จักรวาลในทฤษฎีชนิดพึ่งพา

11

ฉันกำลังอ่านเกี่ยวกับทฤษฎีประเภทพึ่งพาในหนังสือออนไลน์ทฤษฎีประเภทโฮโมโทรป

ในส่วนที่ 1.3 ของทฤษฎีประเภทบทจะแนะนำแนวคิดของลำดับชั้นของจักรวาล :โดยที่ $\mathcal{U}_0 : \mathcal{U}_1 : \mathcal{U}_2 : \cdots$

ทุกจักรวาลเป็นองค์ประกอบของจักรวาลถัดไป1} ยิ่งกว่านั้นเราคิดว่าเอกภพของเราสะสมนั่นคือองค์ประกอบทั้งหมดของจักรวาลเป็นองค์ประกอบของจักรวาล $\mathcal{U}_i$ $\mathcal{U}_{i+1}$ $i^{\mathrm{th}}$ $(i+1)^{\mathrm{th}}$

แต่เมื่อฉันดูกฎการก่อตัวของประเภทต่าง ๆ ในภาคผนวก A ในแวบแรกถ้าจักรวาลปรากฏขึ้นเหนือแถบเป็นหลักฐานจักรวาลเดียวกันจะปรากฏขึ้นด้านล่าง ตัวอย่างเช่นกฎการสร้างประเภท coproduct:

\frac{Γ ⊢ A : U_{i} Γ ⊢ B : U i}{Γ ⊢ A + B : U_{i}} (+ - F O R M)

$\dfrac{\Gamma \vdash A : \mathcal{U}_i \quad \Gamma \vdash B : \mathcal{U}i}{\Gamma \vdash A + B : \mathcal{U}_i}(+\mbox{-}FORM)$

ดังนั้นคำถามของฉันคือทำไมลำดับชั้นจึงจำเป็น? ภายใต้สถานการณ์ใดบ้างที่คุณต้องกระโดดจากเอกภพไปยังลำดับที่สูงกว่า มันเป็นเรื่องที่ไม่ชัดเจนกับผมว่าได้รับการรวมกันของใด ๆคุณสามารถจบลงด้วยประเภทที่เป็นไม่ได้ใน\ในรายละเอียดเพิ่มเติม: กฎการก่อตัวในส่วนของภาคผนวก A.2.4, A.2.5, A.2.6, A.2.7, A.2.8, A.2.9, A.2.10, A.3.2 ทั้งพูดถึงในสถานที่และการตัดสินหรือเพียงแค่ในการตัดสิน $A_m: \mathcal{U}_i$ $B$ $\mathcal{U}_i$ $\mathcal{U}_i$

หนังสือเล่มนี้ยังบอกเป็นนัยว่ามีวิธีที่เป็นทางการในการมอบหมายจักรวาล:

หากมีข้อสงสัยเกี่ยวกับว่าข้อโต้แย้งนั้นถูกต้องหรือไม่วิธีการตรวจสอบก็คือพยายามกำหนดระดับอย่างสม่ำเสมอให้กับทุกจักรวาลที่ปรากฏอยู่ในนั้น

กระบวนการกำหนดระดับอย่างสม่ำเสมอเป็นอย่างไร

$\mathcal{U}:\mathcal{U}$ จะนำไปสู่ความขัดแย้งรัสเซล การหลีกเลี่ยงความขัดแย้งของรัสเซลนั้นถูกกล่าวถึงอย่างชัดเจนในหนังสือ (หน้า 24) มันยังมีรายละเอียดเพิ่มเติมหน้า 54, 55 ที่ใช้“ จักรวาลสไตล์รัสเซล” มากกว่า“ จักรวาลสไตล์ทาร์สกี” ดังนั้นในระดับที่สูงมากฉันยอมรับว่าทฤษฎีต้องการหลีกเลี่ยงความขัดแย้ง น่าเสียดายที่ฉันไม่มีภูมิหลังที่จะทำให้เข้าใจได้โดยตรง สิ่งที่ฉันตามมาในคำถามนี้เป็นเพียงรอยขีดข่วนพื้นผิวโดยรับตัวอย่างของสิ่งต่าง ๆ ในและไม่ใช่ในสำหรับและอาจเป็นอะไรก็ได้ที่ให้ความรู้สึกแก่ฉัน สำหรับการทำงานของลำดับชั้น $\mathcal{U}_j$ $\mathcal{U}_i$ $j > i$

type-theory homotopy-type-theory dependent-types

— huynhjl
แหล่งที่มา

1

@huynhjl การใช้จักรวาลไม่จำเป็นต้องหลีกเลี่ยงความขัดแย้งตัวอย่างเช่นทั้งทฤษฎีเซต ZF และ NF ของควินไม่เลือกใช้พื้นฐานทางคณิตศาสตร์สองทางเลือก จักรวาลเป็นวิธีที่สะดวกในการหลีกเลี่ยงความขัดแย้ง (หรือเราหวังว่า) ในขณะเดียวกันก็มีความสามารถในการสร้างประเภทที่แสดงออกอย่างมาก

— Martin Berger

14

คำถามภายใต้สถานการณ์ที่เราจำเป็นต้องกระโดดจากเอกภพไปยังที่สูงกว่าในลำดับชั้นคือคำถามที่ดี การมีลำดับชั้นและความสามารถในการปีนมันเป็นสิ่งสำคัญ คุณต้องข้ามระดับเมื่อคุณต้องการปฏิบัติต่อจักรวาลในรูปแบบหรือเป็นส่วนหนึ่งของประเภท ตัวอย่างเช่นเพื่อกำหนดฟังก์ชั่นของ (ไม่ขึ้นกับ) ประเภท คุณต้องแสดงว่าอยู่ในจักรวาล แต่นั่นไม่สามารถเป็น หรือจักรวาลเล็ก ๆ ดังนั้นสิ่งที่เราจะทำ? ในการจัดการกับปัญหา (โดยไม่ใช้ ) โดยไม่จำเป็นเราจะต้องกระโดดขึ้นไปบนจักรวาล กฎที่ทำให้เราสามารถกระโดดได้คือ -Intro

A \to U_{i}

$A \rightarrow \mathcal{U}_i$

A \to U_{i}

$A \rightarrow \mathcal{U}_i$

U_{i}

$\mathcal{U}_i$

U_{i} : U_{i}

$\mathcal{U}_i : \mathcal{U}_i$

U

$\mathcal{U}$

\frac{⊢ Γ : c t x}{Γ ⊢ U_{i} : U_{i + 1}},

$\frac{\vdash \Gamma : ctx}{\Gamma \vdash \mathcal{U}_i : \mathcal{U}_{i+1}},$ ให้ไว้ในภาคผนวก A.2.3 จุดสำคัญของลำดับชั้นของจักรวาลคือเราสามารถทำได้ สิ่งนี้สามารถมองได้ว่าเป็นการประมาณที่ปลอดภัยของการมีจักรวาลบรรจุตัวเอง

— มาร์ตินเบอร์เกอร์
แหล่งที่มา

12

ฉันออกไปเล็กน้อยจะแก้ไขคำตอบมาร์ตินจะอธิบายที่cumulativityมาใน (กฎที่บอกว่าและตกทอด ) สมมติว่าเรามีและเราต้องการที่จะให้ชนิดไปยัง{99} กฎการก่อตัวของคือ: (หากเป็นชวเลขสำหรับจากนั้นกฎข้างต้นอาจได้มาจากกฎการสร้างสำหรับ $X : \mathcal{U}_i$ $i \leq j$ $X : \mathcal{U}_j$ $A : \mathcal{U}_{42}$ $A \to \mathcal{U}_{99}$ $\to$

\frac{Γ ⊢ X : U_{i} Γ ⊢ Y : U_{i}}{Γ ⊢ (X \to Y) : U_{i}}

$\frac{\Gamma \vdash X : \mathcal{U}_i \qquad \Gamma \vdash Y : \mathcal{U}_i}{\Gamma \vdash (X \to Y) : \mathcal{U}_i}$

X \to Y

$X \to Y$

Π_{x : X} Y

$\Pi_{x : X} Y$

Π

$\Pi$ แต่ให้เราไม่ต้องกังวลกับมัน) ในการใช้กฎนี้ทั้งสองประเภทที่เกี่ยวข้องกับการก่อตัวของประเภทฟังก์ชั่นจะต้องอยู่ในจักรวาลเดียวกัน ในกรณีที่เรามีในและใน{100} ดังนั้นก่อนอื่นเราใช้ cummulativity เพื่ออนุมานว่าเช่นกันแล้วดำเนินการต่อเพื่อแสดงว่ามีประเภท100}

A

$A$

U_{42}

$\mathcal{U}_{42}$

U_{99}

$\mathcal{U}_{99}$

U_{100}

$\mathcal{U}_{100}$

A : U_{100}

$A : \mathcal{U}_{100}$

A \to U_{99}

$A \to \mathcal{U}_{99}$

U_{100}

$\mathcal{U}_{100}$

เราสามารถกำจัด cummulativity ได้ แต่จากนั้นกฎก็ซับซ้อนขึ้น ยกตัวอย่างเช่นการก่อตัวของจะอ่าน หรือ ในกรณีใดทฤษฎีการพิมพ์มีการเปลี่ยนแปลงมากมายและทำให้พวกเขาเล่นด้วยกันอย่างสวยงาม เป็นงานศิลปะ $\to$

\frac{Γ ⊢ X : U_{i} Γ ⊢ Y : U_{j}}{Γ ⊢ (X \to Y) : U_{max (i, j)}}

$\frac{\Gamma \vdash X : \mathcal{U}_i \qquad \Gamma \vdash Y : \mathcal{U}_j}{\Gamma \vdash (X \to Y) : \mathcal{U}_{\max(i,j)}}$

\frac{Γ ⊢ X : U_{i} Γ ⊢ Y : U_{j} i \leq k j \leq k}{Γ ⊢ (X \to Y) : U_{k}}

$\frac{\Gamma \vdash X : \mathcal{U}_i \qquad \Gamma \vdash Y : \mathcal{U}_j \qquad i \leq k \qquad j \leq k}{\Gamma \vdash (X \to Y) : \mathcal{U}_k}$

— Andrej Bauer
แหล่งที่มา