บทนำ

ในทฤษฎีจำนวนที่เราพูดเป็นจำนวนพร้อมตัวล็อกกันเมื่อปัจจัยสำคัญที่มีทั้งหมดในที่สุดkยกตัวอย่างเช่น 2940 คือ 7-Smooth เพราะ 2$k$$k$$2940=2^2\cdot3\cdot5\cdot7^2$

ที่นี่เรากำหนดคู่ -smooth เป็นจำนวนเต็มต่อเนื่องสองตัวซึ่งทั้งคู่เป็น -smooth ตัวอย่างของคู่ 7 เรียบจะเพราะและ4375สนุกจริง: นี้เป็นจริงที่ใหญ่ที่สุดคู่$k$$k$$(4374,4375)$$4374=2\cdot3^7$$4375=5^4\cdot7$

Stormer พิสูจน์แล้วว่าในปี 1897 ที่ทุกมีเพียงขีดหลายพร้อมตัวล็อกกันคู่$k$$k$และความจริงนี้เป็นที่รู้จักกันStormer ทฤษฎีบท

ท้าทาย

งานของคุณคือการเขียนโปรแกรมหรือฟังก์ชั่นที่กำหนดให้ใส่หมายเลขเฉพาะส่งออกหรือส่งกลับคู่ -smooth ทั้งหมดโดยไม่ซ้ำกัน (ลำดับภายในคู่ไม่สำคัญ) ในลำดับใด ๆ ที่คุณต้องการ$k$$k$

โปรดสังเกตว่าสำหรับตัวเลขที่สำคัญและสมมติทั้งหมดพร้อมตัวล็อกกันคู่นี้ยังมีพร้อมตัวล็อกกันคู่$p$$q$$p<q$$p$$q$

ตัวอย่าง I / O

Input: 2
Output: (1, 2)

Input: 3
Output: (1, 2), (2, 3), (3, 4), (8, 9)

Input: 5
Output: (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6), (8, 9), (9, 10), (15, 16), (24, 25), (80, 81)

Input: 7
Output: (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6), (6, 7), (7, 8), (8, 9), (9, 10), (14, 15),
        (15, 16), (20, 21), (24, 25), (27, 28), (35, 36), (48, 49), (49, 50), (63, 64),
        (80, 81), (125, 126), (224, 225), (2400, 2401), (4374, 4375)

การ จำกัด

โปรแกรมหรือฟังก์ชั่นควรยุติตามทฤษฎีในเวลาที่ จำกัด สำหรับอินพุตทั้งหมด ช่องโหว่มาตรฐานจะไม่ได้รับอนุญาตตามค่าเริ่มต้น

เกณฑ์การชนะ

เนื่องจากนี่เป็นความท้าทายของนักกอล์ฟที่ส่งผลงานได้ถูกต้องที่สุดสำหรับแต่ละภาษา

JavaScript (ES7),  234  232 ไบต์

ค้นหาวิธีแก้ปัญหาด้วยการแก้สมการ Pell ของรูปแบบโดยที่คือตัวเลขฟรีสแควร์ smooth$x^2-2qy^2=1$$q$$P$

นี่คือการดำเนินการตามกระบวนการของDerrick Henry Lehmerซึ่งได้มาจากกระบวนการดั้งเดิมของStørmer

ส่งคืนวัตถุที่มีคีย์และค่าอธิบายคู่ -smooth$P$

P=>[...Array(P**P)].map((_,n)=>(s=(n,i=0,k=2)=>k>P?n<2:n%k?s(n,i,k+1):s(n/k,i,k+i))(n,1)&&(_=>{for(x=1;(y=((++x*x-1)/n)**.5)%1;);(h=(x,y)=>k--&&h(X*x+n*Y*y,X*y+Y*x,x&s(x=~-x/2)&s(x+1)?r[x]=x+1:0))(X=x,Y=y,k=P<5?3:-~P/2)})(),r={})&&r

ลองออนไลน์!

อย่างไร?

ผู้ช่วยฟังก์ชั่นการทดสอบไม่ว่าจะเป็นจำนวนเต็มให้เป็นจำนวนพร้อมตัวล็อกกันเมื่อมันเรียกว่ามีหรือฟรีตาราง¹จำนวนพร้อมตัวล็อกกันเมื่อมันเรียกว่ามี 1$s$$n$$P$$i=0$P i = 1 $P$$i=1$

s = (
  n,
  i = 0,
  k = 2
) =>
  k > P ?
    n < 2
  :
    n % k ?
      s(n, i, k + 1)
    :
      s(n / k, i, k + i)

เรามองหาตารางฟรีตลอด¹ หมายเลขพร้อมตัวล็อกกันในที่ใช้เป็นที่ถูกผูกไว้บนสำหรับ.$P$$[1..P^P-1]$$P^P$$P!$

P=>[...Array(P ** P)].map((_, n) => s(n, 1) && (...))

สำหรับแต่ละหมายเลขพบข้างต้นเราค้นหาวิธีแก้ปัญหาพื้นฐานของสมการ Pell :$n$$x^2-ny^2=1$

(_ => {
  for(x = 1; (y = ((++x * x - 1) / n) ** .5) % 1;);
  ...
})()

(รหัสดังกล่าวเป็นรุ่นที่ไม่ใช่ recursive ของคำตอบของฉันที่จะท้าทายอื่น ๆ )

เมื่อพบโซลูชันพื้นฐานแล้วเราจะคำนวณโซลูชันด้วยโดยใช้ความสัมพันธ์ที่เกิดซ้ำ:$(x_1,y_1)$$(x_k,y_k)$$k\le max(3,(P+1)/2)$

สำหรับแต่ละเราทดสอบว่าแปลกและทั้งคู่และเป็น -smooth ถ้าเป็นเช่นนั้นเราเก็บไว้ในวัตถุR$x_k$$x_k$$(x_k-1)/2$$(x_k+1)/2$$P$$r$

( h = (x, y) =>
  k-- &&
  h(
    X * x + n * Y * y,
    X * y + Y * x,
    x &
    s(x = ~-x / 2) &
    s(x + 1) ?
      r[x] = x + 1
    :
      0
  )
)(X = x, Y = y, k = P < 5 ? 3 : -~P / 2)

^{1: เพราะมันไม่ได้ทดสอบ primality ของตัวหารที่ฟังก์ชั่นจริงจะ truthy สำหรับตัวเลขบางอย่างไม่ใช่สแควร์ฟรีแม้ว่าจะเรียกว่ามี 1 ความคิดคือการกรองส่วนใหญ่ของพวกเขาเพื่อไม่ให้แก้สมการเพลล์ไร้ประโยชน์มากเกินไป$s$$i=1$}

เยลลี่ , 16 14 ไบต์

4*ÆfṀ<ɗƇ‘rƝLÐṂ

ลองออนไลน์!

ตรวจสอบคู่ที่มากถึงซึ่งไม่มีประสิทธิภาพสำหรับขนาดใหญ่กว่าแต่ควรแน่ใจว่าไม่มีใครพลาด$4^k$$k$

ขอบคุณ @JonathanAllan สำหรับการบันทึก 1 ไบต์!

คำอธิบาย

4*ÆfṀ<ɗƇ‘rƝLÐṂ  | Monadic link, input k

4*              | 4**k, call this n
      ɗƇ        | For each number from 1..n filter those where:
  Æf            |   - Prime factors
    Ṁ           |   - Maximum
     <  ‘       |   - Less than k+1
         rƝ     | Inclusive range between neighbouring values
           LÐṂ  | Keep only those of minimum length (i.e. adjacent values)

05AB1E , 8 ไบต์

°Lü‚ʒfà@

ลองออนไลน์!

คำอธิบาย:

°            # 10 ** the input
 Lü‚         # list of pairs up to that number
    ʒ        # filtered by...
     fà      # the greatest prime factor (of either element of the pair)...
       @     # is <= the input

เยลลี่ 123 ไบต์

¹©Æ½Ø.;µU×_ƭ/;²®_$÷2ị$}ʋ¥⁸;+®Æ½W¤:/$$µƬṪ€F¹;Ḋ$LḂ$?ṭ@ṫ-ṚZæ.ʋ¥ƒØ.,U¤-ịWµ1ịżU×®W¤Ɗ$æ.0ị$ṭµ³’H»3¤¡
ÆRŒPP€ḟ2ḤÇ€ẎḢ€+€Ø-HÆfṀ€<ẠʋƇ‘

ลองออนไลน์!

นี่เป็นคำตอบของเจลลี่ที่ค่อนข้างมีประสิทธิภาพ แต่ใช้เวลานานซึ่งใช้วิธีเศษส่วนต่อเนื่องเพื่อแก้ปัญหาพื้นฐานสำหรับสมการ Pell สำหรับแต่ละจำนวนสแควร์ k-smooth k ฟรีจำนวนพบโซลูชันสำหรับแต่ละรายการจากนั้นตรวจสอบว่าราบรื่นสำหรับแต่ละโซลูชันหรือไม่ นี่คือวิธีการ Lehmer ฯ ตามที่อธิบายไว้ในคำถามของการเชื่อมโยงวิกิพีเดีย$2×$$\max(3, \frac{k+1}{2})$$\frac{x-1}{2}, \frac{x+1}{2}$

โปรแกรมเต็มรูปแบบที่รับอาร์กิวเมนต์ตัวเดียวและส่งคืนรายการของคู่ รหัสด้านบนไม่ได้เรียงลำดับผลลัพธ์สุดท้าย แต่ลิงก์ TIO ทำ$k$

Haskell , 118 107 ไบต์

-11 ไบต์ขอบคุณ nimi

q 1=[1]
q n=(:)<*>q.div n$[x|x<-[2..n],mod n x==0]!!0
f k|let r=all(<=k).q=[(n,n+1)|n<-[1..4^k],r n,r(n+1)]

ลองออนไลน์!

• q n คำนวณรายการปัจจัยหลักทั้งหมดของ n
• f kสร้างรายการของคู่ -smooth สำหรับ k ที่กำหนดโดยการกรองรายการของคู่ทั้งหมด$k$

เยลลี่ 24 ไบต์

³!²R‘Ė
ÇÆFḢ€€€’<³FȦ$€Tị¢

ลองออนไลน์!

การดำเนินการนี้ใช้เวลานานสำหรับ 7 แต่จะคำนวณได้เร็วกว่ามากหากคุณลบการยกกำลังสองของแฟคทอเรียล: ลองออนไลน์!

คำอธิบาย:

³!²R‘Ė                Generates a list like [[1,2],[2,3],...]
³!²                  Take the square of the factorial of the input
   R                 Range 1 through through the above number.
    ‘Ė               Decrement and enumerate, yielding desired list


ÇÆFḢ€€€’<³FȦ$€Tị¢  
Ç                    Get the list of pairs  
 ÆF                  Get the prime factors of each number
   Ḣ€€€              Get the base of each
       ’<³           Is each base less than or equal to the input?
          FȦ$€       Check that all bases of a pair fit the above.
              T      Get a list of the truthy indexes
               ị¢    Index into the original list of pairs
                     Implicit output

-3 ไบต์ขอบคุณ @JonathanAllen

Python 3 + sympy, 116 ไบต์

import sympy
def f(k):x=[i for i in range(2,4**k)if max(sympy.factorint(i))<=k];return[(y,y+1)for y in x if y+1in x]

ลองออนไลน์!

Python 3 + sympy, 111 ไบต์

from sympy import*
def f(k):
 b=1
 for i in range(2,4**k):
  x=max(factorint(i))<=k
  if x&b:print(i-1,i)
  b=x

ลองออนไลน์!

สองรูปแบบในของฉันคำตอบวุ้นแต่ในหลาม 3. kพวกเขาทั้งสองกำหนดฟังก์ชันที่รับอาร์กิวเมนต์ ครั้งแรกส่งกลับรายการของ tuples ของคู่ที่ตรงกับเกณฑ์ วินาทีพิมพ์ลงใน stdout

ภาษา Wolfram (Mathematica) , 241 ไบต์

ใช้สมการ Pell

(s=#;v@a_:=Max[#&@@@#&/@FactorInteger@a]<=s;Select[{#-1,#+1}/2&/@(t={};k=y=1;While[k<=Max[3,(s+1)/2],If[IntegerQ[x=Sqrt[1+2y^2#]],t~AppendTo~x;k++];y++];t),v@#&]&/@Join[{1},Select[Range[3,Times@@Prime@Range@PrimePi@s],SquareFreeQ@#&&v@#&]])&

ลองออนไลน์!

Pyth , 15 ไบต์

f!>#QsPMTCtBS^4

ลองออนไลน์!

ใช้การสังเกตนิคเคนเนดี4^kว่าจำนวนการส่งออกจะไม่มีขนาดใหญ่กว่า

05AB1E , 16 ไบต์

°LʒfàI>‹}Xšü‚ʒ¥`

ลองใช้ออนไลน์ (ไม่มีประสิทธิภาพอย่างยิ่งดังนั้นหมดเวลากับ .. ) ที่นี่เป็นทางเลือกที่เร็วขึ้นเล็กน้อยแม้ว่าจะยังค่อนข้างช้า ..$n\gt3$

คำอธิบาย:

°                # Take 10 to the power of the (implicit) input
 L               # Create a list in the range [1, 10^input]
  ʒ              # Filter this list by:
   fà            #  Get the maximum prime factor
     I>‹         #  And check if it's smaller than or equal to the input
        }Xš      # After the filter: prepend 1 again
           ü‚    # Create pairs
             ʒ   # And filter these pairs by:
              ¥` #  Where the forward difference / delta is 1

Stax , 14 ไบต์

Θ",²aÇu,á‼⌐çLB

เรียกใช้และแก้ไขข้อบกพร่อง

นี่ไม่ใช่โปรแกรมที่สั้นที่สุด แต่จะเริ่มต้นสร้างเอาต์พุตทันทีที่พบคู่ที่ตรงกัน มันจะยุติในที่สุดแต่ผลผลิตที่ผลิตตามที่พบ

Ruby , 89 + 8 = 97 ไบต์

ใช้-rprimeธง สำหรับแต่ละหมายเลขจาก 1 ถึงให้จับคู่กับหากทั้งคู่เป็น smooth ไม่เช่นนั้นก็จับคู่กับแล้วตัดทั้งหมดจากรายการ$i$$4^n$ n[i, i+1]$n$falsefalse

->n{g=->x{x.prime_division.all?{|b,_|b<=n}};(1..4**n).map{|i|g[i]&&g[i+1]&&[i,i+1]}-[!1]}

ลองออนไลน์!