MIN-2-XOR-SAT และ MAX-2-XOR-SAT: พวกเขา NP-hard หรือไม่

ความซับซ้อนของ $\text{MIN-2-XOR-SAT}$ และ $\text{MAX-2-XOR-SAT}$ คืออะไร พวกเขาอยู่ใน P หรือไม่? พวกเขา NP-hard หรือไม่

เพื่อให้เป็นระเบียบนี้แม่นยำยิ่งขึ้นให้

Φ (x) = \land_{i}^{n} C_{i},

$\Phi\left(\mathbf x\right)={\huge\wedge}_{i}^{n}C_i,$

ที่ $\mathbf{x} = (x_1,\dots,x_m)$ และแต่ละข้อ $C_i$ เป็นของแบบฟอร์ม $(x_i \oplus x_j)$ หรือx_j) $(x_i \oplus \neg x_j)$

ปัญหาคือการหามอบหมายให้ที่น่าพอใจ\ปัญหานี้อยู่ในตามที่มันสอดคล้องกับระบบการทำงานของสมการเชิงเส้นสมัย2 $\text{2-XOR-SAT}$ $\mathbf{x}$ $\Phi$ $P$ $2$

ปัญหาคือการค้นหาการมอบหมายให้ที่เพิ่มจำนวนของอนุประโยคที่ทำให้พอใจสูงสุด ปัญหาคือการค้นหาการมอบหมายให้ที่ลดจำนวนอนุประโยคที่ทำให้พอใจน้อยที่สุด ความซับซ้อนของปัญหาเหล่านี้คืออะไร? $\text{MAX-2-XOR-SAT}$ $\mathbf{x}$ $\text{MIN-2-XOR-SAT}$ $\mathbf{x}$

ได้รับแรงบันดาลใจจากMIN หรือ MAX-True-2-XOR-SAT NP-hard หรือไม่

— DW
แหล่งที่มา

คำตอบ:

ขออภัยที่ตอบโพสต์เก่า

ปัญหาของการกำหนดว่า Monotone-2-XOR-SAT (คำสั่งทั้งหมดเป็นของชนิด ) เช่นเป็นพอใจสามารถลดปัญหาของการกำหนดว่ากราฟเป็นฝ่ายที่เห็นนี้ $({x_i}\oplus x_j)$

ในการทำเช่นนั้นเราจะสร้างกราฟพร้อมโหนดสำหรับแต่ละตัวอักษรของสูตรและเราเชื่อมต่อแต่ละตัวอักษรด้วยกันถ้าอยู่ในข้อเดียวกัน (ขอบเป็นส่วนคำสั่ง) $G$

ตัวอย่างเช่น

หากเรามีสูตรที่ไม่น่าพอใจนั่นคือ $({x_1}\oplus x_2) \wedge ({x_1}\oplus x_3) \wedge({x_2}\oplus x_3) \wedge ({x_1}\oplus x_4)$

เรามีกราฟดังนี้:

grafo no bipartito

นั่นไม่ใช่สองฝ่าย

มีสามข้อที่พอใจและเราก็แค่กำจัดขอบ

ทีนี้เราสามารถลดปัญหาในการพิจารณาว่าเราสามารถหากราฟย่อยสองฝ่ายสูงสุดด้วยจุดยอดถึงปัญหาในการพิจารณาว่าเราสามารถตอบสนองข้อในสูตร MONOTONE-MAX-2XOR-SAT ดูสิ่งนี้หรือไม่ และปัญหาสูงสุดของกราฟย่อยไบโพร์ไทต์เทียบเท่ากับการตัดสูงสุด $k$ $k$

ในการลดขนาดเราเพียงสร้างตัวอักษรใหม่สำหรับแต่ละจุดสุดยอดและเราสร้างประโยคสำหรับแต่ละขอบที่เชื่อมต่อสองตัวอักษร

ตัวอย่างเช่น

เรามีกราฟนี้

grafo no bipartito 2

เราสร้างสูตร follwing $({x_1}\oplus x_2) \wedge ({x_1}\oplus x_4) \wedge({x_2}\oplus x_4) \wedge ({x_2}\oplus x_3) \wedge ({x_4}\oplus x_5) \wedge ({x_3}\oplus x_5)$

ดังนั้นถ้าเราสามารถหาการบ้านที่ตรงกับ clauses นั่นก็หมายความว่ามันมีกราฟย่อย bipartite ที่มีขอบอย่างน้อย $k$ $k$

— rotia
แหล่งที่มา

คุณควรให้ความหมายชัดเจน: เนื่องจาก MAX-CUT คือ NP-Hard การลดลงของ MAX-XORSAT จึงหมายความว่ามันเป็น NP-Hard เช่นกัน

— พลวง

-1

$(x_i\oplus x_j)$ $x_i$ $x_i\oplus x_j$ $x_i\neq x_j$ $x_i\oplus x_j$ เป็นจริงถ้าจุดยอดที่สอดคล้องกันได้รับการกำหนดสีที่แตกต่างในกราฟ

หากจุดยอดทั้งหมดของกราฟสามารถทำสีโดยใช้ 2 สีและไม่มีจุดยอดสองจุดที่มีการแบ่งขอบทั่วไปที่มีสีเดียวกันแล้วสมการจะเป็นที่น่าพอใจ

แต่กราฟเป็น 2 สีถ้ามันเป็นกราฟสองฝ่าย และการพิจารณาว่ากราฟเป็นสองฝ่ายสามารถทำได้ในเวลาพหุนามหรือไม่ ดังนั้นปัญหาอยู่ใน P เพราะถ้าเราสามารถหาได้ในเวลาพหุนามว่ากราฟเป็นกราฟสองฝ่ายจากนั้นก็จะสามารถแก้ไขได้มิฉะนั้นจะไม่สามารถแก้ไขได้

— jcod0
แหล่งที่มา

(x_{i} \oplus x_{j})

$(x_i \oplus x_j)$

(x_{k} \oplus \neg x_{l})

$(x_k \oplus \neg x_l)$

k, l

$k,l$

(x_{k} \oplus \neg x_{l})

$(x_k \oplus \neg x_l)$

นี่ทำให้ฉันมีปัญหาร้ายแรงยิ่งขึ้นด้วยคำตอบของคุณ ปัญหาไม่ได้ระบุว่าสูตรนั้นน่าพอใจหรือไม่ ปัญหาคือการระบุการมอบหมายที่เป็นไปตามจำนวนสูงสุด / ต่ำสุดของอนุประโยค อัลกอริทึมของคุณทดสอบว่าสูตรเป็นที่พอใจหรือไม่ ดังนั้นมันแก้ได้ 2-XOR-SAT แต่มันไม่ได้แก้ MIN-2-XOR-SAT หรือ MAX-2-XOR-SAT - แต่ฉันรู้แล้วว่า 2-XOR-SAT นั้นเป็น P ดังที่อธิบายไว้ใน คำถาม. ฉันเข้าใจอะไรผิดไปหรือเปล่า?

— DW

x_{i} \oplus x_{k}

$x_i\oplus x_k$

แต่ฉันก็ยังไม่เห็นว่าสิ่งนี้จะแสดงความคิดเห็นที่สองของฉัน คุณได้แก้ไขกรณีพิเศษของปัญหาที่ฉันไม่ได้ถาม กล่าวโดยย่อคำตอบนี้ไม่ได้ตอบคำถามที่ฉันถาม

— DW