มี TM ที่หยุดอยู่กับอินพุตทั้งหมด แต่คุณสมบัตินั้นไม่สามารถพิสูจน์ได้?

17

มีเครื่องทัวริงที่หยุดการทำงานของอินพุตทั้งหมด แต่คุณสมบัตินั้นไม่สามารถพิสูจน์ได้ด้วยเหตุผลบางอย่าง?

ฉันสงสัยว่าคำถามนี้ได้รับการศึกษาแล้วหรือยัง หมายเหตุ "ไม่สามารถพิสูจน์ได้" อาจหมายถึงระบบการพิสูจน์ "จำกัด " (ซึ่งในความรู้สึกอ่อนแอคิดว่าคำตอบต้องเป็นใช่) แน่นอนว่าฉันสนใจคำตอบที่แข็งแกร่งที่สุดซึ่งเป็นข้อที่ไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าจะหยุดยั้งข้อมูลทั้งหมดในทฤษฎีเซต ZFCหรืออะไรก็ตาม

มันเกิดขึ้นกับฉันนี่อาจเป็นจริงของฟังก์ชั่น Ackermannแต่ฉันมัว ๆ กับรายละเอียด ดูเหมือนว่า Wikipedia จะอธิบายเรื่องนี้อย่างชัดเจน

— vzn
แหล่งที่มา

3

Peano Arithmetic เพียงพอที่จะพิสูจน์ว่าหน้าที่ของ Ackermann นั้นเป็นยอดรวม: นี่เป็นการออกกำลังกาย 17 ของบทนำของ Jaap van Oosten ต่อการบันทึกPA

— David Richerby

คำนวณได้ทั้งหมด fn defn wikipedia โปรดทราบว่าคำถามนี้ได้รับแรงบันดาลใจบางส่วนจากการมองเข้าไปในcollatz fnโดยที่มันเป็นคำถามเปิดยาวที่เกี่ยวข้อง ...

— vzn

2

นี่เป็นคำพูดที่งี่เง่า แต่โปรดทราบว่าสำหรับเครื่องจักรทัวริง M ทุกตัวที่สิ้นสุดในอินพุตทั้งหมดทฤษฎี

เป็นทฤษฎีที่สอดคล้องกัน แต่การใช้ทฤษฎีบทGödelsเราสามารถแสดงให้เห็นว่าไม่มีทฤษฎีแบบวนซ้ำที่สามารถพิสูจน์ได้ว่าการสิ้นสุดของเครื่องจักรดังกล่าวทั้งหมด

P A + " M terminates on all input"

$\mathrm{PA}+\mbox{"$M$ terminates on all input"}$

— ดี้

12

ใช่. เครื่องทัวริงที่คำนวณลำดับ Goodsteinเริ่มต้นจากอินพุตและสิ้นสุดลงเมื่อลำดับมีค่าเป็นศูนย์ มันสิ้นสุดเสมอ แต่ไม่สามารถพิสูจน์ได้ใน Peano เลขคณิต ฉันแน่ใจว่ามีสิ่งต่าง ๆ ที่เทียบเท่ากับ ZFC หรือระบบอื่น ๆ ที่คุณอาจเลือก

แก้ไขสำหรับ ZF, Hartmanis และ Hopcroft แสดงว่ามีเครื่องทัวริงที่ปฏิเสธอินพุตทุกตัว แต่ไม่สามารถพิสูจน์ได้ใน ZF ฉันไม่แน่ใจว่า ZF สามารถพิสูจน์ได้ว่าหยุดชั่วคราว แต่ก็ไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าเครื่อง "ถ้ายอมรับแล้ววนซ้ำตลอดไป ยังคงเปิดให้ ZFC อยู่ แต่ ZF นั้นทรงพลังกว่า PA $M$ $M$ $M'(x)$ $=$ $M$ $x$

ดูวินาที 3 จากการสำรวจของScott Aaronsonเกี่ยวกับความเป็นอิสระของ P = NP สำหรับการเปิดเผยผล Hartmanis – Hopcroft และการอ้างอิงไปยังเอกสารต้นฉบับของพวกเขา

— David Richerby
แหล่งที่มา

เกี่ยวกับการเพิ่มความจริงที่เลือก: ZFC ไม่สามารถทำได้ดีกว่า ZF สำหรับคำสั่ง "ง่าย" เช่นปัญหาการหยุดชะงัก (ในกรณีนี้

ถ้าฉันไม่เข้าใจผิด) นี่เป็นเพราะ ZF และ ZFC พิสูจน์ข้อความเดียวกัน

อย่างแน่นอน

Π_{2}^{0}

$\Pi^0_2$

Π_{2}^{0}

$\Pi^0_2$

— ดี้

6

${\cal T}$ ${\cal T}$

$M$ $n$

If there is no proof of 0 = 1 in less than n steps in T, ACCEPT
Otherwise, LOOP.

${\cal T}$ $M$

${\cal T}=\mathrm{ZFC}$ ${\cal T}=\mathrm{PA}$ ${\cal T}=\mathrm{PA²}$

— Cody
แหล่งที่มา

5

บางคนไม่สามารถพิสูจน์ได้ใน PA แต่ทฤษฏีที่แท้จริงสามารถแปลงเป็นเครื่องทัวริง ตัวอย่างเช่นมีทฤษฎีบทของ Ramsey (รุ่นที่เพิ่มความแข็งแกร่ง) ซึ่งไม่สามารถพิสูจน์ได้ใน PA และเราสามารถสร้างเครื่องจักรที่เพิ่งจะค้นหาสิ่งที่ถูกต้อง $N$ .

— Daniil
แหล่งที่มา