ความสมบูรณ์ของ coNP แสดงถึงความแข็งของ NP หรือไม่?

ความสมบูรณ์ของ coNP แสดงถึงความแข็งของ NP หรือไม่? โดยเฉพาะอย่างยิ่งฉันมีปัญหาที่ฉันแสดงให้เห็นว่าเป็น coNP-complete ฉันสามารถอ้างว่าเป็น NP-hard ได้หรือไม่ ฉันรู้ว่าฉันสามารถเรียกร้องความแข็ง coNP ได้ แต่ฉันไม่แน่ใจว่าคำศัพท์นั้นเป็นมาตรฐานหรือไม่

ฉันสบายใจกับการกล่าวอ้างว่าหากปัญหา NP-complete เป็นของ coNP ดังนั้น NP = coNP อย่างไรก็ตามการบรรยายเหล่านี้ระบุว่าหากปัญหา NP-hard เป็นของ coNP ดังนั้น NP = coNP นี่จะแนะนำว่าฉันไม่สามารถอ้างได้ว่าปัญหาของฉันคือ NP-hard (หรือว่าฉันได้พิสูจน์ coNP = NP ซึ่งฉันสงสัยอย่างมาก)

บางทีอาจมีบางอย่างผิดปกติกับความคิดของฉัน ความคิดของฉันคือปัญหาที่ทำให้เสร็จสมบูรณ์ของ coNP นั้นคือปัญหา NP-hard เพราะ:

ทุกปัญหาใน NP สามารถลดลงเป็นส่วนเสริมซึ่งจะเป็นของ coNP
ปัญหาส่วนเติมเต็มใน coNP ลดปัญหา coNP-complete ของฉัน
ดังนั้นเราจึงลดปัญหาทุกปัญหาใน NP เป็น coNP ที่สมบูรณ์ของฉันดังนั้นปัญหาของฉันคือ NP-hard

complexity-theory np-hard

— ออสตินบูคานัน
แหล่งที่มา

พูดไม่ออก! อย่างน้อยขึ้นอยู่กับความรู้ในปัจจุบัน คำถามนั้นเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับ P =? NP (หรือ coNP อย่างเข้มงวดมากขึ้น =? NP ซึ่งเปิดอยู่ด้วย) โปรดทราบว่าถ้า coNP ≠ NP ได้รับการพิสูจน์แล้ว P ≠ NP ก็จะได้รับการพิสูจน์เพราะ P ถูกปิดภายใต้ส่วนประกอบ

— vzn

คำตอบ:

คุณอ้างว่าทุกปัญหาใน NP สามารถลดลงเป็นส่วนเสริมได้และนี่เป็นความจริงสำหรับการลดทอนของทัวริง แต่อาจไม่ใช่สำหรับการลดลงหลายครั้ง การลดลงหลายตัวจากเพื่อเป็นฟังก์ชัน polytimeเช่นว่าทุก , IFFL_2 $L_1$ $L_2$ $f$ $x$ $x \in L_1$ $f(x) \in L_2$

หากปัญหาบางใน coNP เป็น NP-ยากแล้วสำหรับภาษาใดจะมีฟังก์ชั่น polytimeเช่นว่าทุก , IFFL เนื่องจากอยู่ใน coNP สิ่งนี้จะให้อัลกอริทึม coNP สำหรับซึ่งแสดงว่า NP coNP และ NP coNP นักวิจัยส่วนใหญ่ไม่คาดหวังว่าสิ่งนี้จะเป็นจริงและปัญหาใน coNP อาจไม่ใช่ปัญหายาก $L$ $M \in NP$ $f$ $x$ $x \in M$ $f(x) \in L$ $L$ $M$ $\subseteq$ $=$

เหตุผลที่เราใช้ Karp Reduction แทน Turing Reduction คือเพื่อให้เราสามารถแยกแยะระหว่างปัญหา NP-hard และ coNP-hard ดูคำตอบนี้สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม (การลดทัวริงเรียกว่าการลด Cook ในคำตอบนั้น)

ในที่สุด coNP-hard และ coNP-complete เป็นคำศัพท์มาตรฐานและคุณสามารถใช้มันได้ฟรี

— Yuval Filmus
แหล่งที่มา

"แต่ไม่ใช่สำหรับการลดจำนวนครั้งเดียว" - ไม่ใช่ปัญหาในการตัดสินใจตรงที่เราไม่รู้ว่ามีการลด Karp จาก ( )ภาษาของส่วนเติมเต็มหรือไม่

NP \overset{?}{=} coNP

$\text{NP} \overset{?}{=} \text{coNP}$

co

$\text{co}$

NP

$\text{NP}$

— G. Bach

ถูกต้องและนั่นก็เป็นสิ่งที่ฉันแสดงในคำตอบ เมื่อฉันกล่าวว่ามันไม่เป็นความจริงสำหรับการลดลงหลายครั้งฉันไม่ได้หมายความอย่างสมเหตุสมผล แต่ในแง่ที่ว่า "การลดลงที่คุณคิดคือการลดทอน แต่ไม่ใช่การลดลงหลายครั้ง" .

— Yuval Filmus

โอ้ไม่เป็นไรใช่ว่าอาจเป็นปัญหา

— G. Bach

ขอบคุณ การอ้างอิงที่ดีสำหรับสิ่งนี้คืออะไร โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับ "NP = coNP ภายใต้การลด Cook แต่เป็นความคิดที่ว่าพวกเขาแตกต่างกัน WRT ลดลง Karp"?

— Austin Buchanan

เชื่อว่า NP แตกต่างจาก coNP ค่อนข้างแพร่หลาย บางครั้งมันเกิดจากสตีเฟ่นคุก NP-hardness นั้นเหมือนกับ coNP-hardness ภายใต้ Cook Reduction ดังนี้หลังจากคำจำกัดความ

— Yuval Filmus

ปัญหาของการใช้เหตุผลในบรรทัดนั้นเป็นขั้นตอนแรก ในกรณีที่กำหนดขึ้นมาคุณสามารถตัดสินใจด้วย TM iff คุณสามารถตัดสินใจด้วยเพราะวิธีที่จะทำคือเพียงแค่เอาท์พุทบิตของเนื่องจากเอาท์พุทมันขึ้นอยู่กับ (ถ้าเราเปรียบเทียบกับคำจำกัดความการตรวจสอบของ ) $x \in L$ $\text{M}$ $x \notin \overline{L}$ $\text{M}$ $x$ $NP$

ในกรณี nondeterministic โดยใช้คำจำกัดความของตัวตรวจสอบว่าไม่รู้ว่าคุณสามารถสร้างตรวจสอบจากตรวจสอบหรือในทางกลับกันและปัญหาคือพวกมันมีปริมาณที่แตกต่างกันในคำจำกัดความที่ เครื่องตรวจสอบจะต้องปฏิบัติตาม ให้จากนั้นเรามี verifier DTMเช่นนั้น: $\text{NP}$ $\text{coNP}$ $L \in \text{coNP}$ $\text{M}$

x \in L ⟺ \forall z \in {0, 1}^{p (| x |)} : M (x, z) = 1

$x \in L \iff \forall z \in \{0,1\}^{p(|x|)}:\text{M}(x,z) = 1$

สำหรับ verifierจะต้องปฏิบัติตาม $\overline{L}$ $\text{M'}$

x \in \bar{L} ⟺ \exists z \in {0, 1}^{q (| x |)} : M' (x, z) = 1

$x \in \overline{L} \iff \exists z \in \{0,1\}^{q(|x|)}:\text{M'}(x,z) = 1$

ทำไมเราไม่สามารถใช้ -verifierของ languageเพื่อสร้าง --verifierสำหรับ ? ปัญหาคือ -quantifier ที่จำเป็นต้องมี -verifier -verifierอาจทำให้คุณสำหรับบาง (ผิด) ใบรับรองแม้สำหรับดังนั้นคุณจึงไม่สามารถไปจากเพื่อ\ $\text{NP}$ $\text{M'}$ $\text{K}$ $\text{coNP}$ $\text{M}$ $\text{K}$ $\forall$ $\text{coNP}$ $\text{NP}$ $\text{M'}$ $0$ $x \in \text{K}$ $\exists$ $\forall$

อาจเป็นนามธรรมมากกว่า: ยังไม่ชัดเจนว่าจะสร้าง (ในเวลาพหุนาม) เครื่องที่รับรู้องค์ประกอบของภาษาโดยไม่คำนึงถึงใบรับรองที่มาพร้อมกับพวกเขาจากเครื่องที่รับรู้ถึงองค์ประกอบของภาษาที่มีใบรับรองบางอย่างสำหรับ แต่บางใบรับรองก็ไม่ทำงานเช่นกัน

— จี. บาค
แหล่งที่มา

อย่างไรก็ตามเป็นที่ทราบกันดีว่า NL = coNL, NPSPACE = coNPSPACE และในชั้นเรียนทั่วไปที่ไม่ได้กำหนดไว้ซึ่งกำหนดโดยข้อ จำกัด ด้านพื้นที่จะถูกปิดภายใต้การทำให้สมบูรณ์ นี่คือทฤษฎีบท Immerman-Szelepcsényi

— Yuval Filmus

น่าสนใจฉันไม่รู้ว่า - แต่สัญชาตญาณที่อยู่เบื้องหลังมันอาจเป็นวิธีที่มันใช้กับคลาสของอวกาศเสมอ: เราสามารถนำพื้นที่กลับมาใช้ใหม่ได้

— G. Bach

@ G.Bach ไม่จริงไม่ NL = co-NL ถูกสร้างโดยแสดงว่า - -non-connection อยู่ใน NL สำหรับคลาสพื้นที่ขนาดใหญ่ (ทฤษฎีบทใช้กับพื้นที่อย่างน้อย ) คุณใช้ - - (ไม่ใช่) - การเชื่อมต่อบนกราฟการกำหนดค่าของเครื่องทัวริงที่เกี่ยวข้อง

s

$s$

t

$t$

\log n

$\log n$

s

$s$

t

$t$

— David Richerby