เหตุใดการลดขนาด NFA จึงเป็นปัญหายากเมื่อการย่อขนาด DFA ไม่ได้

14

ฉันรู้ว่าเราสามารถลด DFAs ได้ด้วยการค้นหาและผสานสถานะเทียบเท่า แต่ทำไมเราไม่ทำเช่นเดียวกันกับ NFA ฉันไม่ได้มองหาข้อพิสูจน์หรืออะไรแบบนั้น - เว้นแต่จะพิสูจน์ได้ง่ายกว่าที่จะเข้าใจ ฉันแค่ต้องการที่จะเข้าใจอย่างถ่องแท้ว่าเหตุใดการลดขนาด NFA จึงเป็นเรื่องยากเมื่อ DFA ย่อขนาดไม่

complexity-theory finite-automata nondeterminism

— ดันแคน
แหล่งที่มา

8

สำหรับ DFA นั้นมีโครงสร้างเกี่ยวกับพีชคณิตที่ดีซึ่งกำหนดว่ารัฐใดที่สามารถเทียบเท่าได้ความเท่าเทียมกันของ Myhill-Nerode บนสตริงนั้นเกี่ยวข้องกับการย่อขนาด DFA

สำหรับ NFA สถานการณ์มีความซับซ้อนเนื่องจากไม่มีNFA ขั้นต่ำที่ไม่ซ้ำกันโดยทั่วไป

นี่คือตัวอย่างสำหรับภาษาแน่นอน\} ออโตมาตาทั้งสองแบบนั้นมีขนาดเล็กที่สุด ตัวอย่างมาจากกระดาษA หมายเหตุเกี่ยวกับออโตมาตาแบบไม่กำหนดค่าน้อยที่สุดโดย Arnold, Dicky และ Nivat $\{ ab, ac, bc, ba, ca, cb\}$

สอง NFA สำหรับภาษาเดียวกัน

คำตอบนี้พยายามแสดงความจริงที่ว่าปัญหาสองอย่างนั้นต่างกัน "ทางเทคนิค" ดูคำตอบโดย vzn เพื่อดูรายละเอียดว่าปัญหาแตกต่างกันอย่างไรในความซับซ้อนในการคำนวณ

— เฮนดริค ม.ค.
แหล่งที่มา

8

ทั้งเส้นทางที่สั้นที่สุดและปัญหาต้นไม้ที่ทอดยาวที่สุด (เสมอ) ไม่มีวิธีแก้ปัญหาที่เป็นเอกลักษณ์ แต่ก็ยังสามารถแก้ไขได้อย่างมีประสิทธิภาพ

— กราฟิลส์

5

คุณถามเกี่ยวกับการใช้งานง่าย

ใน DFA คำนำหน้าอินพุตใด ๆ ที่กำหนดสามารถเข้าถึงได้มากที่สุดเพียงหนึ่งสถานะ จากนั้นหนึ่งสามารถผสานคู่ของสถานะที่แยกไม่ออกสำหรับส่วนต่อท้ายใด ๆ สถานะที่สามารถแยกความแตกต่างด้วยคำต่อท้ายบางอย่างไม่สามารถผสาน สิ่งนี้นำไปสู่ออโตเมติกน้อยที่สุดนั่นคือ isomorphic กับออโตเมติกขั้นต่ำอื่น ๆ ทั้งหมด

$pq$ $p$ $P$ $P$ $q$ $Q$ $P$ $q$ $P$ $Q$

$n$ $2^n$

— András Salamon
แหล่งที่มา

1

$O(ns \log n)$

ดูคำถาม TCS.se นี้ในการคำนวณ NFA ขั้นต่ำสำหรับ DFA

— vzn
แหล่งที่มา

ฉันไม่รู้วิธีกำหนดยาก แต่ฉันหมายความว่าไม่มีอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพสำหรับการแก้ไข

— Duncan

@duncan ok แล้วคุณใช้คำในความหมายทางเทคนิค ดังนั้นจึงมีการชี้แจงเกี่ยวกับความแข็งทางเทคนิค ใน CS "ประสิทธิภาพ" เป็นคำศัพท์ทางเทคนิคที่ใช้ / นิยามเช่นเดียวกับ PTime ดังนั้นคำถามของคุณเกี่ยวข้องกับคำถามเปิดที่สำคัญใน TCS ซึ่งเป็นที่สงสัยกันอย่างกว้างขวาง / กำหนดว่าการลดปัญหา NFA (รวมถึงปัญหาทั้งหมดที่สมบูรณ์ของ PSpace) นั้นแท้จริงแล้วคือ "ยาก" คือไม่ใช่ใน P แต่ยังไม่ได้รับการพิสูจน์

— vzn