เป็นเรื่องยากไหมที่จะเติมถังขยะด้วยการเคลื่อนไหวขั้นต่ำ?

มีถังขยะและประเภทของลูก TH ถังมีป้ายสำหรับก็เป็นจำนวนที่คาดหวังของลูกประเภทJ$n$$m$$i$$a_{i,j}$$1\leq j\leq m$$j$

คุณเริ่มต้นด้วยลูกประเภทJลูกของแต่ละชนิดมีน้ำหนักและต้องการที่จะนำลูกลงไปในถังขยะถังดังกล่าวว่ามีน้ำหนักC_iการกระจายตัวของลูกที่สภาพก่อนหน้านี้เรียกว่าทางออกที่เป็นไปได้$b_j$$j$$j$$w_j$$i$$c_i$

พิจารณาวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ด้วยลูกบอลประเภทในถังจากนั้นค่าใช้จ่ายคือ. เราต้องการค้นหาวิธีแก้ปัญหาที่มีต้นทุนต่ำที่สุด$x_{i,j}$$j$$i$$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m |a_{i,j}-x_{i,j}|$

ปัญหานี้เป็นอย่างชัดเจน NP-ยากถ้ามีข้อ จำกัด ใน\} ปัญหาผลรวมเซ็ตย่อยจะลดการดำรงอยู่ของโซลูชันที่เป็นไปได้$\{w_j\}$

อย่างไรก็ตามหากเราเพิ่มเงื่อนไขที่หารสำหรับทุกดังนั้นการลดจำนวนผลรวมของเซ็ตย่อยจะไม่ทำงานอีกต่อไปดังนั้นจึงไม่ชัดเจนว่าปัญหาที่เกิดขึ้นยังคงเป็นปัญหาที่ยากหรือไม่ การตรวจสอบการมีอยู่ของโซลูชันที่เป็นไปได้นั้นใช้เวลาเพียง (แนบท้ายคำถาม) แต่สิ่งนี้ไม่ได้ให้วิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ในราคาที่ถูกที่สุด$w_j$$w_{j+1}$$j$$O(n\,m)$

ปัญหามีการกำหนดโปรแกรมจำนวนเต็มเทียบเท่า ให้สำหรับ : $a_{i,j},c_i,b_j,w_j$$1\leq i\leq n,1\leq j\leq m$

$$\begin{align*} \text{Minimize:} & \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m |a_{i,j}-x_{i,j}| \\ \text{subject to:} & \sum_{j=1}^m x_{i,j}w_j = c_i \text{ for all } 1\leq i\leq n\\ & \sum_{i=1}^n x_{i,j} \leq b_j \text{ for all } 1\leq j \leq m\\ & x_{i,j}\geq 0 \text{ for all } 1 \leq i\leq n, 1\leq j \leq m\\ \end{align*}$$

คำถามของฉันคือ

โปรแกรมเลขจำนวนเต็มด้านบน NP-hard เมื่อหารสำหรับทั้งหมด หรือไม่$w_j$$w_{j+1}$$j$

อัลกอริทึมที่จะตัดสินใจว่าจะมีวิธีการแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ในเวลา$O(n\,m)$ :

กำหนดและd_j = W_ ให้เป็น \ b%เป็น remainer เมื่อโดยแบ่งเป็นข$w_{m+1}=w_m(\max_{j} c_j + 1)$$d_j = w_{j+1}/w_j$$a\%b$$a$$b$

1. หากมี$c_i$ที่ไม่สามารถหารด้วย$w_1$ให้ส่งคืน "ไม่มีวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้" (ค่าคงที่$c_i$หาร$w_j$จะคงอยู่ในลูปต่อไปนี้เสมอ)

2. สำหรับ$j$จาก$1$ถึง$m$ :

   1. $k \gets \sum_{i=1}^n (c_i/w_j)\%d_j$(C_i (ต้องการน้ำหนักลูกขั้นต่ำ$w_j$ )
   2. หาก$b_j<k$ให้ส่งคืน "ไม่มีวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้"
   3. $c_i \gets c_i - ((c_i/w_j)\% d_j)$สำหรับทุกฉัน(ลบจำนวนน้ำหนักบอลขั้นต่ำที่ต้องการ )$i$$w_j$
   4. $b_{j+1} \gets \lfloor (b_j-k)/d_j \rfloor$\ (กลุ่มลูกบอลขนาดเล็กเป็นลูกบอลขนาดใหญ่)
3. ส่งคืน "มีวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้"

โซลูชันเวลาพหุนามกับกรณีพิเศษโดยที่และเป็นกำลังของวินาที$n=1$$w_j$$2$

เป็นที่ทราบกันว่าถ้าและทั้งหมดเป็นพลังของดังนั้นกรณีพิเศษนี้สามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนาม $n=1$$w_j$$2$

$$\begin{align*} \text{Minimize:} & \sum_{j=1}^m |a_j-x_j| \\ \text{subject to:} & \sum_{j=1}^m w_j x_j = c\\ & 0 \leq x_j \leq b_j \text{ for all } 1\leq j \leq m\\ \end{align*}$$

วิธีการแก้ปัญหาที่ถูกนัยโดยYuzhou Guและเขียนขึ้นอาจจะพบได้ที่นี่

พื้นหลังบางส่วน ปัญหาข้างต้นเป็นปัญหาเครื่องหลังที่มีข้อ จำกัด วิธีการแก้ปัญหาเป้หลังที่มีประสิทธิภาพมากที่สุดโดยมีหรือไม่มีข้อ จำกัด สามารถแก้ไขได้ในเวลา pseudopolynomial ยังคง NP-Hard สำหรับรูปแบบบางอย่างดูhttps://en.wikipedia.org/wiki/Knapsack_problem#Definition ข้อ จำกัด แรกในรูปแบบนี้คือมูลค่าของรายการ (ลูก) ที่จะวางในเป้ (ถังขยะ) ไม่สำคัญ ปัญหาจะถูก จำกัด ด้วยระยะเวลาที่ใช้ในการใส่สิ่งของในเป้ ปัญหาเดิมต้องการรายการที่มีค่าที่สุดในเวลาสั้นที่สุดเท่าที่จะทำได้ ข้อ จำกัด อีกประการสำหรับรุ่นนี้คือน้ำหนักและอาร์กิวเมนต์อื่นทั้งหมดเป็นจำนวนเต็ม และข้อ จำกัด ของดอกเบี้ยก็คือน้ำหนักw j + $w_j$แบ่งสำหรับทุกJหมายเหตุ: ปัญหาเครื่องหลังแบบเศษส่วนสามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนาม แต่ไม่ได้นำเสนอวิธีแก้ปัญหาที่ใช้งานได้จริงที่สุดกับปัญหาดั้งเดิม ปัญหานี้ใช้จำนวนเต็มที่แบ่งเท่า ๆ กัน (ไม่มีวิธีแก้ปัญหาที่มีเหตุผล) บางทีดูว่าปัญหาใหญ่ของปัญหาเครื่องหลังคืออะไร? .$w_{j+1}$$j$

คำถามหลักที่ควรจะเป็น "คือปัญหานี้ยังคง NP-Hard เมื่อถูก จำกัด โดยพหุนามที่สอดคล้องกับเป็นปัญหาซับซ้อนน้อยลง (ใน P) เมื่อมันถูก จำกัด ขอบเขตเหตุผลที่ฉันพูดแบบนี้เพราะปัญหาสามารถ แสดงเป็น P เมื่อถูกล้อมรอบและ NP-Hard เมื่อไม่จำเป็นต้องหาร i w j w j w j + 1 w j w j + 1 w j j w $w_j$$i$$w_j$$w_j$$w_{j+1}$เท่ากัน (น้ำหนักเป็นเพียงการสุ่ม) ข้อ จำกัด ทั้งหมดจะจำกัดความซับซ้อนของปัญหานี้ในสองเงื่อนไขนี้ เงื่อนไขเหล่านี้ (1. ปัญหาน้ำหนักเป้นแบบสุ่มที่ไม่มีข้อ จำกัด ของมูลค่าสินค้าและ 2. ปัญหาน้ำหนักเป้นส่วนแบ่งที่ไม่มีข้อ จำกัด ของมูลค่ารายการ) คัดค้านซึ่งกันและกันในแง่ของการลดความซับซ้อนเนื่องจากผลหารของน้ำหนักอาจเป็นแบบสุ่มเอง โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อไม่มีข้อ จำกัด ) ดังนั้นการคำนวณเวลาแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลจึงเป็นไปได้ (สิ่งนี้จะแสดงในตัวอย่างด้านล่าง) นอกจากนี้เนื่องจากหาร ,เพิ่มขนาดเป็นทวีคูณสำหรับแต่ละ$w_j$$w_{j+1}$$w_j$$j$. นี่เป็นเพราะแทนที่จะใช้ไอเท็มถ่วงน้ำหนักแบบสุ่ม (ลูกบอลที่มีน้ำหนักต่อหน่วยอาจถูก จำกัด ให้น้ำหนักต่อหน่วยต่ำกว่า 100 หรือ 50 หรือ 10) ข้อ จำกัด แทนจะทำให้ความซับซ้อนของเวลาขึ้นอยู่กับจำนวนหลักของเช่นเดียวกับ ส่วนการทดลองซึ่งเป็นเลขยกกำลัง$w_j$

ดังนั้นใช่โปรแกรมจำนวนเต็มดังกล่าวข้างต้นยังคง NP-ยากแม้เมื่อแบ่งสำหรับทุกJw j + 1$w_j$$w_{j+1}$$j$ และนี่เป็นสิ่งที่สังเกตได้ง่าย

ตัวอย่างที่ 1:ให้และเป็นพลังของสอง เนื่องจากค่าคงที่สองปัญหาทั้งหมดจะได้รับการแก้ไขในเวลากำลังสองตามที่ตัวอย่างของคุณแสดง น้ำหนักไม่สุ่มและดังนั้นการคำนวณจะถูกแก้ไขอย่างมีประสิทธิภาพw $n = 1$$w_p$

ตัวอย่าง 2:ให้ถูกกำหนดเป็นโดยที่คือจำนวนเฉพาะที่สอดคล้องกับเช่นนั้นJ นี้มีผลบังคับใช้เป็นแบ่งสำหรับทุกJเราได้รับในแต่ละเป็นผลิตภัณฑ์ของจำนวนเฉพาะทั้งหมดขึ้นอยู่กับเจค่าของน้ำหนักหน่วยเพิ่มเป็นเช่น:... เนื่องจากมีข้อ จำกัด (~ W J * พีพีเจพี= 2 , J = 1 : P = 3 , J = 2 , P = 5 , J = 3 , P = 7 , J = 4 , . . , P , J w j w j + 1 j w j j 1 $w_{j+1}$$w_j * p$$p$$j$$p=2, j=1: p=3, j=2, p=5, j=3, p=7, j=4,...,P, J$$w_j$$w_{j+1}$$j$$w_j$$j$p j j l $1, 2, 6, 30, 210, 2310, 30030, ...$$p_j$$j log (j)$ผ่านทางทฤษฎีจำนวนเฉพาะ) เนื่องจากผลหารเป็นจำนวนเฉพาะเราได้รับความซับซ้อน NP-Intermediate

ตัวอย่างที่ 3:ให้กำหนดเป็นที่เป็นจำนวนเฉพาะการสุ่มเลือกจากสองอินฟินิตี้ที่สอดคล้องกับเจนี้ใช้ได้กับปัญหานี้เป็นแบ่งสำหรับทุกJเราได้รับ 5 บวกลบคูณหารแรก (สุ่มตกจากสองถึงอินฟินิตี้) เช่น2 เราเห็นว่าแม้ในบอลลูกที่ 5 น้ำหนักจะมีตัวเลขสิบเอ็ดหลัก โชคดีที่เชาวน์ที่ห้าเป็นสองและไม่เป็นจำนวนเฉพาะในลำดับที่หรือใหญ่กว่า w j ∗ R p R p j w j w j + 1 j 101 , 2657 , 7 , 3169 , $w_{j+1}$$w_j * R_p$$R_p$$j$$w_j$$w_{j+1}$$j$$101, 2657, 7, 3169, 2$$10^{100}$

ตัวอย่างสามข้างต้นเป็นสิ่งที่เกิดขึ้นเมื่อไม่ได้กระโดด (น้ำหนักสุ่ม) โดยพหุนามที่สอดคล้องกับฉันความซับซ้อนของเวลานั้นเพิ่มขึ้นอย่างมากคือ NP-Hard สำหรับบางมุมมองให้เพิ่มน้ำหนักทั้งหมดดูว่าเหมาะสมหรือไม่ แต่ไม่มีวิธีการแก้ปัญหาที่จะแก้ปัญหาได้เร็วขึ้นอย่างมีนัยสำคัญโดยการทำให้น้ำหนักหารได้ง่ายกว่าการลองชุดย่อยแต่ละอันเพื่อดูว่ามันทำงานได้หรือไม่ หลังจากผ่านไปสักสองสามลูกคุณยังคงเข้าสู่อาณาจักรของชุดย่อยหรือหลักล้านล้าน$w_j$$i$