Logical Min-Cut NP-Complete หรือไม่

นิยามปัญหา Logical Min Cut (LMC)

สมมติว่าเป็นเดี่ยวชั่ง,และมีสองจุดของและสามารถเข้าถึงได้จากsการศึกษา LMC ปัญหาว่าเราสามารถทำให้ไม่สามารถเข้าถึงได้จากโดยการกำจัดของขอบบางส่วนของต่อไปนี้ข้อ จำกัด ต่อไปนี้:$G = (V, E)$$s$$t$$V$$t$$s$$t$$s$$G$

1. จำนวนของขอบที่ถูกลบจะต้องน้อยที่สุด
2. เราไม่สามารถลบขอบทางออกทุกจุดยอดของใด ๆ(กล่าวคือไม่มีจุดยอดที่มีขอบขาออกสามารถลบขอบขาออกทั้งหมดได้)$G$

ข้อ จำกัด ที่สองนี้เรียกว่าการลบแบบลอจิคัล ดังนั้นเราจึงมองหาตรรกะกำจัดน้อยที่สุดของขอบของบางดังกล่าวว่าจะไม่สามารถเข้าถึงได้จากs$G$$t$$s$

ความพยายามในการแก้ไขปัญหา

หากเราเพิกเฉยต่อข้อ จำกัด การกำจัดแบบลอจิคัลของปัญหา LMC มันจะเป็นปัญหาขั้นต่ำในการขุดกราฟที่ไม่ได้ถ่วงดังนั้นมันจะสามารถแก้ไขได้แบบพหุนาม (ทฤษฎีบทสูงสุดการไหลแบบไม่ไหล)$G$

ถ้าเราไม่สนใจข้อ จำกัด น้อยที่สุดของการกำจัดปัญหา LMC ก็จะแก้ปัญหาได้ polynomially อีกครั้งใน DAG: การหาจุดสุดยอดดังกล่าวว่าสามารถเข้าถึงได้จากและไม่สามารถเข้าถึงได้จากkแล้วพิจารณาเส้นทางซึ่งเป็นเส้นทางจากพลเพื่อkตอนนี้พิจารณาเส้นทางเป็น subgraph ของ : คำตอบจะขอบทุกทางออกของ subgraph พีเป็นที่ชัดเจนว่าจุดยอดสามารถพบได้โดย DFS ในในเวลาพหุนาม น่าเสียดายที่อัลกอริทึมนี้ใช้งานไม่ได้$k$$k$$s$$t$$k$$p$$s$$k$$p$$G$$p$$k$$G$ สำหรับกราฟกำกับโดยตรง

ฉันพยายามที่จะแก้ปัญหา LMC ด้วยเทคนิคการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิก แต่จำนวนสถานะที่จำเป็นสำหรับการแก้ปัญหากลายเป็นสิ่งที่อธิบาย ยิ่งไปกว่านั้นฉันพยายามลดปัญหา NP-Complete เช่น 3-SAT, max2Sat, max-cut และ clique สำหรับปัญหา LMC ที่ฉันไม่ได้จัดการเพื่อหาการลดลง

โดยส่วนตัวผมคิดว่าปัญหา LMC นั้นคือ NP-Complete แม้ว่าเป็นไบนารี DAG (เช่น DAG ที่ไม่มีโหนดใดที่มีระดับเกินกว่า 2)$G$

คำถาม

1. ปัญหา LMC NP-Complete ในกราฟย่อยโดยพลการหรือไม่? (คำถามหลัก)$G$
2. ปัญหา LMC NP-Complete ใน DAG โดยพลการ$G$หรือไม่
3. ปัญหา LMC NP-Complete ใน DAG ตามอำเภอใจ$G$หรือไม่

ให้ G = (V, E) เป็น DAG แบบถ่วงน้ำหนัก, s และ t เป็นจุดยอดสองจุดของ G, และ LSTMC = (G, s, t) เป็นตัวอย่างของปัญหาลอจิคัล st min-cut เห็นได้ชัดว่าปัญหา LSTMC คือ NP ตอนนี้เราควรแสดงให้เห็นว่า LSTMC เป็น NP-Hard เราลดปัญหาการกดปุ่มตั้งค่าเป็นปัญหา LSTMC ให้ S = {s1, s2, ... , sn} เป็นเซตที่กำหนดและ {a1, a2, ... , am} เป็นสหภาพของเซตทั้งหมด ระบุหมายเลข k1 ปัญหาการตัดสินใจของปัญหาชุดการกดปุ่มระบุว่ามีชุด A ที่มีองค์ประกอบ k1 เช่นนั้นทุกองค์ประกอบของ S (ทุกชุด si st i = 1..n) มีองค์ประกอบอย่างน้อยหนึ่งตัวของ A. เรา แสดงว่าชุดปัญหาการกดปุ่มเป็น HS (S) เราสร้าง DAG G weight ถ่วงน้ำหนักจากชุด S โดยอัลกอริทึม HS2LSTMC อัลกอริทึมนี้พิจารณาว่าเป็นจุดสุดยอดต้นทางของ DAG G ′ สำหรับแต่ละชุดของ HS st i = 1..n อัลกอริทึมจะพิจารณาจุดสุดยอดที่สอดคล้องกัน si และเพิ่มขอบด้วยน้ำหนักอนันต์จาก s ถึงแต่ละ si จากนั้นสำหรับแต่ละองค์ประกอบ aj ของสหภาพของชุดอินพุต st j = 1..m อัลกอริทึมจะพิจารณาจุดสุดยอดที่สอดคล้องกัน aj และเพิ่มขอบด้วยศูนย์น้ำหนักจากแต่ละ si ไปยัง aj st aj ∈siใน HS ในที่สุดอัลกอริทึมจะพิจารณาจุดยอดสุดท้ายสองจุดที่เรียกว่า t และ k และเพิ่มขอบสองจุดจากแต่ละ aj st j = 1..m ไปยังจุดยอดสุดท้ายทั้งสอง เป็นที่ชัดเจนว่า G ′สามารถทำในเวลาพหุนาม

ตอนนี้เราควรแสดงให้เห็นว่า HS (S) มีคำตอบด้วยองค์ประกอบ k1 หาก LSTMC = (G ′, s, t) มีคำตอบที่มีขอบลบออกทางตรรกะเช่นผลรวมของน้ำหนักของขอบลบคือ k1

เพื่อความง่ายเราทำการพิสูจน์ส่วนนี้โดยแสดงตัวอย่าง:

ในรูปต่อไปนี้สมมติว่า S = {s1, s2, s3} เช่นนั้น s1 = {1, 2, 3}, s2 = {1, 4} และ s3 = {2, 5} รูปที่ 2 แสดง DAG G ′ที่ถ่วงน้ำหนักของปัญหา LSTMC ที่สอดคล้องกับปัญหาชุดการกด h (S) ในตัวอย่างนี้ชุด A คือสหภาพขององค์ประกอบทั้งหมดของ S คือ A = {1, 2, 3, 4, 5} เรามี | S | = 3 และ | A | = 5. ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นว่าอินสแตนซ์ตามอำเภอใจของปัญหาชุดการกดสามารถแก้ไขได้โดยความช่วยเหลือของอินสแตนซ์เฉพาะของปัญหาการตัดลอจิกขั้นต่ำใน DAG แบบถ่วงน้ำหนัก หากเราคำนวณคำตอบให้กับ LSTMC = (G ′, s, t) และพิจารณาขอบที่ลบออกของคำตอบซึ่งอยู่ในรูปของ (aj, t) เรียกว่า E1 (1 ≤ j ≤ m) จากนั้นชุดหางของ E1 คือคำตอบของ HS (S) คำตอบสำหรับปัญหา LSTMC คือชุดขอบ E1 = {(s1, 2), (s1, 3), (s2, 4), (s3, 5), (1, t), (2, t)} ดังนั้นชุดหางของชุดย่อย E2 = {(1, t), (2,

$G$

คำตอบนี้ตอบคำถาม # 3 (ขออภัยสำหรับความยุ่งเหยิงในการเขียนล่วงหน้า :))

$s$$s$$t$

$A$$B$$v \in G-\{s, t\}$

$v$$t$$v$$A$$v$$B$

$A$$B$$s$$A$$A$$t$$A$$B$$B$$t$

$A$$\{a^*\}$$A$

$a^*$$a^*$$t$$s$$t$$a^*$$a^*$$B$$A$$a^*$$A$$a^*$$A$$t$

$\{a^*\}$$B$$\{a^*\}$$t$$a^*\rightarrow t$

$|\{a^*\}|$$a^*\rightarrow t$$s$$t$$a^*$$t$$a^*$$a^*\rightarrow t$

$|\{a^*\}|$$\{a^*\}\rightarrow t$$k < |\{a^*\}|$$A$$s$$\{a^*\}$$t$

$G$

$\{a^*\}$

$\{a^*\}$$B$

$\{a^*\}$$\{a^*\}$$t$$\{a^*\}$

$\{a^*\}$$\{a^*\}$

$\{a^*\}$$t$$s$

$\{a^*\}$

$\{a^*\}$$t$$\{a^*\}$$t$$s$$t$$s$

$A$

$O(|E|)$$O(|E|^2)$$O(|E|)$.

$O(|V|\cdot(|V|+|E|))$$O(|V|^3)$$O(|E|^2)$$O(|V|^2+|E||V|+|V|^3+|E|^2) = {\bf O(|V|^3+|E|^2)}$

$s$$t$