ความซับซ้อนของพลังการคำนวณเมทริกซ์

ฉันสนใจในการคำนวณ 'พลังของ TH เมทริกซ์ สมมติว่าเรามีขั้นตอนวิธีการคูณเมทริกซ์ซึ่งทำงานในเวลา จากนั้นหนึ่งสามารถคำนวณในเวลาได้อย่างง่ายดาย เป็นไปได้หรือไม่ที่จะแก้ปัญหานี้โดยใช้เวลาน้อยลง $n$ $n\times n$ $A$ $\mathcal{O}(M(n))$ $A^n$ $\mathcal{O}(M(n)\log(n))$

โดยทั่วไปรายการเมทริกซ์สามารถมาจาก semiring แต่คุณสามารถใช้โครงสร้างเพิ่มเติมได้หากมันช่วยได้

หมายเหตุ: ฉันเข้าใจว่าในการคำนวณทั่วไปในเวลาจะให้อัลกอริทึมสำหรับการยกกำลัง แต่ปัญหาที่น่าสนใจจำนวนหนึ่งลดลงเป็นกรณีพิเศษของการยกกำลังเมทริกซ์โดยที่ m = และฉันไม่สามารถพิสูจน์ได้เหมือนกันเกี่ยวกับปัญหาที่ง่ายกว่านี้ $A^m$ $o(M(n)\log(m))$ $o(\log m)$ $\mathcal O(n)$

— Shitikanth
แหล่งที่มา

รายการของเมทริกซ์คืออะไร? นัมเบอร์?

— Kaveh

โดยทั่วไปแล้วรายการสามารถมาจาก semiring แต่คุณสามารถสมมติโครงสร้างเพิ่มเติมถ้ามันช่วย

— Shitikanth

ฉันไม่สามารถลดขนาดจากการคูณเป็นกำลังสองจากวิธีที่เสนอข้างต้น (เช่นการใช้

) อย่างไรก็ตามการใช้

งานได้ แต่นี้จะช่วยให้เพียง

ในการคำนวณn

(A \pm B)^{2}

$(A\pm B)^2$

{(\begin{array}{cc} 0 & A \\ B & 0 \end{array})}^{2}

$\left( \begin{array}{cc} 0 & A \\ B & 0 \end{array} \right)^2$

Ω (M (n))

$\Omega(M(n))$

A^{n}

$A^n$

— Shitikanth

คำตอบ:

หากเมทริกซ์จะdiagonalizableแล้วการอำนาจ th สามารถทำได้ในเวลา ที่เป็นเวลาที่จะ diagonalize $n$

O (D (n) + n \log n)

$O(D(n)+ n\log n)$

D (n)

$D(n)$

A

$A$

เพียงกรอกรายละเอียดให้ครบถ้วนถ้ามีเส้นทแยงมุมดังนั้น $A=P^{-1}DP$ $D$

A^{n} = (P^{- 1} D P)^{n} = P^{- 1} D^{n} P

$A^n = (P^{-1}DP)^n = P^{-1}D^nP$

และสามารถคำนวณได้โดยเพียงแค่นำแต่ละส่วนของเส้นทแยงมุม (แต่ละค่าลักษณะเฉพาะของ ) ไปยังพลังที่ $D^n$ $A$ $n$

— รันจี
แหล่งที่มา

O (n^{3})

$O(n^3)$

O (n^{2.3727} \log (m))

$O(n^{2.3727}\log(m))$

A^{m}

$A^m$

(1) เวลาที่คุณอ้างถึงไม่ใช่โดย Coppersmith-Winograd (อย่างที่คุณรู้) (2) อัลกอริธึมทั้งหมดของรูปแบบนั้นใช้ได้กับวงแหวนเท่านั้น มันไม่ทำงานสำหรับเซมินารีทั่วไป (ตามที่คุณอนุญาตในคำถามของคุณ)

— Ryan Williams

$n\times n$ $A$ $A=U\Sigma U^T$ $\Sigma$ $O(n^3)$ $A^m = U \Sigma^m U^T$ $O(n\log m)$ $U \times \Sigma^m \times U^T$ $O(n^{2.3727})$ $O(n^3 + n \log m)$

$O(n^{2.3727}+n \log m)$ $o(M(n)\log(m))$ $o(\log n)$

— PKG
แหล่งที่มา

O (n^{2.3727})

$O(n^{2.3727})$

O (n^{2.3727} \log (m))

$O(n^{2.3727}\log(m))$

A^{m}

$A^m$

m = O (n)

$m=O(n)$

A = U Σ U^{⊤}

$A = U \Sigma U^\top$

V \neq U^{⊤}

$V \ne U^\top$

n

$n$

m

$m$

n = 1

$n=1$

O (M (1) \log m

$O(M(1)\log m$

A^{m}

$A^m$

\log m

$\log m$

นี่ไม่ชัดเจนจากคำถามของคุณตามที่ระบุไว้

— PKG