ใช้จำนวนการแลกเปลี่ยนขั้นต่ำเพื่อให้แต่ละถังขยะมีลูกบอลที่มีสีเดียวกัน

มีถังขยะที่ฉัน bin TH ประกอบด้วยฉันลูก ลูกได้nสีมีฉันลูกที่มีสีผม Let เมตร= Σ n ฉัน= 1ฉัน$n$$i$$a_i$$n$$a_i$$i$$m=\sum_{i=1}^n a_i$

การสลับจะใช้ลูกบอลจากหนึ่งช่องและสลับกับลูกบอลจากอีกช่องหนึ่ง เราต้องการจำนวน swaps ขั้นต่ำที่แต่ละ bin มีเพียงลูกที่มีสีเดียวกัน

ฉันรู้ว่ากรณีพิเศษง่ายฉัน ≤ 2สำหรับฉัน (ถ้าฉัน = 2สำหรับฉันแล้วคุณยังสามารถทำมันได้โดยการเปลี่ยนแต่ละลูกที่มากที่สุดครั้งหนึ่ง.)$a_i\leq 2$$i$$a_i=2$$i$

แก้ไข : สิ่งนี้ผิดเพราะการค้นหานั้นยากมาก$c(D)$

ถ้าเรารู้ว่าสีใดไปที่ถังขยะปัญหานั้นง่าย

พิจารณาหลายเดี่ยว , V = { โวลต์1 , ... , V n } ถ้าเรารู้ว่าสีผมไปที่ bin b ( i )แล้วก็มีkส่วนโค้งขนาน( j , b ( i ) )ในA iff bin jมีkลูกบอลสี$D=(V,A)$$V=\{v_1,\ldots,v_n\}$$i$$b(i)$$k$$(j,b(i))$$A$$j$$k$$i$. แต่ละองค์ประกอบของกราฟคือ Eulerian จำนวนขั้นต่ำของการแลกเปลี่ยนต้องมีที่ค( D )คือจำนวนของส่วนโค้งรอบเคลื่อนที่ครอบคลุม เราสามารถสลับโดย "ติดตาม" วงจรออยเลอร์ (การสลับโดยใช้ส่วนโค้งของรอบที่น้อยที่สุดสามารถเปลี่ยนเป็นวงรอบที่เล็กที่สุดและห่วงตัวเอง) เมื่อกราฟทั้งหมดถูกตั้งค่าเป็นลูปตัวเองเราได้ทำการสลับที่จำเป็นทั้งหมด$m-c(D)$$c(D)$$A$

ปัญหานี้ยากมากแค่ไหน?

การสลายตัวสูงสุดของ Eulerian กำกับกราฟเข้าไปในขอบรอบเคลื่อนเป็น NP-ฮาร์ดอย่างน้อยตามที่หนังสือเล่มนี้: อัลกอริทึมและการประยุกต์ใช้: บทความที่อุทิศตนเพื่อ Esko Ukkonen เนื่องในโอกาสวันเกิดครบรอบ

ครับนี่คือบทความที่มีความเกี่ยวข้องกับปัญหาที่คุณดูเหมือนจะพยายามที่จะแก้: อัลกอริทึม asymptotically ดีที่สุดสำหรับขั้นตอนวิธีธงดัตช์แห่งชาติ

$n \le 6$