กำหนด Gaussian จำนวนเต็มที่,เป็นจำนวนเต็มและเป็นหน่วยจินตภาพกลับมาที่ใกล้เคียงที่สุด (WRT กับระยะทางแบบยุคลิด) Eisenstein จำนวนเต็มที่ ,เป็นจำนวนเต็มและ 2$a+bi$$a$$b$$i = \exp\left(\pi i/2\right)$$k+l\omega$$k$$l$$\omega = \exp(2\pi i/3) = (-1+i\sqrt{3})/2$

พื้นหลัง

อาจเป็นที่ชัดเจนว่าจำนวนเต็มแบบเกาส์ทั้งหมดสามารถเขียนเป็นด้วย ,จำนวนเต็มได้ มันไม่ชัดเจนนัก แต่จริงอยู่: จำนวนเต็ม Eisenstein ใด ๆ สามารถเขียนเป็นด้วยจำนวนเต็ม ,พวกเขาทั้งสองรูปแบบโมดูลภายในจำนวนเชิงซ้อนและเป็นทั้งจำนวนเต็มที่ cyclotomic p-th สำหรับหรือตามลำดับ โปรดทราบว่า$a+bi$$a$$b$$k+l\omega$$k$$l$$\mathbb{Z}$$p=2$$3$$3+2i \neq 3+2\omega$

_{^{ที่มา: commons.wikimedia.org}}

รายละเอียด

• ในกรณีที่จำนวนเชิงซ้อนที่กำหนดมีจุดที่ใกล้เคียงที่สุดสองหรือสามจุดใด ๆ เหล่านั้นสามารถส่งคืนได้

• จำนวนที่ซับซ้อนจะได้รับในพิกัดฉาก (พื้นฐาน ) แต่กว่าที่อื่น ๆ ในรูปแบบที่สะดวกใด ๆ เช่นหรือหรือฯลฯ$(1,i)$(A,B)A+BiA+B*1j

• Eisenstein จำนวนเต็มจะต้องมีการกลับมาเป็นพิกัดของพื้นฐานแต่นอกเหนือจากที่อยู่ในรูปแบบที่สะดวกใด ๆ เช่นหรือหรือฯลฯ$(1,\omega)$(K,L)K+LωK+L*1ω

ตัวอย่าง

จำนวนเต็มจริงทั้งหมดควรถูกแมปกับจำนวนจริงอย่างชัดเจนอีกครั้ง

  6,14 -> 14,16
  7,16 -> 16,18
-18,-2 ->-19,-2
 -2, 2 -> -1, 2
 -1, 3 -> 1, 4

APL (Dyalog Extended) , 16 ไบต์^SBCS

⎕0+⌈3÷⍨1 2×⌊⎕×√3

ลองออนไลน์!

โปรแกรมเต็มรูปแบบที่ใช้yแล้วxจากอินพุตมาตรฐานและพิมพ์เวกเตอร์ 2 องค์ประกอบของจำนวนเต็ม

มันทำงานอย่างไร: คณิตศาสตร์

ก่อนอื่นให้สังเกตว่าจำนวนเต็มแบบเกาส์ใด ๆ จะวางบนเส้นทแยงมุมแนวตั้งของเพชรโดยมีจุด$Z$$(x,\sqrt3y)$$x,y$

      + W
     /|\
    / | \
   /  |  \
  /   + X \
 /    |    \
+-----|-----+V
 \    |    /
  \   + Y /
   \  |  /
    \ | /
     \|/
      + Z

$\overline{WZ}=\sqrt3$$\overline{WX}=\overline{XY}=\overline{YZ}=\overline{XV}=\overline{YV}=\frac{1}{\sqrt3}$

$$\text{Given a point }P \in \overline{WZ}, \\ \left\{ \begin{array}{c} P \in \overline{WX} \implies \text{the nearest point is } W \\ P \in \overline{XY} \implies \text{the nearest point is } V \\ P \in \overline{YZ} \implies \text{the nearest point is } Z \end{array} \right.$$

$P$$P$$h$$Z$$x$

$$h = \lfloor P.y \div \sqrt3 \rfloor$$

$Z$

$$Z.x_E = P.x+h, \quad Z.y_E = 2h$$

$\overline{WX},\overline{XY},\overline{YZ}$ $P$$w$

$$w = \lfloor P.y \times \sqrt3 \rfloor \% 3$$

$w = 0, 1, 2$$\overline{YZ},\overline{XY},\overline{WX}$$P$$Z$$V$$X$

$$P_E.x_E = P.x+h+\lceil \frac{w}2 \rceil, \quad P_E.y_E = 2h+w$$

$h$$w$

$$y' = \lfloor P.y \times \sqrt3 \rfloor, \quad P_E.x_E = P.x+\lceil y' \div 3 \rceil, \quad P_E.y_E = \lceil 2y' \div 3 \rceil$$

มันทำงานอย่างไร: รหัส

⎕0+⌈3÷⍨1 2×⌊⎕×√3
           ⌊⎕×√3  ⍝ Take the first input (P.y) and calculate y'
   ⌈3÷⍨1 2×       ⍝ Calculate [ceil(y'/3), ceil(2y'/3)]
⎕0+  ⍝ Take the second input(P.x) and calculate [P.x+ceil(y'/3), ceil(2y'/3)]

JavaScript (ES6), 112 ไบต์

(a,b,l=b/Math.pow(.75,.5),k=a+l/2,f=Math.floor,x=k-(k=f(k)),y=l-(l=f(l)),z=x+y>1)=>[k+(y+y+z>x+1),l+(x+x+z>y+1)]

ES7 สามารถเล็มได้ 9 ไบต์อย่างเห็นได้ชัด คำอธิบาย: kและในขั้นต้นเป็นตัวแทนของการแก้ปัญหาจุดลอยไปl k+ωl=a+ibอย่างไรก็ตามพิกัดที่จำเป็นต้องถูกปัดเศษเป็นจำนวนเต็มที่ใกล้ที่สุดด้วยระยะทางแบบยุคลิด ดังนั้นฉันจึงใช้พื้นkและlจากนั้นทำการทดสอบบางอย่างกับส่วนที่เป็นเศษส่วนเพื่อพิจารณาว่าการเพิ่มขึ้นของพวกมันจะส่งผลให้เกิดจุดที่ใกล้กว่าa+ibหรือไม่

MATL , 39 38 35 ไบต์

t|Ekt_w&:2Z^tl2jYP3/*Zeh*!sbw6#YkY)

รูปแบบอินพุตคือ6 + 14*1j(เว้นวรรคเป็นทางเลือก) 14 16รูปแบบการออกเป็น

ลองออนไลน์!

คำอธิบาย

รหัสแรกรับอินพุตเป็นจำนวนเชิงซ้อน จากนั้นจะสร้างกริดหกเหลี่ยมที่ใหญ่พอในระนาบเชิงซ้อนค้นหาจุดที่อยู่ใกล้กับอินพุตมากที่สุดและส่งกลับ "พิกัด" ของไอเซนสไตน์

t         % Take input implicitly. This is the Gauss number, say A. Duplicate
|Ek       % Absolute value times two, rounded down
t_        % Duplicate and negate
w&:       % Range. This is one axis of Eisenstein coordinates. This will generate
          % the hexagonal grid big enough
2Z^       % Cartesian power with exponent 2. This gives 2-col 2D array, say B
t         % Duplicate
l         % Push 1
2jYP3/*   % Push 2*j*pi/3
Ze        % Exponential
h         % Concatenate. Gives [1, exp(2*j*pi/3)]
*         % Multiply by B, with broadcast.
!s        % Sum of each row. This is the hexagonal grid as a flattened array, say C
bw        % Bubble up, swap. Stack contains now, bottom to top: B, A, C
6#Yk      % Index of number in C that is closest to A
Y)        % Use as row index into B. Implicitly display

Haskell , 128 ไบต์

i=fromIntegral;r=[floor,ceiling];a!k=(i a-k)**2;c(a,b)|l<-2*i b/sqrt 3,k<-i a+l/2=snd$minimum[(x k!k+y l!l,(x k,y l))|x<-r,y<-r]

ลองออนไลน์!

สำหรับอินพุต Gaussian integer (a, b) ให้แปลงเป็น Eisenstein พิกัดพื้นและเพดานทั้งสองส่วนประกอบเพื่อรับ 4 ตัวเลือกสำหรับจำนวนเต็ม Eisenstein ที่ใกล้เคียงที่สุดหาค่าที่มีระยะทางน้อยที่สุดและส่งกลับมา

Tcl , 124 116 106 106 ไบต์

{{a b f\ int(floor(2*$b/3**.5)) {l "[expr $f+(1-$f%2<($b-$f)*3**.5)]"}} {subst [expr $l+$a-($f+1)/2]\ $l}}

ลองออนไลน์!

นี่เป็นแรงบันดาลใจจากโพสต์สามปีจาก @Neil

$\omega$

บันทึก 10 ไบต์โดยใช้ "เครื่องหมายของผลิตภัณฑ์กากบาท vxd ของเส้นทแยงมุม d กับเวกเตอร์ v ที่มุมล่างขวาและ (a, b)" เป็นการทดสอบว่าจุดใดอยู่ในแนวทแยงมุม

ล้อเลียน 24 ไบต์

pe@3r@2././J2./x/.+CL)R_

ลองออนไลน์!

ค่อนข้างแน่ใจว่านี้จะสั้นกว่านี้ อินพุตอ่านเป็นa b

pe      # Parse input to two ints
@3r@2./ # sqrt(3)/2
./      # Divide b by sqrt(3)/2
J2./    # Duplicate and divide by 2
x/.+    # swap stack around and add to a
CL      # Collect the stack to a list
)R_     # Round to ints

05AB1E , 13 ไบต์

ท่าเรือคำตอบ APL Bubbler ของ

3t*ïx‚3/îR΂+

ลองออนไลน์!

อินพุตและเอาต์พุตมีทั้ง y ก่อน, x วินาที