ผลรวมย่อย: ลดพิเศษกรณีทั่วไป

วิกิพีเดียระบุปัญหาผลรวมเซตย่อยตามการค้นหาเซ็ตย่อยของชุดเลขจำนวนเต็มที่กำหนดซึ่งผลรวมเป็นศูนย์ นอกจากนี้มันกล่าวว่ามันจะเทียบเท่ากับการหาชุดย่อยที่มีผลรวมสำหรับการใด ๆ ให้s$s$$s$

ดังนั้นฉันเชื่อว่ามันเท่ากันต้องลดทั้งสองข้าง หนึ่งจากไปที่ศูนย์เป็นเล็กน้อยโดยการตั้งค่า0 แต่ฉันไม่มีโชคในการหาการลดลงจากศูนย์ถึงเช่นได้รับชุดจำนวนเต็มสร้างชุดจำนวนเต็มที่ประกอบด้วยชุดย่อยที่มีผลรวม (สำหรับใด ๆ) ถ้าหากมีเซตย่อยของด้วยเท่านั้น ผลรวมศูนย์$s$$s = 0$$s$$A$$B$$s$$s$$A$

คุณช่วยชี้ให้ฉันได้ไหม

จริง ๆ แล้วคุณมีการลดจากพิเศษเป็นทั่วไป โดยการตั้งค่าคุณจะใช้อัลกอริทึมทั่วไปเพื่อแก้ปัญหาพิเศษ$s=0$

สำหรับรอบทางอื่น ๆ (เช่นการลดลงจากทั่วไปเป็นพิเศษ):

สมมติว่าคุณจะได้รับชุดและจำนวนและคุณจะต้องตรวจสอบว่ามีส่วนย่อยบางส่วนของซึ่งจำนวนเงินที่จะKK S $S = \{x_1, \dots, x_n\}$$K$$S$$K$

ตอนนี้คุณต้องการที่จะแก้ปัญหานี้ได้รับการอัลกอริทึมสำหรับกรณีที่คุณสามารถตรวจสอบว่าเงินก้อนเซตบางอย่างเพื่อ0$0$

ตอนนี้ถ้าเรามีการลดง่าย:\}S ′ = { x 1 , x 2 , … , x n , - K $x_i \gt 0$$S' = \{x_1, x_2, \dots, x_n, -K\}$

$S'$มีส่วนหนึ่งของจำนวนเงินที่ IFFมีส่วนหนึ่งของจำนวนเงินที่KS $0$$S$$K$

ปัญหาเกิดขึ้นเมื่อเรามีสำหรับบางตัว$x_i \le 0$$i$

เราสามารถสรุปได้ว่า (เพราะอะไร)$K \gt 0$

สมมติว่าผลรวมของบวกคือและลบเป็นN P x ฉัน$x_i$$P$$x_i$$N$

ตอนนี้สร้างชุดใหม่นั้น$S' = \{y_1, y_2 \dots, y_n\}$

M = P + | N | + $y_i = x_i + M$โดยที่K$M = P + |N| + K$

แต่ละ0$y_i \gt 0$

ตอนนี้รันอัลกอริทึม zero-subset-sum บนเซต

$S' \cup \{-(K+M)\}$

$S' \cup \{-(K+2M)\}$

$S' \cup \{-(K+3M)\}$

$\dots$

$S' \cup \{-(K+nM)\}$

มันง่ายที่จะแสดงว่าถ้ามีส่วนย่อยของผลรวมดังนั้นอย่างน้อยหนึ่งชุดข้างต้นมีส่วนย่อยของผลรวมเป็นศูนย์$S$$K$

ฉันจะออกหลักฐานของทิศทางอื่นให้คุณ

คำตอบของ Aryabhataสามารถแก้ไขได้โดยการใช้ความจริงที่ว่าเราสามารถคูณตัวเลขทั้งหมดด้วย$c$ขนาดใหญ่แล้วเพิ่มสิ่งเล็ก ๆ ลงไปในแต่ละอันเพื่อทำหน้าที่เหมือน "แท็กการแสดงตน" จากนั้นใส่ตัวเลขพิเศษบางอย่างที่จะอนุญาต เราจะได้ศูนย์ถ้าเราไปถึง$cK$โดยไม่มีพวกมัน โดยเฉพาะเราจะใช้$c=2(n+1)$และ 1 เป็นแท็กการแสดงตน

เนื่องจากอินสแตนซ์$(S = \{x_1, \dots, x_n\}, K)$ของปัญหาทั่วไปที่มีค่าเป้าหมาย$K$เราจะสร้างอินสแตนซ์ของปัญหาเฉพาะ (ด้วยค่าเป้าหมาย 0) ที่มี:

• $Y = \{y_1, \dots, y_n\}$ที่$y_i = 2(n+1)x_i + 1$ 1
• จำนวน$z = -2K(n+1)-n$ n
• $n-1$สำเนาของหมายเลข 1 เพื่อเรียกว่าหมายเลข "pull-up"

ฉันจะถือว่า Aryabhatta ทำเช่นนั้นว่า$K$เป็นบวก (เนื่องจากเป็นเวลา 6 ปีฉันจะตอบแบบฝึกหัดของเขาสำหรับผู้อ่าน: เหตุผลที่เราสามารถทำได้คือถ้าเราสลับเครื่องหมายของตัวเลขทั้งหมดในตัวอย่างของปัญหาทั่วไปรวมถึง$K$แล้วเราปิดท้ายด้วย ใหม่ปัญหาที่เท่าเทียมกันซึ่งหมายความว่าอัลกอริทึมในการแก้ปัญหาอินสแตนซ์$K$เพียงพอสำหรับการแก้ปัญหาใด ๆ - เพื่อแก้ปัญหาด้วยค่าลบ$K$เราสามารถทำการลงชื่อเข้าใช้นี้เรียกใช้อัลกอริธึมนั้น คำตอบสำหรับคำถามเดิมและแน่นอนถ้า$K=0$ จากนั้นเราไม่จำเป็นต้องทำการเปลี่ยนแปลงใด ๆ ของเคสทั่วไปเป็นเคสพิเศษเลย!)

ก่อนอื่นเราจะแสดงให้เห็นว่าคำตอบของ YES สำหรับปัญหาทั่วไปนั้นหมายถึงคำตอบของ YES สำหรับตัวอย่างพิเศษที่สร้างขึ้นของปัญหาพิเศษ ที่นี่เราสามารถสรุปได้ว่าวิธีการแก้ปัญหาบาง$\{x_{j_1}, \dots, x_{j_m}\}$เพื่อปัญหาทั่วไปที่มีอยู่นั่นคือคอลเลกชันนี้ว่างของ$m$ผลรวมหมายเลขK$K$ดังนั้นถ้าเราใช้เวลาที่สอดคล้องกัน$y$ -values $\{y_{j_1}, \dots, y_{j_m}\}$ในการแก้ปัญหาของเราที่จะสร้างอินสแตนซ์ที่พวกเขาจะรวมไป$2K(n+1)+m$ม. แล้วเราสามารถเลือกที่จะรวม$-2K(n+1)-n$ในการแก้ปัญหาที่ออกจากเราด้วยผลรวมของ$m-n$ n ตั้งแต่$1 \le m \le n$สิ่งนี้อยู่ในช่วง$[-n+1, 0]$ซึ่งเราสามารถดึงขึ้นมาเป็น 0 ได้สำเร็จโดยการรวมส่วนย่อยของตัวเลขแบบดึงขึ้น

$2(n+1)$

$\{y_{j'_1}, \dots, y_{j'_{m'}}\}$$m'$$Y$$[1, n-1]$$z$$z = -2K(n+1)-n \le -n$$n-1$

$z$$Y$$2(n+1)$$n$$Y$$n-1$$Y$$n + n-1 = 2n-1$$2(n+1)$$z$$2(n+1)$$Y$$2(n+1)$$2(n+1)$$z = -2K(n+1)-n$

$z$

$(-2K(n+1) - n) + \sum_{i'=1}^{m'} (2(n+1) x_{j'_{i'}} + 1) + \sum {\text{pull-ups}} = 0$

และเราสามารถจัดเรียงข้อกำหนด:

$-2K(n+1) + \sum_{i'=1}^{m'} (2(n+1) x_{j'_{i'}}) - (n + \sum_{i'=1}^{m'} 1 + \sum {\text{pull-ups}}) = 0$

$-2K(n+1) + \sum_{i'=1}^{m'} (2(n+1) x_{j'_{i'}}) - (n + m' + \sum {\text{pull-ups}}) = 0$

$2(n+1)(-K + \sum_{i'=1}^{m'} x_{j'_{i'}}) - (n + m' + \sum {\text{pull-ups}}) = 0$

$2(n+1)$$2(n+1)$

$-(n + m' + \sum {\text{pull-ups}}) = 0$

สิ่งนี้สามารถทดแทนโดยตรงในสมการก่อนหน้าเพื่อรับ

$2(n+1)(-K + \sum_{i'=1}^{m'} x_{j'_{i'}}) = 0$

$2(n+1)$

$-K + \sum_{i'=1}^{m'} x_{j'_{i'}} = 0$

ซึ่งให้ผลเฉลยกับอินสแตนซ์ปัญหาทั่วไปดั้งเดิม