ความซับซ้อนของปัญหา NP-hard หรือ -complete ที่เปลี่ยนไปอย่างมากเมื่ออินพุตถูกเข้ารหัสแบบ unary หรือไม่?

ปัญหาของปัญหา NP-hard หรือ NP-complete อย่างรุนแรง (ดังเช่นที่กำหนดไว้ที่นี่ ) จะเปลี่ยนไปเมื่ออินพุทของมันไม่เหมือนกันแทนที่จะเข้ารหัสแบบไบนารี่หรือไม่?

มันแตกต่างกันอย่างไรหากอินพุตของปัญหา NP-hard ที่รุนแรงถูกเข้ารหัสแบบ unary ฉันหมายถึงถ้าฉันใช้ตัวอย่างปัญหาเครื่องหลังที่ไม่สมบูรณ์ของ NP อย่างอ่อนแอมันเป็น NP-complete เมื่อเข้ารหัสแบบไบนารี แต่สามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนามโดยโปรแกรมแบบไดนามิกเมื่อเข้ารหัสแบบ unary บางทีมันอาจมีความเกี่ยวข้องกับความแข็งของระดับพหุนามเวลาแบบพหุนามที่สูงขึ้น?

แนวคิดเกี่ยวกับการ ... อย่างหนักนั้นมีไว้สำหรับคลาสความซับซ้อนอื่น ๆ เช่นคลาสที่สูงขึ้นของลำดับเวลาพหุนามหรือไม่

ก่อนหน้านี้ฉันเคยถามคำถามนี้ที่ stackoverflow.comแต่มันก็ชี้ให้เห็นว่ามันเหมาะสมกว่าที่นี่

ขนาดปัญหาของการเข้ารหัสใน unary คือขนาดและถ้าไบนารี หากเวลาที่ใช้คือนี่คือในกรณีแรกและในกรณีที่สอง อัลกอริทึมที่เป็นพหุนามในกรณีแรกอาจเป็นเลขชี้กำลังสำหรับวินาที การเข้ารหัสของปัญหาสามารถเปลี่ยนความซับซ้อนของอัลกอริทึมอย่างรุนแรงN บันทึกN F ( N ) F ( ขนาด) F ( 2 ขนาด$N$$N$$\log N$$F(N)$$F(\text{size})$$F(2^{\text{size}})$

เลขที่

ถ้าคุณเปลี่ยนการเข้ารหัสของการป้อนข้อมูลที่คุณได้เปลี่ยนคำนิยามอย่างเป็นทางการของปัญหาซึ่งหมายความว่ามันเป็นปัญหาที่แตกต่างกัน ความซับซ้อนของปัญหาดั้งเดิมไม่เปลี่ยนแปลงเนื่องจากเหตุผลเดียวกับที่การชี้ไปที่แสงที่แตกต่างในท้องฟ้าไม่ได้เปลี่ยนมวลของดวงจันทร์

คำตอบสั้น ๆ ว่าถ้าใส่เป็นเข้ารหัสเอกแล้วมันเป็นอีกต่อไป มันเป็นชี้แจงอีกต่อไป ตอนนี้อัลกอริทึมที่ทำงานในเวลาพหุนามในขนาดของอินพุตมี "เวลาเพียงพอ" ในการแก้ปัญหาเพียงเพราะอินพุตนั้นยาวกว่าปัญหาดั้งเดิมแทนอย่างมาก

เมื่อเห็นปัญหาการกำหนดที่ผ่านมาในคำตอบของ JeffE คำตอบคือใช่

พิจารณาปัญหาเครื่องหลัง มันมีอัลกอริธึมเทียม - พหุนามนั่นคือหนึ่งที่มีรันไทม์ล้อมรอบด้วยพหุนามในจำนวนที่เข้ารหัสในการป้อนข้อมูล เนื่องจากค่าการเข้ารหัสแบบยูนารีสอดคล้องกับความยาวนี่เป็นอัลกอริธึมเวลาพหุนามสำหรับเวอร์ชั่นเอกนารี

ในความเป็นจริงทุกปัญหาที่ไม่สมบูรณ์ของ NP ที่อ่อนแอจะอยู่ในหมวดหมู่นี้