11

ฉันเป็นแฟนตัวยงของทฤษฎีจำนวน สิ่งที่ยิ่งใหญ่ในทฤษฎีตัวเลขคือคณิตศาสตร์เลขคณิต ความหมายของการเป็น $a\equiv b\mod m$ และถ้าหาก $m\mid a-b$ ขสิ่งที่สนุกที่ต้องทำคือการเพิ่มพลัง: โดยเฉพาะเมื่อโมดูลัสเป็นจำนวนเฉพาะ โดยเฉพาะอย่างยิ่งจะได้รับการพิสูจน์แล้วว่าถ้าและมีความสำคัญ (หุ้นปัจจัยไม่มีทั่วไปนอกเหนือจาก ) จากนั้นมีอยู่จำนวนดังกล่าวที่ $a$ $m$ $1$ $e$ $a^e\equiv 1\mod m$ .

ฉันจะอธิบายว่าการออกกำลังกายเป็นอย่างไร ลองมาโมดูลั $m=7$ 7ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ของโปรแกรมหรือฟังก์ชั่นจะเป็น:

3 2 6 4 5 1
2 4 1 2 4 1
6 1 6 1 6 1
4 2 1 4 2 1
5 4 6 2 3 1
1 1 1 1 1 1

แต่ละแถวเป็นรายการของพลังของตัวเลขแรกในแถวนั้น: แถวแรกคือ $3, 3^2, 3^3, \cdots, 3^6$ ซึ่งเทียบเท่ากับ $3,2,6,4,5,1$ modulo $7$ . แถวที่สองของตารางดังกล่าวเป็นอำนาจของ $2$ , etcetera ถึงแถวสุดท้ายซึ่งเป็นเพียงอำนาจของ1 $1$

นี่คือจัตุรัสแบบโมดูโลที่มีมนต์ขลังเพราะ:

สี่เหลี่ยมจัตุรัสนั้นสมมาตร นั่นคือคอลัมน์ $i$ th เหมือนกับแถว $i$ th
ค่าทั้งหมด $1$ ถึง $m-1$ ปรากฏอย่างน้อยหนึ่งครั้ง

ด้านล่างเป็นผลลัพธ์ที่ใช้ได้เพียงอย่างเดียวสำหรับ $m=7$ เริ่มต้นด้วยกำลังของ $5$ :

5 4 6 2 3 1
4 2 1 4 2 1
6 1 6 1 6 1
2 4 1 2 4 1
3 2 6 4 5 1
1 1 1 1 1 1

ความท้าทาย

สร้างฟังก์ชั่นหรือโปรแกรมที่ให้pเอาต์พุตที่สำคัญกับจตุรัสเวทย์มนตร์โมดูโลนั่นคือสแควร์ที่มีความยาวด้านp-1โดยแต่ละแถวนั้นเป็นรายการของอำนาจต่อเนื่องขององค์ประกอบแรกในแถวและเหมือนกันสำหรับคอลัมน์ ตัวเลขทั้งหมดระหว่าง0และpต้องเกิดขึ้นและสแควร์สามารถมีตัวเลขในช่วงนั้นเท่านั้น

อินพุตเป็นตัวเลขหรือสตริงและเอาต์พุตสามารถเป็น ascii เมทริกซ์อาร์เรย์ของอาร์เรย์ (รูปแบบที่เหมาะสม)

นี่คือรหัสกอล์ฟดังนั้นรหัสที่สั้นที่สุดชนะ

code-golf number-theory

— vrugtehagel
แหล่งที่มา

ลำดับ OEIS ที่เกี่ยวข้อง: A001918 (ค่าที่ถูกต้องต่ำสุดสำหรับมุมซ้ายบน)

— Arnauld

2

" ฉันจะอธิบายว่าแบบฝึกหัดนั้นเป็นตัวอย่างอะไร " ไม่ อธิบายด้วยเงื่อนไขของตัวเองแล้วยกตัวอย่างเพื่ออธิบาย ผมคิดว่าสิ่งที่คุณกำลังขอเป็นเมทริกซ์ดังกล่าวว่า

เป็นรากดั้งเดิมแบบโมดูโล

และ

A

$A$

A_{1, 1}

$A_{1,1}$

p

$p$

แต่มันเป็นความพยายามอย่างมากที่จะดึงสเปคจากคำถามที่ว่ามันยืน

A_{i, j} = A_{1, 1}^{i j} mod p

$A_{i,j} = A_{1,1}{}^{ij} \bmod p$

— Peter Taylor

2

@PeterTaylor จริงและนั่นคือสิ่งที่ฉันหมายถึง แต่อย่างแรกที่ทำลายส่วนหนึ่งของความสนุกในการสำรวจและประการที่สองมันขึ้นอยู่กับความรู้เกี่ยวกับรากดั้งเดิมและคณิตศาสตร์แบบแยกส่วน ฉันต้องการให้คำถามนี้ตอบได้โดยผู้ชมที่กว้างกว่านั้นดังนั้นฉันจึงพยายามอธิบายสิ่งที่ฉันหมายถึงในแง่ที่ง่ายขึ้น

— vrugtehagel

5

เยลลี่ , 13 10 ไบต์

-3 ขอบคุณ Nick Kennedy

^{รู้สึกเหมือนรหัสซ้ำควรจะเป็นกอล์ฟสามารถ แต่ฉันได้ไม่ได้จัดการวันที่มัน ...}

*€Ṗ%µQƑƇḢị

ลองออนไลน์! (ส่วนท้ายรูปแบบสวยเป็นตาราง)

อย่างไร?

*€Ṗ%µQƑƇḢị - Link: integer, p
 €         - for each n in [1..p]
*          -   exponentiate with:
  Ṗ        -     pop = [1..p-1]
           - ...i.e [[1^1,1^2,...,1^(p-1)],[2^1,2^2,...,2^(p-1)],...,[....,p^(p-1)]]
   %       - modulo p
    µ      - start a new monadic chain (call that list of lists X)
       Ƈ   - keep those which:
      Ƒ    -   are invariant under:
     Q     -     de-duplicate
        Ḣ  - head
         ị - index into the list of lists X

— Jonathan Allan
แหล่งที่มา

1

นี่คือ 10: tio.run/##ASMA3P9qZWxsef//KuKCrOG5liXCtVHGkcaH4bii4buL/8OHR///...

— นิคเคนเนดี้

Ahha ตอนนี้ฉันรู้สึกช้า p ขอบคุณ!

— Jonathan Allan

3

ถ่าน , 36 ไบต์

≔Ｅ…¹θ﹪Ｘι…¹θＩθηＥ⊟Φη⁼¹№ι¹⪫Ｅ§η⊖ι◧ＩλＬ⊖θ

ลองออนไลน์! การเชื่อมโยงคือการใช้รหัสเวอร์ชันอย่างละเอียด หมายเหตุ: พื้นที่ต่อท้าย คำอธิบาย:

≔Ｅ…¹θ﹪Ｘι…¹θＩθη

สร้างอาร์เรย์p-1ตามp-1กำลังของ1..p-1ถึงดัชนี1..p-1(โมดูโลp)

Ｅ⊟Φη⁼¹№ι¹

1แผนที่กว่าหนึ่งแถวซึ่งมีตรงหนึ่ง

⪫Ｅ§η⊖ι◧ＩλＬ⊖θ

จัดเรียงแถวใหม่ตามลำดับที่กำหนดโดยแถวที่เลือกและจัดรูปแบบเอาต์พุต

— นีล
แหล่งที่มา

2

J , ^{35 32} 31 ไบต์

[:(/:0/:@{]\:#@~."1)]|^/~@}.@i.

ลองออนไลน์!

— โยนาห์
แหล่งที่มา

2

ภาษา Wolfram (Mathematica) , 46 43 ไบต์

Mod[PrimitiveRoot@#^Array[1##&,{#,#}-1],#]&

ลองออนไลน์!

-3 ขอบคุณ alephalpha

— attinat
แหล่งที่มา

2

JavaScript (ES7), 91 86 ไบต์

$p\ge11$

f=(p,k)=>(g=k=>[...Array(i=p-1)].map(_=>k**++i%p))(k).sort()[1]>1?g(k).map(g):f(p,-~k)

ลองออนไลน์!

JavaScript (ES6), 92 87 ไบต์

รุ่นนี้ใช้การยกกำลังแบบแยกส่วนเพื่อสนับสนุนค่าอินพุตที่สูงขึ้น (มาก)

f=(p,k)=>(g=k=>[...Array(p-1)].map(_=>n=n*k%p,n=1))(k).sort()[1]>1?g(k).map(g):f(p,-~k)

ลองออนไลน์!

อย่างไร?

ค้นหาแถวแรก

$1\le k<p$ $g$ $a_k(n)=k^n\bmod p$ $1\le n<p$

g = k =>              // k = input
  [...Array(p - 1)]   // generate an array of size p - 1
  .map(_ =>           // for each entry in there:
    n = n * k % p,    //   update n to (n * k) mod p
    n = 1             //   starting with n = 1
  )                   // end of map()

$k$ $n$ $a_k(n)=1$ $1$

g(k).sort()[1] > 1

สิ่งนี้ทำงานได้แม้จะอยู่ในลำดับพจนานุกรมซึ่งเป็นพฤติกรรมเริ่มต้นของsort()- เพราะ:

$1$
$1$ $1$

ตัวอย่าง:

$p=17$

$k=1$
- $a_1=[ 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 ]$
- $[ 1, \color{red}1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 ]$
$k=2$
- $a_2=[ 2, 4, 8, 16, 15, 13, 9, 1, 2, 4, 8, 16, 15, 13, 9, 1 ]$
- $[ 1, \color{red}1, 13, 13, 15, 15, 16, 16, 2, 2, 4, 4, 8, 8, 9, 9 ]$
$k=3$
- $a_3=[ 3, 9, 10, 13, 5, 15, 11, 16, 14, 8, 7, 4, 12, 2, 6, 1 ]$
- $[ 1, \color{red}{10}, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ]$

อาคารเมทริกซ์

$k$ $g(k)$ $g$ $g(k)$

ส่วนนี้สามารถเขียนได้ง่าย ๆ เป็น:

g(k).map(g)

— Arnauld
แหล่งที่มา

.indexOf(1)>p-3บันทึก 3 .everyไบต์มากกว่า

— Neil

@ Neil ขอบคุณ แต่ฉันได้พบวิธีที่สั้นกว่าหลังจากนอนหลับฝันดี :)

— Arnauld

2

Zsh , 117 90 ไบต์

b=$1
c=(eval set -- '$[x**'{1..$[b-1]}%b\])
for ((;${#${(u)@}}-b+1;++x))$c
for x;$c&&<<<$@

~~ลองออนไลน์!~~ ลองออนไลน์!

ขอพระเจ้าทรงเมตตาจิตวิญญาณของฉัน มีการปฏิบัติที่เลวร้ายมากมายห่อไว้ที่นี่ให้ฉันอธิบายผู้กระทำผิดที่ใหญ่ที่สุดอย่างน้อย:

c=(eval set -- '$[x**'{1..$[b-1]}%b\])
                      {1..$[b-1]}        # brace expansion, expands immediately
               '$[x**'           %b\]    # string literals, expand during eval
   eval set --                           # sets the positional parameters
c=(                                   )  # defines c to the words contained

ตัวอย่างสำหรับb=4:

c=(eval set -- '$[x**'{1..$[b-1]}%b\])
c=(eval set -- '$[x**'{1..3}%b\]     )                # $[b-1] => 3
c=(eval set -- '$[x**1%b]' '$[x**2%b]' '$[x**3%b]' )  # brace expansion

สุดท้ายที่ปรากฏในส่วนที่เหลือของโปรแกรมองค์ประกอบมากมายที่มีการประเมินว่า$ceval set -- ....

สุดท้าย${#${(u)@}}นับองค์ประกอบที่เป็นเอกลักษณ์ของพารามิเตอร์ตำแหน่ง (เช่น: มีรอบ / มี1s)

ความคิดเห็นที่เกี่ยวข้องกับ 117 คำตอบด้านล่าง

ความท้าทายที่เราต้องเอาชนะ:

ไม่มีอาร์เรย์หลายมิติหรือซ้อนกัน แต่เราจะพิมพ์สตริงออกมาเมื่อเราวนมันกลับมา
ตัวเลือกสำหรับการทดสอบว่าแถวที่กำหนดมีหลาย 1s หรือไม่:
- ${#${(M)a:#1}: :#ลบการจับคู่และ(M)สลับการจับคู่ ดังนั้นสิ่งนี้จะขยายเป็นจำนวน ( ${# }) ของ1s ในอาร์เรย์ น่าเสียดายที่การขยายตัวนี้ไม่ได้เล่นอย่างดีกับคณิตศาสตร์สำหรับวงที่เราใช้ที่นี่ ถ้าเป็นเช่นนั้นก็อาจบันทึกไบต์ได้
- ${${:-1}:*a}: นี่คือจุดตัดระหว่างชุดเดี่ยวและชุด1 aสิ่งนี้จะขยายไปที่เดียว1ถ้าพบในอาเรย์ เมื่อใช้ตัวเลือกนี้เราจะบันทึกอักขระหนึ่งตัวที่นี่ แต่เสีย 1 โดยรวมโดยไม่ต้องเลื่อนการเพิ่ม1s ลงในแถวและคอลัมน์สุดท้ายจนกระทั่งสิ้นสุด

f(){ # f [element] [modular base], puts powers up to n-2 into array $a
    a=()
    for i ({1..$[$2-2]})
        a+=($[$1**i%$2])
}
a=(1)                     # put 1 in a to force first loop iteration
for ((;${${:-1}:*a};))    # test for 1 in array $a
    f $[++x] $1           # increment x, iterate through all elements mod $1
for y ($a 1){             # for all elements in the [last array, 1]
    f $y $1               # put that row in $a
    <<<$a\ 1              # print out $a with 1 appended (space-delimited string)
}

— GammaFunction
แหล่งที่มา

1

Perl 6 , 65 57 ไบต์

{.[|.first(*.Set+2>$_)]}o{.&{@=(($++X**1..^$_)X%$_)xx$_}}

ลองออนไลน์!

อาจจะมีวิธีที่จะเพียงแค่ส่งออกสแควร์ตัวเอง แต่นี่เป็นกระบวนการเดียวกันที่ระบุไว้ในคำถามเรียงลำดับรายการตามตำแหน่งของพวกเขาในรายการแรกที่เป็นเพียงการเปลี่ยนแปลง 1 ถึง input-1 ส่งคืนเป็นรายการของรายการ

BTW มีจ๊อกกิ้งมากมายพยายามที่จะหลีกเลี่ยงข้อ จำกัด ที่น่ารำคาญของ Perl 6 ที่เกี่ยวข้องกับซีเควนซ์ vs อาร์เรย์และตัวแปรที่ไม่ระบุตัวตน

คำอธิบาย:

                               $++               xx$_    # Map 0 to i-1 to
                              (   X**1..^$_)             # n, n^2, n^3... n^(i-1)
                             (              X%$_)        # All modulo i
{                      }o{.&{                        }}  # Pass to the next function
 .[                   ]    # Index into that list of lists
   |.first(          )     # The list of the first list that
           *.Set+2>$_        # Has all the elements in the range 1 to i-1

— ล้อเล่น
แหล่งที่มา

1

Python 2 , 108 ไบต์

def f(p):R=range(1,p);return[m for m in[[[j**(k*i)%p for i in R]for k in R]for j in R]if sorted(m[0])==R][0]

ลองออนไลน์!

— Chas Brown
แหล่งที่มา

1

คุณไม่สามารถทำได้printแทนที่จะกลับมา?

— ศูนย์รวมของความไม่รู้

1

05AB1E , 19 16 ไบต์

LεI<LmI%}ÐΘOÏн<è

-3 ไบต์ขอบคุณที่@Emigna

ลองใช้ออนไลน์ (ส่วนท้ายคือการพิมพ์รายการ 2D)

คำอธิบาย:

L          # Create a list in the range [1, (implicit) input]
 ε         # Map each number `y` in the list to:
  I<L      #  Create a list in the range [1, input-1]
     m     #  Get number `y` to the power of each number in this list
      I%   #  Take modulo-input on each number
 }Ð        # After the map: triplicate this modified matrix
   ΘO      # Get the amount of 1s in each row
     Ï     # And only leave the rows with exactly one 1
      н    # Then only leave the first row which contains a single 1
       <   # Decrease each value by 1 to make it 0-indexed
        è  # And index each into the rows of the modified matrix to create a new matrix
           # (which is output implicitly as result)

— Kevin Cruijssen
แหล่งที่มา

1

LεI<LmI%}ÐΘOÏн<èสำหรับ 16 ไบต์

— Emigna

@ Emigna ขอบคุณ! ไม่ได้ตระหนักถึง<èจะเพียงพอแล้วแทนที่จะเป็นUΣXykฉัน

— Kevin Cruijssen

0

ภาษา Wolfram (Mathematica) , 67 ไบต์

(s=Thread@Mod[x^#&/@(x=Range[#-1]),#])[[#&@@Select[s,Sort@#==x&]]]&

ลองออนไลน์!

— J42161217
แหล่งที่มา

0

Pari / GP 48 ไบต์

n->lift(matrix(n-1,n-1,i,j,znprimroot(n)^(i*j)))

ลองออนไลน์!

— alephalpha
แหล่งที่มา

0

APL (NARS), 29 ตัวอักษร, 58 ไบต์

{k←⍵∣⍺*⍳⍵-1⋄⊃{m∣k*⍵}¨⍳¯1+m←⍵}

ทดสอบ:

  f←{k←⍵∣⍺*⍳⍵-1⋄⊃{m∣k*⍵}¨⍳¯1+m←⍵}
  3 f 7
3 2 6 4 5 1
2 4 1 2 4 1
6 1 6 1 6 1
4 2 1 4 2 1
5 4 6 2 3 1
1 1 1 1 1 1
  5 f 7
5 4 6 2 3 1
4 2 1 4 2 1
6 1 6 1 6 1
2 4 1 2 4 1
3 2 6 4 5 1
1 1 1 1 1 1

— RosLuP
แหล่งที่มา

Magical Modulo Squares

ความท้าทาย

เยลลี่ , 13 10 ไบต์

อย่างไร?

ถ่าน , 36 ไบต์

J , 35 32 31 ไบต์

ภาษา Wolfram (Mathematica) , 46 43 ไบต์

JavaScript (ES7), 91 86 ไบต์

JavaScript (ES6), 92 87 ไบต์

อย่างไร?

ค้นหาแถวแรก

อาคารเมทริกซ์

Zsh , 117 90 ไบต์

Perl 6 , 65 57 ไบต์

คำอธิบาย:

Python 2 , 108 ไบต์

05AB1E , 19 16 ไบต์

ภาษา Wolfram (Mathematica) , 67 ไบต์

Pari / GP 48 ไบต์

APL (NARS), 29 ตัวอักษร, 58 ไบต์

J , ^{35 32} 31 ไบต์