อะไรคือวิธีกะทัดรัดในการแสดงพาร์ติชั่นของชุด?

มีโครงสร้างข้อมูลที่มีประสิทธิภาพสำหรับการแสดงพาร์ทิชันที่ตั้งอยู่ โครงสร้างข้อมูลเหล่านี้มีความซับซ้อนในช่วงเวลาที่เหมาะสมสำหรับการดำเนินการเช่น Union และ Find แต่ไม่ได้มีประสิทธิภาพด้านพื้นที่โดยเฉพาะ

การใช้พื้นที่อย่างมีประสิทธิภาพในการเป็นตัวแทนของพาร์ติชั่นคืออะไร?

นี่คือจุดเริ่มต้นหนึ่งที่เป็นไปได้:

ฉันรู้ว่าจำนวนของพาร์ทิชัน ของชุดที่มี$N$องค์ประกอบคือ$B_N$ที่$N$ -th จำนวนเบลล์ ดังนั้นความซับซ้อนของพื้นที่ที่เหมาะสมที่สุดสำหรับการแสดงพาร์ติชันของชุดที่มีองค์ประกอบ$N$คือ บิต$\log_2(B_N)$ในการค้นหาการนำเสนอดังกล่าวเราสามารถค้นหาการทำแผนที่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่าง (ชุดพาร์ติชันของชุดองค์ประกอบ$N$ ) และ (ชุดจำนวนเต็มจาก$1$ถึง$B_N$ )

มีการทำแผนที่ที่มีประสิทธิภาพในการคำนวณหรือไม่? สิ่งที่ผมหมายถึง "มีประสิทธิภาพ" คือว่าผมต้องการแปลงนี้เป็นตัวแทนที่มีขนาดกะทัดรัดจาก / ไปยังง่ายต่อการจัดการตัวแทน (เช่นรายการของรายการก) ในเวลาพหุนามใน$N$หรือ$\log_2(B_N)$ )

คุณสามารถใช้วิธีที่ได้รับสูตรการทำซ้ำด้านล่างเพื่อค้นหาการเข้ารหัสของคุณ:

$$B_{n+1} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} B_k.$$ นี้จะได้รับการพิสูจน์โดยพิจารณาองค์ประกอบอื่น ๆ หลายวิธีที่จะอยู่ในส่วนที่มีองค์ประกอบ$n+1$1 หากมี$n-k$ของสิ่งเหล่านี้เราก็มี$\binom{n}{n-k} = \binom{n}{k}$ตัวเลือกสำหรับพวกเขาและ$B_k$ตัวเลือกสำหรับการแบ่งส่วนที่เหลือ

ใช้นี้เราสามารถให้ขั้นตอนวิธีการเวียนเกิดการแปลงพาร์ทิชันใด ๆ$n+1$ไปยังหมายเลขในช่วง$0,\ldots,B_{n+1}-1$ 1 ฉันคิดว่าคุณมีวิธีในการแปลงชุดย่อยขนาด$k$ของ$\{1,\ldots,n\}$เป็นตัวเลขในช่วง$0,\ldots,\binom{n}{k}-1$(อัลกอริทึมดังกล่าวสามารถออกแบบในลักษณะเดียวกันโดยใช้การเกิดซ้ำของ Pascal$\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k} + \binom{n-1}{k-1}$ )

สมมติว่าส่วนที่มี$n+1$มีองค์ประกอบอื่น ๆ อยู่$k$ค้นหารหัส$C_1$ 1 คำนวณพาร์ติชันของ$\{1,\ldots,n-k\}$โดย "การบีบอัด" องค์ประกอบที่เหลือทั้งหมดไปยังช่วงนั้น คำนวณรหัส$C_2$ซ้ำ ๆ รหัสใหม่คือ

$$C = \sum_{l=0}^{n-k-1} \binom{n}{l} B_l + C_1 B_{n-k} + C_2.$$

ในอีกทางหนึ่งให้รหัส$C$ค้นหาค่า$k$เฉพาะที่

$$\sum_{l=0}^{n-k-1} \binom{n}{l} B_l \leq C < \sum_{l=0}^{n-k} \binom{n}{l} B_l,$$ และกำหนด $$C' = C - \sum_{l=0}^{n-k-1} \binom{n}{l} B_l.$$ ตั้งแต่$0 \leq C' < \binom{n}{k} B_{n-k}$ก็สามารถเขียนเป็น$C_1 B_{n-k} + C_2$ที่$0 \leq C_2 < B_{n-k}$k ตอนนี้รหัส$C_1$องค์ประกอบในส่วนที่มี$n+1$และรหัส$C_2$พาร์ทิชันของ$\{1,\ldots,n-k\}$ซึ่งสามารถถอดรหัสซ้ำได้ ให้เสร็จสมบูรณ์ถอดรหัส, คุณต้อง "ยกเลิกการบีบอัด" พาร์ทิชันหลังเพื่อที่จะมีทุกองค์ประกอบไม่ปรากฏในส่วนที่มี$n+1$ 1

---

นี่คือวิธีการใช้เทคนิคเดียวกันในการเข้ารหัสชุดย่อย$S$ของ$\{1,\ldots,n\}$ของขนาด$k$ซ้ำ ๆ ถ้า$k=0$แล้วรหัสเป็น$0$ดังนั้นสมมติว่า$k>0$ 0 ถ้า$n \in S$ให้$C_1$เป็นรหัสของ$S \setminus \{n\}$เป็นเซตย่อยของขนาด$k-1$ของ$\{1,\ldots,n-1\}$; รหัสของ$S$คือ$C_1$ 1 ถ้า$n \notin S$ปล่อยให้$C_1$เป็นรหัสของ$S$เป็นเซตย่อยของขนาด$k$ของ$\{1,\ldots,n-1\}$ ; รหัสของ$S$คือ$C_1 + \binom{n-1}{k-1}$ )

ในการถอดรหัสรหัส$C$มีสองกรณี ถ้า$C < \binom{n-1}{k-1}$แล้วถอดรหัสชุดย่อย$S'$ของ$\{1,\ldots,n-1\}$ขนาด$k-1$ที่มีรหัสคือ$C$และเอาท์พุท$S' \cup \{n\}$} มิฉะนั้นถอดรหัสชุดย่อย$S'$ของ$\{1,\ldots,n-1\}$ของขนาด$k$ซึ่งโค้ดคือ$C - \binom{n-1}{k-1}$, and output $S'$.