การค้นหาเส้นทางที่สั้นและยาวที่สุดระหว่างจุดยอดสองจุดใน DAG

ให้ DAG ที่ไม่มีน้ำหนัก (กำกับด้วยกราฟ acyclic)และสองจุดยอดและเป็นไปได้ไหมที่จะหาเส้นทางที่สั้นและยาวที่สุดจากถึงในเวลาพหุนาม ความยาวเส้นทางวัดจากจำนวนขอบ$D = (V,A)$$s$$t$$s$$t$

ฉันสนใจที่จะหาช่วงของความยาวเส้นทางที่เป็นไปได้ในเวลาพหุนาม

Ps. คำถามนี้เป็นซ้ำของ StackOverflow คำถามเส้นทางที่ยาวที่สุดใน DAG

สำหรับปัญหาเส้นทางที่สั้นที่สุดหากเราไม่สนใจเรื่องน้ำหนักการค้นหาที่กว้างครั้งแรกนั้นเป็นวิธีที่แน่นอน มิฉะนั้นอัลกอริทึมของ Dijkstra จะทำงานตราบใดที่ไม่มีขอบลบ

สำหรับเส้นทางที่ยาวที่สุดคุณสามารถทำBellman-Fordบนกราฟได้ด้วยน้ำหนักที่ไม่ได้รับผลกระทบทั้งหมด โปรดจำไว้ว่า Bellman-Ford ทำงานได้ตราบใดที่ไม่มีรอบน้ำหนักเชิงลบและดังนั้นจึงทำงานได้กับน้ำหนักใด ๆ บน DAG

ให้และ. Letแสดงว่าน้ำหนักของขอบเพื่อข) สมมติว่าคุณต้องการที่จะหาค่าใช้จ่ายต่ำสุดและสูงสุดเส้นทางจากไปทีm = | E ( G ) | w ( a → b ) ( a → b ) s $n = |V(G)|$$m = |E(G)|$$w(a \to b)$$(a \to b)$$s$$t$

เริ่มต้นจากดำเนินการดังต่อไปนี้:$b := t$

1. หากได้รับการเยี่ยมชมแล้วกลับมาคำนวณแล้วและ(ข) มิฉะนั้นทำเครื่องหมายว่าเยี่ยมชม$b$$\min(b)$$\max(b)$$b$

2. กำหนดและบันทึกและดังนี้$\min(b)$$\max(b)$

   • หากร้าน0$b = s$$\min(s) := \max(s) := 0$
   • ชุดอื่นละเว้นจุดยอดที่{} เมื่อคำนวณต่ำสุดและสูงสุดกว่าชุดที่ว่างเปล่าของขอบ (ไม่มีขอบขาเข้าที่ทั้งหมดหรือทั้งหมดละเว้น) ชุด{} $$\begin{align*}\min(b) &:= \min_{a \to b} \Bigl[ w(a \to b) + \min(a) \Bigr] \\ \max(b) &:= \max_{a \to b} \Bigl[ w(a \to b) + \max(a) \Bigr]\end{align*}$$ $\min(a) = \max(a) = \mathrm{inaccessible}$$b$$\min(b) := \max(b) := \mathrm{inaccessible}$

คุณควรจะสามารถพิสูจน์ได้ว่าอัลกอริทึมนี้ทำงานในเวลาโดยละเลยเวลาที่ต้องเริ่มต้นตัวแปรจุดสุดยอดทั้งหมด$O(m)$