ต้องการแหล่งที่เชื่อถือได้สำหรับสูตรสำหรับรูปร่างของขอบฟ้าของโลก

สิ่งที่ฉันขอ

ฉันเน้นว่าฉันไม่ได้ขอสูตร --- ฉันรู้สูตรและวิธีการหามา มีการทำซ้ำหลายเวอร์ชันใกล้ถึงจุดสิ้นสุดของโพสต์ ในความเป็นจริงคนอื่นได้ไม่เพียง แต่ได้รับมาเป็นอย่างดี แต่ยังนำเสนออย่างหนึ่งในการพิสูจน์ที่นี่

สิ่งที่ฉันต้องการคือแหล่งที่มีชื่อเสียงสำหรับสูตรเพื่อยกตัวอย่างเช่นเราสามารถใส่ไว้ใน Wikipedia ได้โดยไม่ละเมิดการรายงานงานวิจัยต้นฉบับ [ผู้คนลองใช้จริง ... แต่บทความที่เกี่ยวข้องมีผู้แก้ไขที่พิถีพิถันมากซึ่งลบหัวข้อนี้เนื่องจากเป็นการวิจัยดั้งเดิม ... และโชคไม่ดีที่ผู้แก้ไขนั้นถูกต้องดังนั้นจึงไม่มีความพยายามมากนัก เพื่อต่อสู้]

เหตุผลที่ฉันโพสต์ในการแลกเปลี่ยนกราฟิกคอมพิวเตอร์

เนื่องจากบางคนที่นี่อาจเป็นแบบอย่างที่โลกมองรูปแบบวงโคจรบางทีเขาหรือเธออาจรู้ว่าสูตรนี้ (หรือน่าจะเป็นลักษณะทั่วไปของมัน) ถูกตีพิมพ์ในหนังสือบางเล่มหรือวารสารหรือการประชุมทางวิชาการหรือบันทึกในชั้นเรียน ฯลฯ

ฉันได้ทำ "ครบกำหนด googling"

โปรดเข้าใจว่าฉันไม่ได้ขอให้ใครค้นหาคำตอบในนามของฉัน ฉันได้ทำจำนวนมากของ googling แล้วและกำลังเพียงโพสต์ที่นี่เป็นทางเลือกสุดท้าย ความหวังของฉัน (ลึกซึ้ง) คือใครบางคนที่นี่จะรู้การอ้างอิงทันทีจากค้างคาว; ถ้าไม่ ... ดีฉันหวังว่าอย่างน้อยคุณจะสนุกกับภาพสวยด้านล่าง (ถ้าฉันพูดอย่างนั้นกับตัวเองด้วยความตระหนักเต็มที่ฉันกำลังพูดคุยกับคนที่สนใจในคอมพิวเตอร์กราฟิกของทุกสิ่ง) ก่อนที่คุณจะย้ายไปที่ใหญ่ขึ้นและดีขึ้น สิ่ง

สองแหล่งที่มาใกล้

1. DK Lynch "มองเห็นความโค้งของโลกอย่างเห็นได้ชัด" Applied Optics vol. 47, H39 (2008) มันมีอยู่ได้อย่างอิสระที่นี่ น่าเสียดายที่แทนที่จะทำอย่างถูกวิธี (ซึ่งไม่ใช่เรื่องยาก) ผู้เขียนเลือกที่จะแฮ็กซึ่ง (ก) ฉันไม่เข้าใจอย่างสมบูรณ์และ (ข) ซึ่งไม่เห็นด้วยกับสิ่งที่ฉันรู้ว่าเป็น สูตรที่ถูกต้อง

2. R. Hartley และ A. Zisserman, เรขาคณิตหลายมุมมองใน Computer Vision, 2nd ed. (Cambridge University Press, Cambridge UK, 2004) ในวินาที 8.3 "การกระทำของกล้องโปรเจคชั่นในรูปสี่เหลี่ยม" เราอ่าน :

สมมติว่ารูปสี่เหลี่ยมเป็นทรงกลมจากนั้นกรวยของรังสีระหว่างศูนย์กลางกล้องและรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือวงกลมขวาคือตัวกำเนิดรูปร่างเป็นวงกลมโดยมีระนาบของวงกลมมุมฉากกับเส้นที่เชื่อมเข้ากับกล้องและศูนย์กลางทรงกลม สิ่งนี้สามารถเห็นได้จากสมมาตรการหมุนของรูปทรงเรขาคณิตเกี่ยวกับเส้นนี้ ภาพของทรงกลมนั้นได้มาจากการตัดกรวยกับระนาบภาพ เป็นที่ชัดเจนว่านี่เป็นส่วนรูปกรวยคลาสสิกดังนั้นรูปร่างที่ชัดเจนของทรงกลมจึงเป็นรูปกรวย

ตามหลักการแล้วสิ่งนี้จะเป็นสิ่งที่ต้องการถ้าเพียงแค่มีข้อมูลเพิ่มอีกนิด --- อย่างน้อยก็มีการแสดงออกของความเยื้องศูนย์กลางของรูปกรวยซึ่งเป็นฟังก์ชันของระยะทางถึงทรงกลมและรัศมีทรงกลม (ในกรณี เมื่อระนาบภาพตั้งฉากกับgeneratrixของกรวยดังเช่นกรณีที่กล้องรูเข็มพุ่งตรงไปที่จุดบนขอบฟ้า)

รายละเอียดเกี่ยวกับสูตรที่ฉันต้องการการอ้างอิงทางวิชาการ

เราถือว่าโลกเป็นทรงกลมอย่างสมบูรณ์แบบเรียบไม่มีที่ติบรรยากาศ เราชี้กล้องรูเข็มในอุดมคติที่ขอบฟ้าและใช้การฉายภาพที่ตรงไปตรงมาในการคำนวณรูปร่างของภาพของขอบฟ้าที่ด้านหลังของกล้อง (เช่นรูปร่างที่จะมีในภาพยนตร์ --- "เครื่องบินฟิล์ม") . นี่คือกราฟิก (ทำในAsymptoteสำหรับผู้ที่สนใจ) ที่ควรทำให้ชัดเจนยิ่งขึ้น:

ดังที่เราเห็นด้านบนรูปขอบฟ้าเป็นส่วนหนึ่งของส่วนรูปกรวย ให้เป็นความผิดปกติของรูปกรวย; รากศัพท์ผมกล่าวข้างต้นแทนที่จะใช้พารามิเตอร์ซึ่งเป็นเพียงเล็ก ๆ น้อย ๆ ที่ตรงกันข้าม: kความผิดปกตินั้นได้รับเมื่อ , โดยที่คืออัตราส่วนของระดับความสูงของรูเข็มเหนือพื้นผิวโลกและโลก รัศมีR[แทนที่จะใช้ซึ่งเป็นอัตราส่วนของระดับความสูงต่ออาจเป็นประโยชน์ในการใช้k k = 1 / ε ε = 1 / $\varepsilon$$k$$k=1/\varepsilon$ ε=H/Rชั่วโมงRεRηH+Rη=(R+H)/R=1+εηε=1/$\varepsilon=1/\sqrt{\epsilon(2+\epsilon)}$$\epsilon=h/R$$h$$R$$\epsilon$$R$$\eta$อัตราส่วนของระยะรูเข็มของไปยังศูนย์ของโลก , , รัศมีของโลก: \ในแง่ของเรามี ]$h+R$$\eta=(R+h)/R=1+\epsilon$$\eta$$\varepsilon=1/\sqrt{\eta^{2}-1}$

ระยะทางจากรูเข็ม (จุดในภาพกราฟิก) ไปยังระนาบฟิล์มจะถูกนำมาเป็นความยาวหนึ่งหน่วย$P$

แกนในระนาบภาพยนตร์เรื่องนี้ได้รับการแต่งตั้งให้ขนานกับเส้นที่เชื่อมศูนย์กลางของโลก (ไม่ปรากฏในภาพ) และจุดบนเส้นขอบฟ้า (มีป้ายกำกับในภาพ) ที่กล้องจะได้รับการฝึกฝน ตัวเลือกนี้ถูกกำหนดไว้อย่างดีเนื่องจาก line ต้องขนานกับระนาบฟิล์ม เหตุผลสำหรับเรื่องนี้คือทั้งและระนาบฟิล์มตั้งฉากกับแนวสายตา (เส้นเชื่อมระหว่างและ ) และนั่นก็เป็นเพราะ 1. เส้นนั้นสัมผัสกับโลกที่ซึ่งตั้งฉากกับและ 2ซีวีซีวีซีวีพีวีพีวีพีV V C V P V V x Y $y$$C$$V$$CV$$CV$$PV$$P$$V$$PV$$V$$CV$$PV$ตั้งฉากกับระนาบฟิล์มเพราะกล้องจะได้รับการฝึกฝนที่Vแกนเป็นหลักสูตรที่ตั้งฉากกับแกนและโกหกในระนาบฟิล์มและต้นกำเนิดจะถูกเลือกให้เป็นประมาณการจุดV$V$$x$$y$$V$

เมื่อคำจำกัดความเหล่านี้หมดไปเราก็พร้อมที่จะจดบันทึกส่วนที่เป็นรูปกรวยซึ่งเป็นภาพของขอบฟ้าโลก สิ่งนี้สามารถเขียนได้หลายวิธีซึ่งบางอันเขียนไว้ด้านล่าง สิ่งที่ฉันต้องการคือการอ้างอิงที่มีชื่อเสียงสำหรับสูตรใดสูตรหนึ่งเหล่านี้หรือสำหรับสูตรที่เทียบเท่า

1. สูตรที่ชัดเจนที่ให้ไว้ในที่มาดังกล่าวข้างต้น

การสืบทอดที่ฉันกล่าวถึงข้างต้นให้สิ่งนี้เป็นเวอร์ชันสุดท้าย:

$[\,y\,(1/\varepsilon-\varepsilon)-1\,]^{2}+x^{2}(1/\varepsilon^{2}-1)=1.$

เรามานำเสนอสิ่งนี้ในอีกสองวิธี

2. การแสดงออกในแง่ของสมการบัญญัติของส่วนกรวย

ในกรณีนี้สมการจะใช้แบบฟอร์มต่อไปนี้ :

$x^2=2\mu y-(1-\varepsilon^{2}) y^2$ ,

ซึ่งในกรณีของเรา\$\mu=\varepsilon$

ข้อได้เปรียบของรูปแบบที่เป็นที่ยอมรับก็คือว่ามันสามารถจัดการกับ conics ทั้งหมดที่เท่าเทียมรวมถึงโดยเฉพาะกรณีของพาราโบลาที่ 1 ใน `` มาตรฐาน '' สูตร (ดูด้านล่าง) กรณีของพาราโบลาเท่านั้นที่สามารถจัดการกับการ จำกัด1ε → $\varepsilon=1$$\varepsilon\to 1$

รายละเอียด: สูตรข้างต้นถือในกรณีของกรวยวงกลมด้านขวาซึ่งด้านข้างรองรับมุมถูกตัดกัน - ที่ระยะห่างจากจุดสุดยอดของกรวย --- โดยเครื่องบินที่มุมหนึ่งสัมพันธ์กับแกนกรวย (หากต้องการความกระจ่าง:คือระยะทางจากจุดสุดยอดของกรวยไปยังจุดบนวงรีที่ใกล้กับจุดสุดยอดของกรวย; จุดนั้นจะอยู่ที่ปลายด้านหนึ่งของแกนหลักของวงรีเสมอ) ในกรณีทั่วไปนี้เล็ก ๆ น้อย ๆ จะได้รับเป็นขณะที่|)d ω d ε = cos ω / cos θ μ = d ( ε - cos | ω + θ |$2\theta$$d$$\omega$$d$$\varepsilon=\cos \omega/\cos \theta$$\mu=d(\varepsilon-\cos|\omega+\theta|)$

ในแง่ของกราฟิกด้านบน:คือระยะทางจากถึงระนาบฟิล์ม (เช่นระยะทางตามเส้นสีแดงประ); คือมุมระหว่างเส้นสีแดงประกับแกนของกรวย (ซึ่งเป็นเส้นเชื่อมต่อกับจุดศูนย์กลางของโลก --- ส่วนขยายของเส้นสีดำที่มีข้อความในกราฟิก); angleคือมุมระหว่างแกนของกรวยกับระนาบฟิล์มP θ P h $d$$P$$\theta$$P$$h$$\omega$

ระบุว่าระนาบฟิล์มตั้งฉากกับเส้นสีแดงประเรามี ; นอกจากนี้เรายังใช้จากนั้นให้ด้วยกันd = 1 μ = $\omega+\theta=\pi/2$$d=1$$\mu=\varepsilon$

3. การแสดงออกในรูปของ `` รูปแบบมาตรฐาน 'ของส่วนรูปกรวย

แบบฟอร์มนี้อาจเป็นที่คุ้นเคยที่สุด:

$\frac{(x-x_{0})^{2}}{p^2}+\frac{(y-y_{0})^{2}}{q^2}=1$ 1

มันเกี่ยวข้องกับพารามิเตอร์ที่เข้าสู่สมการแบบบัญญัติ (ดู 2, ด้านบน) ดังต่อไปนี้:

$x_{0}=0$ ;

$y_{0}=q=\frac{\mu}{1-\varepsilon^{2}}$ (ซึ่งคือในกรณีของเรา - โปรดทราบว่าตามมาจากความจริงที่ว่าวงรีผ่านจุดกำเนิด); และ$\frac{\varepsilon}{1-\varepsilon^{2}}$$y_{0}=q$

$p=q\smash[b]{\sqrt{|1-\varepsilon^{2}|}}=\frac{\mu}{\smash[b]{\sqrt{|1-\varepsilon^{2}|}}}$ (ซึ่งคือในกรณีของเรา)$\frac{\varepsilon}{\smash[b]{\sqrt{|1-\varepsilon^{2}|}}}$

เห็นได้ชัดว่าคดีพาราโบลาจะสร้างปัญหา ดังกล่าวข้างต้นกรณีที่จะต้องได้รับการจัดการผ่านการขีด จำกัด1$\varepsilon=1$$\varepsilon\to 1$

4. การแสดงออกในแง่ของเส้นโค้งพารามิเตอร์

$x=\frac{(\epsilon+1) \cos (\alpha )}{\sin (\alpha )+\epsilon(\epsilon+2)}$

$y=\frac{\sqrt{\epsilon (\epsilon+2)} (\sin (\alpha )-1)}{\sin (\alpha )+\epsilon (\epsilon+2)},$

โดยที่คือลองจิจูดของจุดบนขอบฟ้ากำหนดไว้เพื่อให้ตรงกับจุดในภาพด้านบน (เช่นไปยังจุดที่กล้องรูเข็มได้รับการฝึกฝน)$\alpha$$\alpha=\pi/2$$V$

สำหรับวิธีหนึ่งอาจใช้สูตรเหล่านี้ให้ดูนี้

สรุปแล้ว...

มีใครเคยเห็นสูตรด้านบนในแหล่งข้อมูลที่มีชื่อเสียงบ้างในบริบทของการสร้างแบบจำลองว่าโลกมองจากอวกาศอย่างไร ถ้าเป็นเช่นนั้นคุณช่วยให้ฉันรู้ว่าแหล่งที่มานี้คืออะไร?

ขอบคุณ!

เส้นโค้งที่คุณค้นหานั้นเป็นเพียงจุดตัดของระนาบ (ด้านหลังของกล้อง) และกรวยวงกลมด้านขวา นี่ไม่ใช่คำถามเกี่ยวกับโลกหรือมุมมองของดาวเคราะห์จากอวกาศ มันเป็นเรขาคณิตพิกัดสามมิติที่เรียบง่ายธรรมดา หากต้องการค้นหาข้อมูลอ้างอิงฉันขอแนะนำให้ค้นหา "จุดตัดของระนาบและรูปกรวย" หรือ "ส่วนระนาบของรูปกรวย" หรือ "ส่วนระนาบของรูปสี่เหลี่ยม" เช่นนี้

ฉันคาดหวังว่าคุณสามารถค้นหาสูตรที่เกี่ยวข้อง (และ derivations) ในข้อความมาตรฐานใด ๆ ในเรขาคณิตพิกัด 3 มิติ สถานที่ที่น่าจะเป็น:

• ปลาแซลมอน - บทความเกี่ยวกับเรขาคณิตวิเคราะห์ของสามมิติ
• Somerville - เรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ของสามมิติ
• สไนเดอร์และศรีสม - เรขาคณิตวิเคราะห์ของอวกาศ

นี่เป็นหนังสือเก่า ๆ ที่สวยและคุณอาจมีปัญหาในการค้นหา

คุณอาจลองถาม Math.StackExchange

การเรียกว่า "การวิจัยดั้งเดิม" ที่มานั้นดูไร้สาระสำหรับฉัน มันเป็นปัญหาการบ้านระดับมัธยมปลายในเรขาคณิตวิเคราะห์