ภาษาที่ไม่มีบริบทในถูกปิดภายใต้ส่วนเติมเต็มหรือไม่?

ภาษาที่ไม่มีบริบทไม่ได้ปิดอยู่ภายใต้การใช้งานจริงเรารู้ว่า

เท่าที่ฉันเข้าใจภาษาที่ไม่มีบริบทซึ่งเป็นชุดย่อยของสำหรับจดหมายบางตัวถูกปิดภายใต้ส่วนเติมเต็ม (!?) a , $a^*b^*$$a,b$

นี่คือข้อโต้แย้งของฉัน แต่ละภาษา CFมีกึ่งเชิงเส้น Parikh ภาพ\} ชุด Semilinear ถูกปิดภายใต้ส่วนประกอบ ชุดของเวกเตอร์ที่แสดงถึงชุดกึ่งเชิงเส้นสามารถแปลงเป็นไวยากรณ์เชิงเส้นได้อย่างง่ายดายπ ( L ) = { ( m , n ) ∣ a m b n ∈ L $L$$\pi(L) = \{ (m,n) \mid a^mb^n \in L \}$

คำถาม. มีการอ้างอิงถึงข้อเท็จจริงนี้ได้อย่างง่ายดายหรือไม่?

เทคนิคภาษาเหล่านี้จะเรียกว่าล้อมรอบคือส่วนหนึ่งของสำหรับคำบางคำw_1 w 1 , … , w $w_1^* \dots w_k^*$$w_1,\dots,w_k$

แรงจูงใจของฉันสำหรับคำถามนี้จากที่ผ่านมาคำถามในบริบทของ freeness\} มันประกอบภายในดูเหมือนง่ายต่อการจัดการa ∗ b $\{ a^nb^m \mid n^2 \neq m \}$$a^*b^*$

การอธิบายลักษณะของภาษาที่ไม่มีบริบท จำกัด นี้เกิดจาก Ginsburg ("ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ของภาษาที่ไม่มีบริบท") และปรากฏเป็นข้อพิสูจน์ 5.3.1 ในหนังสือของเขา สำหรับทั่วไปมีข้อ จำกัด บางอย่างในชุด semilinear แต่สำหรับข้อ จำกัด เหล่านี้จะพึงพอใจอยู่เสมอและดังนั้นจึงเป็นเรื่องง่ายที่จะอนุมานว่าการเติมเต็มของภาษาดังกล่าว (ภายใน ) เป็นบริบท - ฟรี.k ≤ 2 w ∗ 1 w ∗ $k$$k \leq 2$$w_1^* w_2^*$

กินส์เบิร์กกล่าวถึงสิ่งเหล่านี้ในหนังสือของเขา

ข้อสรุป 5.6.1 หากและเป็น [บริบทที่ไม่มีภาษา],และคำดังนั้นเป็นภาษาที่ไม่มีบริบท$M_1 \subseteq w_1^*w_2^*$$M_2$$w_1$$w_2$$M_1\cap M_2$

ข้อสรุป 5.6.2 หากและM 2เป็น [บริบทที่ไม่มีภาษา], w 1และw 2คำดังนั้นM 1 - M 2และM 2 - M 1เป็น [บริบทฟรี] ภาษา$M_1 \subseteq w_1^*w_2^*$$M_2$$w_1$$w_2$$M_1 - M_2$$M_2-M_1$

หลักฐานอื่นใช้ลักษณะดังต่อไปนี้ได้รับการพิสูจน์ในคำตอบนี้ :

ภาษาไม่มีบริบทถ้า if Aสามารถนิยามได้ในการคำนวณทางคณิตศาสตร์ของ Presburger$\{ a^i b^j : (i,j) \in A \}$$A$

เห็นได้ชัดว่าชัดเจนใน Presburger เลขคณิต iff ¯ Aคือชัดเจนใน Presburger เลขคณิต$A$$\overline{A}$

$L_i \subseteq a^*b^*$