ในทฤษฎีการคำนวณและความซับซ้อน (และสาขาอื่น ๆ ) การลดลงนั้นแพร่หลาย แสดงให้เห็นว่าปัญหาที่หนึ่ง: มีหลายชนิดหลักการยังคงเหมือนเดิมมี แต่อย่างน้อยเป็นหนักเป็นบางส่วนปัญหาอื่น ๆโดยกรณีการทำแผนที่จากกับคนที่แก้ปัญหาที่เทียบเท่าในL_1โดยพื้นฐานแล้วเราแสดงให้เห็นว่านักแก้ปัญหาสำหรับสามารถแก้ปัญหาหากเราอนุญาตให้ใช้ฟังก์ชั่นการลดเป็นตัวประมวลผลล่วงหน้าL 2 L 2 L 1 L 1 L $L_1$$L_2$$L_2$$L_1$$L_1$$L_2$

ฉันทำการแบ่งส่วนลดของฉันในช่วงหลายปีที่ผ่านมาและมีบางสิ่งที่ขัดขวางฉันอยู่เสมอ ในขณะที่การลดใหม่ทุกครั้งต้องใช้การสร้างที่สร้างสรรค์ (มากกว่าหรือน้อยกว่า) งานนั้นสามารถรู้สึกซ้ำได้ มีกลุ่มวิธีการบัญญัติหรือไม่?

เทคนิครูปแบบและกลวิธีใดที่หนึ่งสามารถใช้เป็นประจำเพื่อสร้างฟังก์ชั่นลดขนาด

^{นี้ควรจะกลายเป็นคำถามที่อ้างอิง ดังนั้นโปรดระมัดระวังในการให้คำตอบทั่วไปนำเสนอคำตอบที่แสดงตัวอย่างอย่างน้อยหนึ่งตัวอย่าง แต่อย่างไรก็ตามยังครอบคลุมหลาย ๆ สถานการณ์ ขอบคุณ!}

คดีพิเศษ

สมมติว่าเราต้องการที่จะแสดงให้เห็นด้วยความเคารพในความคิดของการลดบางRหากเป็นกรณีพิเศษของนั่นเป็นเรื่องเล็กน้อย: เราสามารถใช้ฟังก์ชันข้อมูลเฉพาะตัวได้ สัญชาตญาณที่อยู่เบื้องหลังสิ่งนี้ชัดเจน: กรณีทั่วไปอย่างน้อยที่สุดก็ยากเท่ากรณีพิเศษ$L_1 \leq_R L_2$$R$$L_1$$L_2$

ใน "การปฏิบัติ" เราจะได้รับและติดอยู่กับปัญหาในการเลือกคู่ค้าการลดที่ดีคือการค้นหากรณีพิเศษของที่พิสูจน์แล้วว่าเป็น -hard$L_2$$L_1$$L_2$$R$

ตัวอย่างง่ายๆ

สมมติว่าเราต้องการแสดงให้เห็นว่าKNAPSACKเป็น NP-hard โชคดีที่เรารู้ว่าSUBSET-SUMนั้นสมบูรณ์แบบ NP และเป็นกรณีพิเศษของ KNAPSACK การลด

$\qquad f(A,k) = (A, (1,\dots,1), k, |A|)$

พอเพียง; เป็นอินสแตนซ์ KNAPSACK ที่ถามว่าเราสามารถบรรลุค่าอย่างน้อยด้วยค่ารายการในเพื่อให้น้ำหนักที่สอดคล้องกันจากยังคงอยู่ภายใต้ทั้งหมด เราไม่ต้องการการ จำกัด น้ำหนักสำหรับการจำลอง SUBSET-SUM ดังนั้นเราเพิ่งตั้งค่าให้เป็นค่าที่ซ้ำซาก$(V,W,v,w)$$v$$V$$W$$w$

ปัญหาการออกกำลังกายอย่างง่าย

พิจารณาปัญหา MAX-3SAT: เนื่องจากมีสูตรแคลคูลัสและเลขจำนวนเต็มตัดสินใจว่ามีการตีความที่เติมเต็มอย่างน้อยอนุประโยคหรือไม่ แสดงว่ามันเป็น NP-hard$\varphi$$k$$\varphi$$k$

3SAT เป็นกรณีพิเศษ กับจำนวนคำสั่งในพอเพียงm $f(\varphi) = (\varphi, m)$$m$$\varphi$

ตัวอย่าง

สมมติว่าเรากำลังตรวจสอบปัญหาSUBSET-SUMและต้องการแสดงว่ามันเป็นปัญหา NP-hard

เราโชคดีและรู้ว่าปัญหาพาร์ติชั่นนั้นสมบูรณ์แบบแล้ว เรายืนยันว่าเป็นกรณีพิเศษของ SUBSET-SUM และกำหนด

$\qquad \displaystyle f(A) = \begin{cases} \left(A, \frac{1}{2}\sum_{a \in A} a\right) &, \sum_{a \in A} a\mod 2 = 0 \\ \left(A, 1 + \sum_{a \in A} |a|\right) &, \text{else} \end{cases}$

ที่เป็นชุดที่ใส่ของพาร์ทิชันและเป็นตัวอย่างสำหรับกลุ่มย่อย-SUM ที่ถามหลังจากย่อยของข้อสรุปที่จะkที่นี่เราต้องดูแลกรณีที่ไม่มีข้อต่อ ; ในกรณีนั้นเราให้อินสแตนซ์ที่เป็นไปไม่ได้โดยพลการ$A$$(A,k)$$A$$k$$k$

ปัญหาการออกกำลังกาย

พิจารณาปัญหาที่เกิดขึ้นยาวนานที่สุด PATH: รับกราฟโหนดของและจำนวนเต็มตัดสินใจว่ามีเส้นทางที่เรียบง่ายจากไปในของความยาวอย่างน้อยk$G$$s,t$$G$$k$$s$$t$$G$$k$

แสดงว่า LONGEST-PATH นั้นเป็น NP-hard

HAMILTON-CYCLEเป็นปัญหา NP-complete ที่รู้จักกันดีและเป็นกรณีพิเศษของ LONGEST-PATH สำหรับโหนดโดยพลการในพอเพียง หมายเหตุโดยเฉพาะอย่างยิ่งการลดจาก HAMILTON-PATH ต้องการงานมากขึ้น$f(G) = (G,v,v,n)$$v$$G$

ใช้ประโยชน์จากปัญหาใกล้เคียงที่รู้จัก

เมื่อต้องเผชิญกับปัญหาที่รู้สึกหนักก็มักจะเป็นความคิดที่ดีที่จะลองค้นหาปัญหาที่คล้ายกันซึ่งพิสูจน์แล้วว่าหนักแล้ว หรือบางทีคุณอาจเห็นได้ทันทีว่าปัญหานั้นคล้ายคลึงกับปัญหาที่ทราบแล้ว

ตัวอย่างปัญหา

พิจารณาปัญหา

เราต้องการที่จะแสดงคือ - สมบูรณ์ เราได้อย่างรวดเร็วทราบว่ามันอยู่ใกล้กับปัญหาที่เรารู้อยู่แล้วว่าเป็นเรื่องยากคือปัญหา satisfiability (SAT)$\mathsf{NP}$

การเป็นสมาชิกของนั้นตรงไปตรงมาเพื่อแสดง ใบรับรองมีสองการมอบหมาย เห็นได้ชัดว่าสามารถตรวจสอบได้ในเวลาพหุนามว่าการมอบหมายเป็นไปตามสูตรหรือไม่$\mathsf{NP}$

$\mathsf{NP}$ -hardness ดังนี้จากการลดลงจาก{} ได้รับสูตรเราแก้ไขได้โดยการแนะนำตัวแปรใหม่วีเราเพิ่มส่วนคำสั่งใหม่ในสูตร ตอนนี้ถ้าคือพอใจก็จะพอใจกับทั้งและ\ ดังนั้นมีการมอบหมายอย่างน้อย 2 อย่างที่พอใจ ในทางตรงกันข้ามถ้าไม่พอใจก็จะกลายเป็นแน่นอนไม่พอใจโดยไม่คำนึงถึงความคุ้มค่าของโวลต์$\text{SAT}$$\varphi$$v$$(v \vee \neg v)$$\varphi$$v = \perp$$v = \top$$\varphi$$\varphi$$v$

มันตามมาว่าคือ - ที่เสร็จสมบูรณ์ซึ่งเป็นสิ่งที่เราต้องการแสดง$\text{DOUBLE-SAT}$$\mathsf{NP}$

ค้นหาปัญหาใกล้เคียง

การลดปัญหาเป็นงานศิลปะและบ่อยครั้งที่ต้องมีประสบการณ์และความเฉลียวฉลาด โชคดีที่ปัญหาหนักจำนวนมากจะรู้จักกันอยู่แล้ว คอมพิวเตอร์และ Intractability ของ Garey และ Johnson: คำแนะนำเกี่ยวกับทฤษฎี NP-Completeenessเป็นแบบคลาสสิคที่มีภาคผนวกที่มีปัญหามากมาย Google Scholarเป็นเพื่อนด้วย

ในการคำนวณเรามักตรวจสอบชุดทัวริง นั่นคือวัตถุของเรามีฟังก์ชั่นและเรามีการเข้าถึงหมายเลขGödel เยี่ยมมากเพราะเราสามารถทำสิ่งที่เราต้องการได้ด้วยฟังก์ชั่นอินพุตตราบใดที่เรายังคงคำนวณ

สมมติว่าเราต้องการแสดงว่าไม่สามารถตัดสินใจได้ เป้าหมายของเราคือการได้รับความเสมอภาคของการลงโทษ$L$

$\qquad \langle M \rangle \in K \iff \langle f_M \rangle \in L$

ด้วยปัญหาการหยุดทำงาน (หรือภาษา / ปัญหาอื่น ๆ ที่ไม่สามารถระบุได้)$K = \{ \langle M \rangle \mid M(\langle M \rangle) \text{ halts} \}$

ดังนั้นเราจำเป็นต้องมีการคำนวณการจับคู่เพื่อให้คำนวณได้เสมอ นี่คือการกระทำที่สร้างสรรค์ที่ได้รับการแจ้งจากการเทียบเท่าของการลงโทษ ดูตัวอย่างบางส่วนเพื่อรับทราบแนวคิดการทำงาน:$\langle M \rangle \mapsto \langle f_M \rangle$$f_M$

• การแม็พการลดลงเพื่อเติมเต็มของ$A_{\mathrm{TM}}$
• เป็นไปได้ไหมที่การทำแผนที่ลดภาษาใดภาษาหนึ่งเหล่านี้ลงไปอีกภาษาหนึ่ง?

งานเดียวกันสำหรับแสดงให้เห็นว่าไม่ได้เป็นแบบกึ่ง decidable โดยการเลือกภาษาที่ไม่ได้กึ่งแบบ decidable เป็นหุ้นส่วนการลดเช่น :$L$$\overline{K}$

• ความสม่ำเสมอของภาษาที่ใช้โดยเครื่องทัวริงที่ให้นั้นเป็นคุณสมบัติแบบกึ่งตัดสินใจหรือไม่?
• ชุดของฟังก์ชั่นค่าคงที่คำนวณได้นับซ้ำได้หรือไม่?

1. นี่คือที่มาของหมายเลขGödel: เราได้รับความสามารถในการคำนวณของการทำแผนที่นี้ (ปกติ) ฟรี

มันขึ้นอยู่กับการเรียนซับซ้อนที่เกี่ยวข้องและไม่ว่าใครต้องการที่จะลดลงจากที่กำหนดที่จะไม่รู้จักหรือไม่รู้จักเพื่อให้ สถานการณ์ทั่วไปคือการพิสูจน์ปัญหา NP Hard หรือ NP Complete เทคนิคทั่วไปคือการสร้าง "แกดเจ็ต" ในโดเมนหนึ่งที่ทำงานในลักษณะที่แน่นอนเลียนแบบพฤติกรรมของโดเมนอื่น ตัวอย่างเช่นการแปลง SAT เป็นจุดสุดยอดหนึ่งสร้าง "แกดเจ็ต" ในหน้าปกที่ทำหน้าที่คล้ายกับคำสั่งของ SAT เช่นในการแสดงภาพสไลด์ต่อไปนี้: NP Complete Reductionโดย Krishnamoorthy$A$$B$$B$$A$

กลยุทธ์ที่มีประโยชน์คือการทำงานจากการรวบรวมปัญหาจำนวนมากจากระดับความซับซ้อนที่มีปัญหาและค้นหา "ปัญหาที่ใกล้ที่สุดชัดเจน" ถึงปัญหาที่กำลังศึกษา การอ้างอิงที่ยอดเยี่ยมตามบรรทัดเหล่านี้คือคอมพิวเตอร์และการใช้งานไม่ได้ซึ่งเป็นแนวทางของทฤษฎีความสมบูรณ์แบบ NP, Garey และ Johnsonซึ่งจัดเรียงตามประเภทปัญหาที่แตกต่างกัน