ภาษาที่เกี่ยวข้องกับจำนวนอตรรกยะไม่ใช่ CFL

ฉันทำงานหนักในตำราเรียนและฉันก็ไม่สามารถหาวิธีดำเนินการได้ นี่คือปัญหา สมมติว่าเรามีภาษา$L = \{a^ib^j: i \leq j \gamma, i\geq 0, j\geq 1\}$โดยที่$\gamma$เป็นจำนวนอตรรกยะ ฉันจะพิสูจน์ได้อย่างไรว่า$L$ไม่ใช่ภาษาที่ไม่มีบริบท

ในกรณีที่$\gamma$มีเหตุผลมันค่อนข้างง่ายที่จะสร้างไวยากรณ์ที่ยอมรับภาษา แต่เนื่องจาก$\gamma$ไม่มีเหตุผลฉันจึงไม่รู้จะทำยังไง ดูเหมือนว่าบทแทรกใด ๆ จะทำงานที่นี่ บางทีทฤษฎีบทของ Parikh อาจจะทำงานที่นี่เนื่องจากดูเหมือนว่าสัญชาตญาณดูเหมือนว่าภาษานี้จะไม่มีภาพ Parikh semilinear ประกอบ

แบบฝึกหัดนี้มาจาก "หลักสูตรที่สองในภาษาทางการและทฤษฎีออโตมาตา" โดย Jeffrey Shallit แบบฝึกหัด 25 บทที่ 4

ฉันจะขอบคุณความช่วยเหลือใด ๆ หรือนัดในทิศทางที่ถูกต้อง ขอบคุณ!

ตามทฤษฎีบท Parikh ของถ้า$L$เป็นบริบทฟรีแล้วชุด$M = \{(a,b) : a \leq \gamma b \}$จะ semilinear, ที่อยู่, มันจะเป็นสหภาพของขอบเขตหลายชุดของแบบฟอร์ม$S = u_0 + \mathbb{N} u_1 + \cdots + \mathbb{N} u_\ell$สำหรับบาง$u_i = (a_i,b_i)$ )

เห็นได้ชัดว่า$u_0 \in M$และนอกจากนี้$u_i \in M$สำหรับแต่ละ$i > 0$ตั้งแต่มิฉะนั้น$u_0 + N u_i \notin M$สำหรับขนาดใหญ่พอที่N$N$ดังนั้น$g(S) := \max(a_0/b_0,\ldots,a_\ell/b_\ell) < \gamma$ (ตั้งแต่$g(S)$มีเหตุผล) ซึ่งหมายความว่าทุกคน$(a,b) \in S$น่าพอใจ/ข≤ กรัม( S )$a/b \leq g(S)$

ตอนนี้คิดว่า$M$เป็นสหภาพของ$S^{(1)},\ldots,S^{(m)}$และกำหนด$g = \max(g(S^{(1)}),\ldots,g(S^{(m)})) < \gamma$ γ ดังกล่าวข้างต้นแสดงให้เห็นว่าทุกคน$(a,b)$ในสหภาพตอบสนอง$a/b \leq g < \gamma$และเราได้รับความขัดแย้งตั้งแต่$\sup \{ a/b : (a,b) \in M \} = \gamma$ γ

---

เมื่อ$\gamma$มีเหตุผลการพิสูจน์ล้มเหลวและแน่นอน$M$คือ semilinear:

$$\{ (a,b) : a \leq \tfrac{s}{t} b \} = \bigcup_{a=0}^{s-1} (a,\lceil \tfrac{t}{s} a \rceil) + \mathbb{N} (s,t) + \mathbb{N} (0,1).$$ อันที่จริงโดยการก่อสร้างทั้งคู่ใด ๆ$(a,b)$ในความพึงพอใจด้านขวามือ≤s$a \leq \tfrac{s}{t} b$(ตั้งแต่$s = \tfrac{s}{t} t$) ตรงกันข้ามสมมติว่า≤s$a \leq \frac{s}{t} b$. ในขณะที่≥sและข≥เสื้อลบ(s,T)จาก(,B) ในที่สุด<s(ตั้งแต่ข<Tหมายถึง≤s$a \geq s$$b \geq t$$(s,t)$$(a,b)$$a < s$$b < t$$a \leq \frac{s}{t}b < s$) ตั้งแต่≤s$a \leq \frac{s}{t} b$จำเป็น$b \geq \lceil \tfrac{t}{s} a \rceil$ ⌉ ดังนั้นเราสามารถลบ$(0,1)$จาก$(a,b)$จนกว่าเราจะไปถึง$(a,\lceil \tfrac{t}{s} a \rceil)$)

ทุกตัวแปรยกเว้น$\gamma$ในคำตอบนี้หมายถึงจำนวนเต็มบวก มันเป็นที่รู้จักกันดีว่าด้วยความไม่สมเหตุสมผล$\gamma>0$ , มีลำดับของจำนวนตรรกยะ$\dfrac{a_1}{b_1}\lt\dfrac{a_2}{b_2}\lt\dfrac{a_3}{b_3}\lt\cdots \lt\gamma$ดังกล่าวว่าฉัน$\dfrac{a_i}{b_i}$เป็นสิ่งที่ใกล้จะ$\gamma$กว่าจำนวนที่มีเหตุผลอื่น ๆ ที่มีขนาดเล็กกว่า$\gamma$มีส่วนน้อยกว่า$b_i$ฉัน

---

ปรากฎว่าบทแทรกทำหน้าที่สูบ!

เพื่อความขัดแย้งให้$p$เป็นความยาวของการสูบ$L$เป็นภาษาที่ไม่มีบริบท Let $s=a^{a_p}b^{b_p}$คำว่าเป็น$L$แต่ "แทบจะไม่" สังเกตว่า$|s|>b_p\ge p$พี พิจารณา $s=uvwxy$โดยที่$|vx|> 1$และ$s_n=uv^nwx^ny\in L$สำหรับทุก$n\ge0$ 0

ให้$t_a$และ$t_b$เป็นจำนวน$a$และ$b$ s ใน$vx$ตามลำดับ

• ถ้า$t_b=0$หรือ$\dfrac{t_a}{t_b}\gt\gamma$สำหรับ$n$มากพอ, อัตราส่วนของจำนวนที่s กับที่ของขในsnจะมีขนาดใหญ่กว่าγคือsn∉L$a$$b$$s_n$$\gamma$$s_n\not\in L$
• มิฉะนั้น$\dfrac{t_a}{t_b}\lt\gamma$. Since $t_b<b_p$, $\dfrac{t_a}{t_b}\lt \dfrac{a_p}{b_p}$. Hence, $\dfrac{a_p-t_a}{b_p-t_b}>\dfrac{a_p}{b_p}$ Since $b_p-t_b<b_p$, $\dfrac{a_p-t_a}{b_p-t_b}>\gamma,$ which says that $s_0\not\in L$.

The above contradiction shows that $L$ cannot be context-free.

---

Here are two related easier exercises.

Exercise 1. Show that $L_\gamma=\{a^{\lfloor i \gamma\rfloor}: i\in\Bbb N\}$ is not context-free where $\gamma$ is an irrational number.

Exercise 2. Show that $L_\gamma=\{a^ib^j: i \leq j \gamma, i \ge0, j\ge 0\}$ is context-free where $\gamma$ is a rational number.