ปัญหาการปรับให้เหมาะสมอย่างต่อเนื่องที่ลดเป็น TSP

สมมติว่าฉันได้รับคะแนนจำนวน จำกัดในระนาบและขอให้วาดเส้นโค้งแตกต่างกันสองครั้งผ่านผ่านเช่นปริมณฑลของมันจะเล็กที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ สมมติว่าและฉันสามารถทำให้ปัญหานี้เป็นระเบียบได้ดังนี้:$p_1,p_2,..p_n$$C(P)$$p_i$$p_i=(x_i,y_i)$$x_i<x_{i+1}$

ปัญหา 1 (แก้ไขเพื่อตอบสนองต่อความคิดเห็นของ Suresh)กำหนด ฟังก์ชั่นของพารามิเตอร์เช่นนั้น arclength จะลดลงด้วยและทุกเรามีy_i)$C^2$$x(t),y(t)$$t$$L = \int_{[t \in 0,1]} \sqrt{x'^2+y'^2}dt$$x(0) = x_1, x(1) = x_n$$t_i: x(t_i) = x_i$$y(t_i)=y_i)$

ฉันจะพิสูจน์ (หรืออาจปฏิเสธ) ว่าปัญหาที่ 1 เป็นปัญหายากได้อย่างไร

ทำไมฉันถึงสงสัยว่า NP-hardness สมมุติว่านั้นผ่อนคลาย เห็นได้ชัดว่าการทำงานของความยาวส่วนโค้งน้อยที่สุดคือทัวร์ท่องเที่ยวพนักงานขายของ 's บางทีข้อ จำกัด ของทำให้เกิดปัญหามากขึ้นเท่านั้น?$C^2$$p_i$$C^2$

บริบทแตกต่างจากปัญหานี้ถูกโพสต์บนMSE มันไม่ได้รับคำตอบทั้งมีและMO เนื่องจากมันเป็นเรื่องไม่สำคัญในการแก้ปัญหาฉันต้องการสร้างความยากลำบาก

ความต้องการความแตกต่างไม่ได้เปลี่ยนลักษณะของปัญหา: ต้องการ (ต่อเนื่อง) หรือ (ความแตกต่างไม่สิ้นสุด) ให้ขอบเขตที่ต่ำกว่าเหมือนกันและมีความยาวเท่ากัน คำสั่งของคะแนนและเทียบเท่ากับการแก้ปัญหาพนักงานขายที่เดินทาง$\mathcal{C}^0$$\mathcal{C}^{\infty}$

หากคุณมีทางออกสำหรับ TSP คุณจะมีเส้นโค้งที่ผ่านทุกจุด ในทางกลับกันสมมติว่าคุณมีเส้นโค้งที่มีความยาว จำกัด ที่ผ่านทุกจุดและให้เป็นลำดับ ซึ่งจะข้ามจุดและพารามิเตอร์ที่เกี่ยวข้อง (หากเส้นโค้งเคลื่อนที่ผ่านจุดมากกว่าหนึ่งครั้งให้เลือกค่าใด ๆ ที่เป็นไปได้ของ ) จากนั้นเส้นโค้งที่สร้างขึ้นจากส่วน$\mathcal{C}^0$$\mathcal{C}^0$$p_{\sigma(1)}, \ldots, p_{\sigma(n)}$$t_1,\ldots,t_n$$t$$n$$[p_{\sigma(1)},p_{\sigma(2)}], \ldots, [p_{\sigma(n-1)},p_{\sigma(n)}], [p_{\sigma(n)},p_{\sigma(1)}]$สั้นลงเพราะสำหรับแต่ละเซ็กเมนต์เส้นตรงจะสั้นกว่าเส้นโค้งอื่น ๆ ที่เชื่อมต่อจุดนั้น ดังนั้นสำหรับการสั่งซื้อคะแนนทุกครั้งกราฟที่ดีที่สุดคือโซลูชัน TSP และโซลูชัน TSP ให้การจัดเรียงคะแนนที่ดีที่สุด

ตอนนี้เรามาแสดงให้เห็นว่าการใช้เส้นโค้งเป็น (หรือสำหรับใด ๆ) ไม่เปลี่ยนลำดับของจุดที่ดีที่สุด สำหรับโซลูชัน TSP ใด ๆ ที่มีความยาวรวมและเราสามารถปัดเศษทุกซอกทุกมุมคือสร้างเส้นโค้งที่ลัดเลาะตามลำดับและมีความยาวของที่ ที่สุด (การก่อสร้างที่ชัดเจนอาศัยฟังก์ชันพีชคณิตและเพื่อกำหนดฟังก์ชันการชนและจากการเชื่อมต่อที่ราบรื่นระหว่างส่วนโค้งเช่นซึ่งเชื่อมต่อกับ$\mathcal{C}^{\infty}$$\mathcal{C}^k$$k$$\ell$$\epsilon > 0$$\mathcal{C}^{\infty}$$\ell + \epsilon$$e^{-1/t^2}$$e^{1-1/x^2} (x-e^{-1/(1-x)^2})$$y=0$ที่และที่ ; มันน่าเบื่อที่จะทำให้ชัดเจน แต่ก็คำนวณได้); ด้วยเหตุนี้ขอบเขตล่างสำหรับโค้งเป็นเช่นเดียวกับการรวมกลุ่ม (สังเกตว่าขอบเขตล่างไม่ถึงทั่วไป)$x=0$$y=x$$x=1$$\mathcal{C}^{\infty}$