การแปลงฟูริเยร์ 2D ของรูปภาพทำงานอย่างไร

ฉันเข้าใจว่าการแปลงฟูริเยร์ 1D แยกสัญญาณเป็นความถี่ขององค์ประกอบ แต่ฉันมีปัญหาในการเข้าใจว่าการแปลงฟูริเยร์ 2D ส่งผลต่อภาพ 2D อย่างไร

จากคำถามอื่น , จอห์น Calsbeekเชื่อมโยงกับกระดาษที่น่าสนใจเกี่ยวกับการวัดคุณภาพของฟังก์ชั่นเสียง สิ่งนี้แสดงให้เห็นถึงฟังก์ชั่นเสียงรบกวนที่หลากหลายและการแปลงฟูริเยร์ของแต่ละคน

นี่เป็นการแปลงข้อมูลพิกเซลแบบไม่ต่อเนื่องหรือการแปลงอย่างต่อเนื่องของฟังก์ชั่นการแก้ไขอย่างต่อเนื่องซึ่งใช้ในการสร้างเสียงรบกวนที่จุดใด ๆ หรือไม่?

รูปร่างวงแหวนเป็นรูปวงแหวนที่มีขนาด 1D Fourier แปลงเส้นผ่านศูนย์กลางของภาพในทุกมุมที่เป็นไปได้หรือไม่? หรือการแปลงสำหรับแต่ละมุมที่เป็นไปได้นั้นวัดทั่วพื้นที่ 2D ทั้งหมดแทนที่จะเป็นไปตามเส้นตรงผ่านจุดศูนย์กลาง ฉันพยายามที่จะเข้าใจอย่างถ่องแท้ว่าการเปลี่ยนแปลงใดในภาพอินพุทนั้นสอดคล้องกับการเปลี่ยนแปลงของการแปลงฟูริเยร์

การแปลงฟูริเยร์ 2D ดำเนินการโดยการทำการแปลง 1D ฟูริเยร์ในแต่ละแถวของภาพจากนั้นรับผลลัพธ์และทำการแปลงฟูริเยร์ 1D ในแต่ละคอลัมน์ หรือในทางกลับกัน; มันไม่สำคัญ

เช่นเดียวกับการแปลงฟูริเยร์ 1D ช่วยให้คุณสามารถสลายฟังก์ชั่นเป็นผลรวมของคลื่นไซน์ (1D) ที่ความถี่ต่าง ๆ การแปลงฟูริเยร์ 2D จะสลายฟังก์ชั่นเป็นผลรวมของคลื่นไซน์ 2D คลื่นเหล่านี้สามารถมีความถี่แตกต่างกันตามแกน x และ y พวกเขามีรูปแบบทั่วไป:

โดยที่และเป็นความถี่ตามแกนและค่าทั้งสองนี้ก่อให้เกิดเวกเตอร์ที่เรียกว่า wave-vector ในโดเมนเชิงพื้นที่คลื่นเน้นตามเวกเตอร์ที่มีความถี่ตามแกนของ2}$k_x$$k_y$$x$$y$$(k_x, k_y)$$\sqrt{k_x^2 + k_y^2}$

เช่นเดียวกับการแปลงฟูริเยร์ 1D มีทั้งรุ่นแยกและต่อเนื่อง ผลมาจากการที่ไม่ต่อเนื่อง 2D ฟูเรียร์เป็นเมทริกซ์ของช่วงกว้างของคลื่นที่ซับซ้อนสำหรับชุดของสิ้นเชิงค่า นี่คือภาพปกติ (เช่นในกระดาษที่คุณเชื่อมโยง) เป็นภาพที่พิกเซลที่พิกัดแสดงถึงความกว้างของคลื่น - เวกเตอร์นั้น$(k_x, k_y)$$(k_x, k_y)$

ดังนั้นรูปร่างวงแหวนในการแปลงฟูริเยร์แบบ 2 มิติบ่งชี้ว่าค่าคงที่การหมุนของการแจกแจงความถี่ (เช่นแอมพลิจูดของคลื่นในทุกทิศทางมากเท่ากัน) โดยมีขอบเขตที่แคบ (จากภายในวงแหวนไปด้านนอก) กล่าวอีกนัยหนึ่งคือกระดาษใช้การแปลงฟูริเยร์เพื่อแสดงให้เห็นว่าเสียงของพวกมันค่อนข้างสมเหตุสมผลและมีวง จำกัด