณรากที่สอง expansion การขยายตัวอย่างต่อเนื่อง
• เศษส่วนต่อเนื่อง§เศษส่วนต่อเนื่องและลู่เข้าอนันต์

โดยทั่วไปสิ่งที่เราทำคือ:

1. รับ$n$จากอินพุตมาตรฐาน
2. ค้นหา$\lfloor\sqrt n\rfloor$โดยการเพิ่มตัวนับจนกว่าสี่เหลี่ยมจัตุรัสจะเกิน$n$จากนั้นลดลงหนึ่งครั้ง (นี่คือลูปแรกที่คุณสามารถเห็นได้ในร่องรอยที่ด้านซ้ายบน)
3. ตั้งค่าตัวแปรบางตัวสำหรับการคำนวณ$x$และ$y$จากเศษส่วนต่อเนื่องของ$\sqrt n$ .
4. ตรวจสอบว่า$x$และ$y$สอดคล้องกับสมการของเพลล์หรือไม่ หากเป็นเช่นนั้นให้ส่งออกค่า (นี่คือสาขาด้านล่างประมาณ 2/3 ของทางข้าม) จากนั้นออก (โดยเรียกใช้เข้าไปในบล็อกสีแดงที่ด้านซ้ายสุด)
5. ถ้าไม่มีให้ทำซ้ำอัปเดตตัวแปรแล้วย้อนกลับไปที่ขั้นตอนที่ 4 (นี่เป็นการวนซ้ำที่กว้างไปทางขวาย้อนกลับไปด้านล่างและเข้าร่วมไม่ได้ครึ่งทาง)

ฉันไม่ทราบเลยว่าวิธีการที่โหดร้ายกำลังจะสั้นลงหรือไม่และฉันไม่ได้ลอง! โอเคฉันลองแล้ว

Piet , 184 codels

นี่เป็นทางเลือกที่ไร้เดียงสาที่ฉันพูด (ในคำตอบอื่น ๆ ของฉัน ) ที่ฉันไม่ต้องการเขียน ใช้เวลาในการคำนวณโซลูชันนานกว่า 2 นาทีสำหรับn = 13 ฉันไม่ต้องการลองใช้กับn = 29 ... แต่จะตรวจสอบทุกครั้ง nสูงสุด 20 ดังนั้นฉันมั่นใจว่าถูกต้อง

เช่นเดียวกับคำตอบอื่น ๆ ซึ่งใช้nจากอินพุตมาตรฐานและเอาต์พุตyจากนั้นxคั่นด้วยช่องว่าง

Codel ขนาด 1:

Codel size 4 เพื่อการดูที่ง่ายขึ้น:

คำอธิบาย

นี่คือการติดตาม NPietสำหรับค่าอินพุต 5

นี่คือสุดโหดของแรงเดรัจฉานวนทั้ง$x$และy ที่$y$วิธีแก้ปัญหาอื่นอาจทำซ้ำมากกว่า$x$แล้วคำนวณ$y=\sqrt{\frac{x^2-1}{n}}$แต่พวกเขากำลังwimps

เริ่มต้นจาก$x=2$และ$y=1$สิ่งนี้จะตรวจสอบว่า$x$และ$y$ได้แก้สมการหรือยัง ถ้ามันมี (ทางแยกที่ด้านล่างใกล้กับด้านขวา) มันจะส่งออกค่าและออก

ถ้าไม่ใช่มันยังคงอยู่ต่อไปโดยที่$y$เพิ่มขึ้นและเปรียบเทียบกับ$x$ x(จากนั้นมีทิศทางที่ twiddling เพื่อไปตามเส้นทางซิกแซก)

การเปรียบเทียบล่าสุดนี้เป็นที่ที่เส้นทางแยกรอบกลางซ้าย หากพวกเขาเท่ากัน$x$จะเพิ่มขึ้นและ$y$ถูกตั้งค่าเป็น 1 และเรากลับไปที่การตรวจสอบว่ามันเป็นทางออกหรือไม่

ฉันยังคงมีพื้นที่ว่างบางส่วนดังนั้นฉันอาจดูว่าฉันสามารถรวมการคำนวณสแควร์รูทนั้นได้หรือไม่โดยไม่ต้องขยายโปรแกรม

Brachylogขนาด 16 ไบต์

;1↔;Ċz×ᵐ-1∧Ċ√ᵐℕᵐ

ลองออนไลน์!

คำอธิบาย

;1↔                Take the list [1, Input]
   ;Ċz             Zip it with a couple of two unknown variables: [[1,I],[Input,J]]
      ×ᵐ           Map multiply: [I, Input×J]
        -1         I - Input×J must be equal to 1
          ∧        (and)
           Ċ√ᵐ     We are looking for the square roots of these two unknown variables
              ℕᵐ   And they must be natural numbers
                   (implicit attempt to find values that match those constraints)

Pari / GP , 34 ไบต์

PARI / GP เกือบจะมีในตัวสำหรับสิ่งนี้: quadunitให้หน่วยพื้นฐานของสนามสม การกำลังสอง$\mathbb{Q}(\sqrt{D})$โดยที่$D$คือตัวเลือกของฟิลด์ ในคำอื่น ๆquadunit(4*n)แก้สมการเพลล์ของ$x^2 - n \cdot y^2 = \pm 1$1 ดังนั้นผมจึงต้องใช้ตารางเมื่อบรรทัดฐานของมันคือ$-1$1

ฉันไม่รู้ว่ามันใช้อัลกอริทึมอย่างไร แต่มันก็ใช้ได้ดีเมื่อ$n$ไม่ได้เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส

คำตอบจะได้รับในรูปแบบx + y*wที่wซึก$\sqrt{n}$ .

n->(a=quadunit(4*n))*a^(norm(a)<0)

ลองออนไลน์!

ภาษา Wolfram (Mathematica)ขนาด 46 ไบต์

FindInstance[x^2-y^2#==1&&x>1,{x,y},Integers]&

ลองออนไลน์!

05AB1E , 17 16 14 ไบต์

บันทึกขอบคุณไบต์เควิน Cruijssen
เอาท์พุท[y, x]

∞.Δn*>t©1%_}®‚

ลองออนไลน์!

คำอธิบาย

∞                 # from the infinite list of numbers [1 ...]
 .Δ        }      # find the first number that returns true under
   n              # square
    *             # multiply with input
     >            # increment
      t©          # sqrt (and save to register as potential x)
        1%        # modulus 1
          _       # logical negation
            ®‚    # pair result (y) with register (x)

Java 8, 74 73 72 ไบต์

n->{int x=1;var y=.1;for(;y%1>0;)y=Math.sqrt(-x*~++x/n);return x+" "+y;}

-1 ขอบคุณไบต์@Arnauld
-1 ขอบคุณไบต์@ OlivierGrégoire

ลองออนไลน์

คำอธิบาย:

n->{                 // Method with double parameter and string return-type
  int x=1;           //  Integer `x`, starting at 1
  var y=.1;          //  Double `y`, starting at 0.1
  for(;y%1>0;)       //  Loop as long as `y` contains decimal digits:
    y=               //   Set `y` to:
      Math.sqrt(     //    The square-root of:
        -x*          //     Negative `x`, multiplied by
           ~++x      //     `(-x-2)` (or `-(x+1)-1)` to be exact)
                     //     (because we increase `x` by 1 first with `++x`)
               /n);  //     Divided by the input
  return x+" "+y;}   //  After the loop, return `x` and `y` with space-delimiter as result

R, 66 56 54 53 52 47 45 ไบต์

โปรแกรมเต็มรูปแบบ

n=scan();while((x=(1+n*T^2)^.5)%%1)T=T+1;x;+T

-1 -2ขอบคุณ @Giuseppe

-7 ขอบคุณ @Giuseppe & @Robin Ryder -2 @JAD

เยลลี่ขนาด 40 ไบต์

½©%1İ$<®‘¤$п¹;Ḋ$LḂ$?Ḟṭ@ṫ-ṚZæ.ʋ¥ƒØ.,U¤-ị

ลองออนไลน์!

คำตอบของทางเลือกอื่นคือเยลลี่กอล์ฟน้อย แต่มีอัลกอริธึมที่มีประสิทธิภาพมากกว่าเมื่อ x และ y มีขนาดใหญ่ สิ่งนี้จะพบคอนเวอร์เจนต์ของเศษส่วนต่อเนื่องปกติที่ประมาณสแควร์รูทของ n แล้วตรวจสอบว่าแก้สมการเพลล์ได้ไหม ตอนนี้อย่างถูกต้องค้นหาระยะเวลาของเศษส่วนต่อเนื่องปกติ

ขอบคุณ @TimPederick ฉันยังได้ใช้โซลูชันที่เป็นจำนวนเต็มซึ่งควรจัดการกับหมายเลขใด ๆ :

เยลลี่ 68 ไบต์

U×_ƭ/;²®_$÷2ị$}ʋ¥µ;+®Æ½W¤:/$$
¹©Æ½Ø.;ÇƬṪ€F¹;Ḋ$LḂ$?ṭ@ṫ-ṚZæ.ʋ¥ƒØ.,U¤-ị

ลองออนไลน์!

ตัวอย่างเช่นโซลูชันสำหรับ 1234567890มี 1936 และ 1932 หลักสำหรับตัวเศษและส่วนตามลำดับ

JavaScript (ES7), 47 bytes

n=>(g=x=>(y=((x*x-1)/n)**.5)%1?g(x+1):[x,y])(2)

Try it online!

Below is an alternate 49-byte version which keeps track of $x²-1$ directly instead of squaring $x$ at each iteration:

n=>[(g=x=>(y=(x/n)**.5)%1?1+g(x+=k+=2):2)(k=3),y]

Try it online!

Or we can go the non-recursive way for 50 bytes:

n=>eval('for(x=1;(y=((++x*x-1)/n)**.5)%1;);[x,y]')

Try it online!

TI-BASIC,  44  42 41 bytes

Ans→N:"√(N⁻¹(X²-1→Y₁:1→X:Repeat not(fPart(Ans:X+1→X:Y₁:End:{X,Ans

Input is $n$.
Output is a list whose values correspond to $(x,y)$.

Uses the equation $y=\sqrt{\frac{x^2-1}{n}}$ for $x\ge2$ to calculate the fundamental solution.
The current $(x,y)$ pair for that equation is a fundamental solution iff $y\bmod1=0$.

Examples:

6
               6
prgmCDGF12
           {5 2}
10
              10
prgmCDGF12
          {19 6}
13
              13
prgmCDGF12
       {649 180}

Explanation:

Ans→N:"√(N⁻¹(X²+1→Y₁:1→X:Repeat not(fPart(Ans:X+1→X:Y₁:End:{X,Ans  ;full logic

Ans→N                                                              ;store the input in "N"
      "√(N⁻¹(X²+1→Y₁                                               ;store the aforementioned
                                                                   ; equation into the first
                                                                   ; function variable
                     1→X                                           ;store 1 in "X"
                         Repeat not(fPart(Ans          End         ;loop until "Ans" is
                                                                   ; an integer
                                              X+1→X                ;increment "X" by 1
                                                    Y₁             ;evaluate the function
                                                                   ; stored in this variable
                                                                   ; at "X" and leave the
                                                                   ; result in "Ans"
                                                           {X,Ans  ;create a list whose
                                                                   ; values contain "X" and
                                                                   ; "Ans" and leave it in
                                                                   ; "Ans"
                                                                   ;implicitly print "Ans"

Note: TI-BASIC is a tokenized language. Character count does not equal byte count.

MATL, 17 bytes

`@:Ut!G*-!1=&fts~

Try it online!

Explanation

The code keeps increasing a counter k = 1, 2, 3, ... For each k, solutions x, y with 1 ≤ x ≤ k, 1 ≤ y ≤ k are searched. The process when some solution if found.

This procedure is guaranteed to find only one solution, which is precisely the fundamental one. To see why, note that

1. Any solution x>0, y>0 for n>1 satisfies x>y.
2. If x,y is a solution and x',y' is a different solution then necessarily x≠x' and y≠y'.

As a consequence of 1 and 2,

• When the procedure stops at a given k, only one solution exists for that k, because if there were two solutions one of them would been found earlier, and the process would have stopped with a smaller k.
• This solution is the fundamental one, because, again, if there were a solution with smaller x it would have been found earlier.

`       % Do...while
  @:U   %   Push row vector [1^2, 2^2, ..., k^2] where k is the iteration index
  t!    %   Duplicate and transpose. Gives the column vector [1^2; 2^2; ...; k^2]
  G*    %   Multiply by input n, element-wise. Gives [n*1^2; n*2^2; ...; n*k^2]
  -     %   Subtract with broadcast. Gives a square matrix of size n
  !     %   Transpose, so that x corresponds to row index and y to column index
  1=&f  %   Push row and column indices of all entries that equal 1. There can
        %   only be (a) zero such entries, in which case the results are [], [],
        %   or (b) one such entry, in which case the results are the solution x, y
  ts~   %   Duplicate, sum, negate. This gives 1 in case (a) or 0 in case (b)
        % End (implicit). Proceed with next iteration if top of the stack is true;
        % that is, if no solution was found.
        % Display (implicit). The stack contains copies of [], and x, y on top.
        % The empty array [] is not displayed

Python 2, 49 bytes

a=input()**.5
x=2
while x%a*x>1:x+=1
print x,x//a

Try it online!

Finds x as the smallest number above 1 where x % sqrt(n) <= 1/x. Then, finds y from x as y = floor(x / sqrt(n)).

Haskell, 46 bytes

A straightforward brute force search. This makes use of the fact that a fundamental solution $(x,y)$ satisfying $x^2 - ny^2 = 1$ must have $y \leq x$.

f n=[(x,y)|x<-[1..],y<-[1..x],x^2-n*y^2==1]!!0

Try it online!

C# (Visual C# Interactive Compiler), 70 69 bytes

n=>{int x=1;var y=.1;for(;y%1>0;)y=Math.Sqrt(-x*~++x/n);return(x,y);}

Port of my Java 8 answer, but outputs a tuple instead of a string to save bytes.

Try it online.

Jelly, 15 bytes

‘ɼ²×³‘½µ⁺%1$¿;®

Try it online!

A full program that takes a single argument n and returns a tuple of x, y.

Husk, 12 bytes

ḟΛ¤ȯ=→*⁰□π2N

Try it online!

Explanation

ḟΛ¤ȯ=→*⁰□π2N  Input is n, accessed through ⁰.
           N  Natural numbers: [1,2,3,4,..
         π2   2-tuples, ordered by sum: [[1,1],[1,2],[2,1],[1,3],[2,2],..
ḟ             Find the first that satisfies this:
 Λ             All adjacent pairs x,y satisfy this:
  ¤     □       Square both: x²,y²
   ȯ  *⁰        Multiply second number by n: x²,ny²
     →          Increment second number: x²,ny²+1
    =           These are equal.

MathGolf, 12 bytes

ökî²*)_°▼Þ√î

Try it online!

I'm throwing a Hail Mary when it comes to the output formatting. If it's not allowed, I have a solution which is 1 byte longer. The output format is x.0y, where .0 is the separator between the two numbers.

Explanation

ö       ▼      do-while-true with popping
 k             read integer from input
  î²           index of current loop (1-based) squared
    *          multiply the two
     )         increment (gives the potential x candidate
      _        duplicate TOS
       °       is perfect square
         Þ     discard everything but TOS
          √    square root
           î   index of previous loop (1-based)

I took some inspiration from Emigna's 05AB1E answer, but was able to find some improvements. If the separator I chose is not allowed, add a space before the last byte for a byte count of 13.

APL(NARS), 906 bytes

r←sqrti w;i;c;m
m←⎕ct⋄⎕ct←0⋄r←1⋄→3×⍳w≤3⋄r←2⋄→3×⍳w≤8⋄r←w÷2⋄c←0
i←⌊(2×r)÷⍨w+r×r⋄→3×⍳1≠×r-i⋄r←i⋄c+←1⋄→2×⍳c<900⋄r←⍬
⎕ct←m

r←pell w;a0;a;p;q2;p2;t;q;P;P1;Q;c;m
   r←⍬⋄→0×⍳w≤0⋄a0←a←sqrti w⋄→0×⍳a≡⍬⋄m←⎕ct⋄⎕ct←0⋄Q←p←1⋄c←P←P1←q2←p2←0⋄q←÷a
L: t←p2+a×p⋄p2←p⋄p←t
   t←q2+a×q
   :if c≠0⋄q2←q⋄:endif
   q←t           
   P←(a×Q)-P
   →Z×⍳Q=0⋄Q←Q÷⍨w-P×P
   →Z×⍳Q=0⋄a←⌊Q÷⍨a0+P
   c+←1⋄→L×⍳(1≠Qׯ1*c)∧c<10000
   r←p,q
   :if c=10000⋄r←⍬⋄:endif
Z: ⎕ct←m

Above there are 2 functions sqrti function that would find the floor square root and pell function would return Zilde for error, and is based reading the page http://mathworld.wolfram.com/PellEquation.html it would use the algo for know the sqrt of a number trhu continue fraction (even if i use one algo for know sqrt using newton method) and stop when it find p and q such that

 p^2-w*q^2=1=((-1)^c)*Qnext

Test:

  ⎕fmt pell 1x
┌0─┐
│ 0│
└~─┘
  ⎕fmt pell 2x
┌2───┐
│ 3 2│
└~───┘
  ⎕fmt pell 3x
┌2───┐
│ 2 1│
└~───┘
  ⎕fmt pell 5x
┌2───┐
│ 9 4│
└~───┘
  ⎕fmt pell 61x
┌2────────────────────┐
│ 1766319049 226153980│
└~────────────────────┘
  ⎕fmt pell 4x
┌0─┐
│ 0│
└~─┘
  ⎕fmt pell 7373x
┌2───────────────────────────────────────────────────────────┐
│ 146386147086753607603444659849 1704817376311393106805466060│
└~───────────────────────────────────────────────────────────┘
  ⎕fmt pell 1000000000000000000000000000002x
┌2────────────────────────────────────────────────┐
│ 1000000000000000000000000000001 1000000000000000│
└~────────────────────────────────────────────────┘

There is a limit for cycles in the loop in sqrti function, and a limit for cycles for the loop in Pell function, both for the possible case number are too much big or algo not converge... (I don't know if sqrti converge every possible input and the same the Pell function too)

Groovy, 53 bytes

n->x=1;for(y=0.1d;y%1>0;)y=((++x*x-1)/n)**0.5;x+" "+y

Try it online!

Port of Kevin Cruijssen's Java and C# answers

Pyth, 15 bytes

fsIJ@ct*TTQ2 2J

Try it online here. Output is x then y separated by a newline.

Wolfram Language (Mathematica), 41 bytes

{1//.y_/;!NumberQ[x=√(y^2#+1)]:>y+1,x}&

√ is the 3-byte Unicode character #221A. Outputs the solution in the order (y,x) instead of (x,y). As usual with the imperfect //. and its limited iterations, only works on inputs where the true value of y is at most 65538.

Try it online!

><>, 45 bytes

11v
+$\~:1
:}/!?:-1v?=1-*}:{*:@:{*:
$  naon;>

Try it online!

Brute force algorithm, searching from x=2 upwards, with y=x-1 and decrementing on each loop, incrementing x when y reaches 0. Output is x followed by y, separated by a newline.

C# (Visual C# Interactive Compiler), 69 bytes

n=>{for(int x=2,y;;x++)for(y=0;y<=x;y++)if(x*x-y*y*n==1)return(x,y);}

Try it online!

Python 3, 75 bytes

lambda i:next((x,y)for x in range(2,i**i)for y in range(x)if~-x**2==i*y**2)

Try it online!

Explanation

Brute force. Using

This code would also run in Python 2. However, the range() function in Python 2 creates a list instead of a generator like in Python 3 and is thus immensely inefficient.

With inifinte time and memory, one could use a list comprehension instead of the iterator and save 3 bytes like so:

Python 3, 72 bytes

lambda i:[(x,y)for x in range(i**i)for y in range(x)if~-x**2==i*y**2][1]

Try it online!

Python 2, 64 bytes

f=lambda n,x=2,y=1:x*x-n*y*y-1and f(n,x+(x==y),y*(y<x)+1)or(x,y)

Try it online!

Returns (x, y).