จะไม่แก้ P = NP ได้อย่างไร

มีความพยายามมากมายในการพิสูจน์หรือและโดยธรรมชาติแล้วหลายคนคิดเกี่ยวกับคำถามP ≠ N $\mathsf{P} = \mathsf{NP}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$

ฉันรู้ว่ามีวิธีการที่พิสูจน์แล้วว่าไม่ได้ผลและอาจมีมากกว่านั้นที่มีประวัติความล้มเหลว ดูเหมือนจะมีอุปสรรคที่เรียกว่าการพิสูจน์หลายอย่างล้มเหลวในการเอาชนะ

เราต้องการหลีกเลี่ยงการตรวจสอบถึงจุดจบดังนั้นอะไรคืออะไร

ฉันจะบอกว่าอุปสรรคที่รู้จักกันดีที่สุดในการแก้คือ$P=NP$

1. ความสัมพันธ์ (ดังกล่าวโดย Ran G. )
2. การพิสูจน์ตามธรรมชาติ - ภายใต้สมมติฐานการเข้ารหัสลับบางอย่าง Rudich และ Razborov พิสูจน์ว่าเราไม่สามารถพิสูจน์โดยใช้การพิสูจน์ระดับหนึ่งที่เรียกว่าการพิสูจน์ตามธรรมชาติ$P\neq NP$
3. Algebrization - โดย Scott Aaronson และ Avi Wigderson พวกเขาพิสูจน์ว่าหลักฐานที่ algebrize ไม่สามารถแยกและN $P$$NP$

อีกอย่างที่ฉันคุ้นเคยคือผลลัพธ์ที่ไม่มีการกำหนด LP สามารถแก้ TSP ได้ (มันได้รับการพิสูจน์โดย Yannakakis สำหรับ LP แบบสมมาตรและขยายไปสู่ ​​LP ทั่วไปเมื่อเร็ว ๆ นี้) นี่คือโพสต์บล็อกที่พูดถึงผลลัพธ์

หมายเหตุ: ฉันยังไม่ได้ตรวจสอบคำตอบอย่างรอบคอบและยังมีบางส่วนที่ขาดหายไปที่จะเขียนพิจารณาเป็นร่างแรก

คำตอบนี้มีไว้สำหรับคนที่ไม่ได้เป็นนักวิจัยในทฤษฎีความซับซ้อนหรือสาขาที่เกี่ยวข้อง หากคุณเป็นนักทฤษฎีที่ซับซ้อนและได้อ่านคำตอบโปรดแจ้งให้เราทราบหากคุณสังเกตเห็นปัญหาใด ๆ หรือมีความคิดที่จะปรับปรุงคำตอบ

คุณจะหาโซลูชันที่อ้างสิทธิ์ได้ของ P vs. NP

• มีหน้า P-versus-NPซึ่งมีรายการการเรียกร้องดังกล่าว
• บทความที่อ้างว่าเพื่อแก้ไขคำถามที่จะโพสต์ประจำในarXiv

รายการอื่น ๆ ของวิธีที่จะไม่แก้ P กับ NP

แลนซ์ฟอ์ตนว์, คุณคิดว่าคุณตกลง P Verus NP 2009

สกอตต์ Aaronson, แปดสัญญาณ A อ้าง P ≠ NP พิสูจน์ผิด , 2010

หน้า Polymath สำหรับบทความของ Deolalikarซึ่งส่วนการอ่านเพิ่มเติมมีรายการอ้างอิงที่ดีเกี่ยวกับปัญหา

วิธีที่จะไม่เข้าหา P กับ NP

ให้ฉันพูดถึง "วิธีการไม่เข้าหา P กับ NP" ไม่ใช่ในแง่ของความคิดที่จะไม่ทำงาน แต่ในแง่ทั่วไป P vs. NP เป็นปัญหาง่าย ๆ ที่รัฐ (ดูคำตอบของฉันที่นี่ ):

NP = P:สำหรับทุกปัญหาการตัดสินใจด้วยอัลกอริธึมตรวจสอบเวลาพหุนามมีอัลกอริทึมเวลาพหุนาม

หรือเทียบเท่า

มีอัลกอริทึมเวลาพหุนามสำหรับ SAT
SAT สามารถเปลี่ยนอื่น ๆปัญหา NP-สมบูรณ์

.

บ่อยครั้งที่ผู้คนให้ความสำคัญและ overphilosophize ปัญหาและพูดเกินจริงถึงความสำคัญของปัญหา (ตามที่ระบุไว้ข้างต้น) ข้อความดังกล่าวมักจะหมายถึงการให้สัญชาตญาณ แต่พวกเขาไม่ได้อยู่ในทางใดทางหนึ่งแทนคำสั่งทางคณิตศาสตร์ที่แท้จริงของปัญหา

ประสิทธิภาพเชิงทฤษฎีไม่เหมือนกับความเป็นไปได้ในการปฏิบัติ

ให้ฉันก่อนด้วยผลจริงที่เกินจริง

I.เป็นไปได้ที่ P = NP แต่มันไม่ได้ช่วยปัญหาใด ๆ ในทางปฏิบัติ!

ว่าตัวอย่างที่ SAT อยู่ใน P แต่ขั้นตอนวิธีที่เร็วที่สุดสำหรับเวลาทำงานของมันคือ {128}} อัลกอริทึมนี้ไม่ได้ใช้งานจริง$2^{2^{64}} n^{65536} + 2^{2^{128}}$

ครั้งที่สอง เป็นไปได้ว่า P NP และเราสามารถแก้ปัญหา NP-สมบูรณ์ได้อย่างมีประสิทธิภาพ$\neq$

ว่าตัวอย่างที่ SAT ไม่ได้อยู่ใน P แต่มีขั้นตอนวิธีการกับการทำงานครั้งที่n}$n^{\lg^*\lg^* n}$

ในการป้อนข้อมูลที่จะทำให้คุณต้องใช้อิเล็กตรอนที่คิดว่ามีอยู่ในจักรวาล ดังนั้นตัวแทนเป็นหลัก2$\lg^* n > 6$$2$

ประเด็นหลักที่นี่คือ P คือแบบจำลองนามธรรมอย่างง่าย ๆ ของการคำนวณที่มีประสิทธิภาพความซับซ้อนของกรณีที่แย่ที่สุดคือแบบจำลองนามธรรมง่าย ๆ ของการประมาณราคาของการคำนวณเป็นต้นสิ่งเหล่านี้คือ abstractions แต่ไม่มีใครในทางปฏิบัติ เช่นเดียวกับใน (I) ด้านบนว่าเป็นอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพจริงๆ P เป็นรูปแบบนามธรรมที่ดีมีคุณสมบัติที่ดีทำให้ปัญหาทางเทคนิคง่ายและเป็นประโยชน์อย่างหนึ่ง อย่างไรก็ตามเช่นเดียวกับสิ่งที่เป็นนามธรรมทางคณิตศาสตร์มันซ่อนรายละเอียดว่าในทางปฏิบัติเราอาจสนใจ มีหลายรุ่นที่ได้รับการปรับปรุงให้ดีขึ้น แต่รูปแบบที่ซับซ้อนมากขึ้นก็จะดูไม่ค่อยดีเท่าที่ควร

สิ่งที่ผู้คนเกี่ยวกับการดูแลในทางปฏิบัติคือการคำนวณคำตอบของปัญหาสำหรับกรณีที่พวกเขาดูแลเกี่ยวกับการใช้ที่เหมาะสมปริมาณของทรัพยากร มีงานที่ต้องทำและควรนำมาพิจารณาด้วย

การพยายามค้นหาอัลกอริธึมที่ดีกว่าสำหรับกรณีที่ใช้งานจริงของปัญหา NP-hard เป็นความพยายามที่น่าสนใจและคุ้มค่า มีอัลกอริทึมฮิวริสติกแบบแก้ตัวแก้ SAT ที่ใช้ในอุตสาหกรรมและสามารถแก้ปัญหากรณีการใช้งานจริงของ SAT ด้วยตัวแปรหลายล้านตัว มีแม้กระทั่งเป็นการแข่งขันระหว่างประเทศ SAT

(แต่ก็มีตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมเล็ก ๆ ที่อัลกอริธึมทั้งหมดเหล่านี้ล้มเหลวและล้มเหลวค่อนข้างแย่จริง ๆ แล้วเราสามารถพิสูจน์ได้ว่านักแก้ปัญหา SAT ที่ทันสมัยทุกคนต้องใช้เวลาชี้แจงเพื่อแก้ปัญหาตัวอย่างง่าย ๆ เช่นหลักการ Pigeonhole )

โปรดทราบว่าไม่สามารถรับความถูกต้องและเวลาใช้งานของโปรแกรมได้จากการรันโปรแกรมในกรณีต่างๆ ไม่ว่าคุณจะลองกี่ครั้งก็ไม่เพียงพอ มีอินพุตที่เป็นไปได้มากมายและคุณต้องแสดงความถูกต้องและประสิทธิภาพ (เช่นเวลาทำงานคือพหุนาม) ของโปรแกรมสำหรับพวกเขาทั้งหมด ในระยะสั้นคุณต้องพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ของความถูกต้องและมีประสิทธิภาพ หากคุณไม่ทราบว่าอะไรคือข้อพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์คุณควรเรียนรู้คณิตศาสตร์ขั้นพื้นฐานก่อน (อ่านตำราคณิตศาสตร์แบบไม่ต่อเนื่องคณิตศาสตร์ / combinatorics / กราฟทฤษฎีเหล่านี้เป็นหัวข้อที่ดีที่จะเรียนรู้เกี่ยวกับสิ่งที่ถือว่าเป็นหลักฐานทางคณิตศาสตร์)

ยังต้องระมัดระวังเกี่ยวกับการเรียกร้องอื่น ๆ เกี่ยวกับ P กับ NP และผลของคำตอบ การอ้างสิทธิ์ดังกล่าวมักขึ้นอยู่กับความเรียบง่ายที่คล้ายคลึงกัน

นักทฤษฎีที่ซับซ้อนไม่สนใจคำตอบของ P กับ NP!

ฉันพูดเกินจริงไปเล็กน้อย แน่นอนเราสนใจคำตอบของ P vs. NP แต่เราใส่ใจในบริบท P vs. NP เป็นปัญหาสำคัญของเรา แต่มันไม่ใช่เป้าหมายสูงสุด มันเป็นปัญหาที่ง่ายต่อการรัฐมันเกี่ยวข้องกับแนวคิดพื้นฐานมากมายมันมีประโยชน์สำหรับการอธิบายประเภทของคำถามที่เราสนใจในคนที่ไม่คุ้นเคยกับหัวข้อ แต่เราไม่หาคำตอบใช่ / ไม่ใช่หนึ่งบิต

เราแสวงหาความรู้ความเข้าใจในลักษณะของการคำนวณที่มีประสิทธิภาพ เราเชื่อว่าการแก้ไขคำถามจะมาพร้อมกับความเข้าใจเช่นนี้และนั่นคือเหตุผลที่แท้จริงที่เราใส่ใจ มันเป็นส่วนหนึ่งของการวิจัยขนาดใหญ่ หากคุณต้องการที่จะได้ลิ้มรสของสิ่งที่เราจะมีลักษณะที่ซับซ้อนที่ดีทฤษฎีตำราเรียนเช่นร่าและบาราคของ " ทฤษฎีความซับซ้อน: วิธีการที่ทันสมัย " ( ร่างฉบับ )

ให้เราสมมติว่ามีใครบางคนที่มาพร้อมกับการพิสูจน์อย่างเป็นทางการที่สมบูรณ์ของ P NP และเราสามารถตรวจสอบความถูกต้องได้อย่างมั่นใจโดยเลือกและถอดรหัสหลักฐานการพิสูจน์สองสามบิต (ดูZero-Knowledge ProofและPCP theorem ) . ดังนั้นเราสามารถตรวจสอบข้อเรียกร้องที่มีความน่าจะเป็นของข้อผิดพลาดน้อยกว่าที่ดาวตกชนบ้านเราเราค่อนข้างแน่ใจว่าหลักฐานนั้นถูกต้องและ P = NP แต่เราไม่ทราบหลักฐาน มันจะไม่สร้างความพึงพอใจหรือตื่นเต้นสำหรับเรามากนัก การพิสูจน์อย่างเป็นทางการจะไม่เป็นเช่นนั้นที่น่าพอใจ สิ่งที่เราแสวงหาไม่ใช่ข้อพิสูจน์อย่างเป็นทางการสิ่งที่เราแสวงหาคือความเข้าใจ$\neq$

ในระยะสั้นจากมุมมองของนักทฤษฎีที่ซับซ้อน

P vs. NP ไม่ใช่ปริศนาที่มีคำตอบใช่ / ไม่ใช่ เราค้นหาคำตอบของ P กับ NP เพราะเราคิดว่ามันจะเข้าใจธรรมชาติของการคำนวณที่มีประสิทธิภาพมากขึ้น คำตอบที่ไม่มีความก้าวหน้าที่สำคัญในความเข้าใจของเรานั้นไม่น่าสนใจมาก

มีหลายครั้งเกินไปที่ผู้ที่ไม่ใช่ผู้เชี่ยวชาญได้อ้างวิธีแก้ปัญหาสำหรับ P กับ NP และการอ้างสิทธิ์เหล่านั้นมักประสบปัญหาที่พวกเขาจะไม่ทำถ้าพวกเขาอ่านตำรามาตรฐานเกี่ยวกับทฤษฎีความซับซ้อน

ปัญหาทั่วไป P = NP

การอ้างสิทธิ์ของ P = NP ดูเหมือนจะเป็นเรื่องธรรมดามากขึ้น ฉันคิดว่าต่อไปนี้เป็นประเภทที่พบบ่อยที่สุด บางคนมีความคิดและเขียนโปรแกรมและทดสอบในบางกรณีและคิดว่ามันเป็นเวลาพหุนามและแก้ปัญหา NP-complete ได้อย่างถูกต้อง ดังที่ฉันได้อธิบายไว้ข้างต้นจำนวนการทดสอบจะแสดง P = NP P = NP ต้องการการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ไม่ใช่แค่โปรแกรมที่ดูเหมือนว่าจะแก้ปัญหา NP-complete ในเวลาพหุนาม

ความพยายามเหล่านี้มักประสบปัญหาหนึ่งในสองประเด็น:

I. อัลกอริทึมไม่ใช่เวลาพหุนามจริงๆ

ครั้งที่สอง อัลกอริทึมไม่สามารถแก้ไขอินสแตนซ์ทั้งหมดได้อย่างถูกต้อง

อาร์กิวเมนต์P NP ไม่ถูกต้อง$\neq$

[จะเขียน]

วิธีตรวจสอบว่าอัลกอริทึมของคุณใช้งานไม่ได้จริง ๆ

คุณไม่สามารถแสดงให้เห็นว่าอัลกอริทึมของคุณทำงานอย่างถูกต้องโดยการทดสอบ แต่คุณสามารถแสดงว่ามันทำงานไม่ถูกต้องโดยการทดสอบ! ดังนั้นนี่คือวิธีที่คุณสามารถมั่นใจได้ว่าอัลกอริทึมของคุณไม่ถูกต้องหากคุณยินดีที่จะทำงาน

ก่อนอื่นให้เขียนโปรแกรมเพื่อแปลงอินสแตนซ์ของ SAT (ในรูปแบบ CNF มาตรฐาน) เป็นปัญหา NP-hard ที่คุณกำลังแก้ไข SAT เป็นหนึ่งในปัญหาที่ยากที่สุดของการศึกษา NP และการลดลงของปัญหาอื่น ๆ สู่ SAT นั้นเป็นเรื่องง่าย ประการที่สองนำตัวอย่างที่นักแก้ปัญหา SAT ต้องเผชิญกับ (เช่นนำตัวอย่างจากการแข่งขัน SAT) และป้อนเข้าสู่อัลกอริทึมของคุณและดูว่าอัลกอริทึมของคุณทำงานอย่างไร ลองใช้อินสแตนซ์ที่รู้จักกันดีอย่างหนักเช่นหลักการ Pigeonhole (และอย่าโกงโดยการเข้ารหัสอย่างหนักเป็นกรณีพิเศษ), อินสแตนซ์เข้ารหัส (เช่นRSA Factoring Challenges ), อินสแตนซ์ k-SAT แบบสุ่มใกล้ถึงขีด จำกัดฯลฯ

ในทำนองเดียวกันคุณสามารถตรวจสอบว่าอัลกอริทึมของคุณไม่มีประสิทธิภาพ เช่นถ้าคุณคิดว่าเวลาในการทำงานของอัลกอริธึมไม่ใช่แต่ต้องใช้เวลาหลายวันในการแก้ตัวอย่างของขนาดที่พูด 1,000 แก้ไขขอบเขตบนสุดของพหุนามกรณีเลวร้ายที่สุดที่คุณคิดว่าอัลกอริธึมมี ทำอินสแตนซ์และประมาณเวลาที่อัลกอริทึมของคุณจะใช้เพื่อแก้ปัญหาและตรวจสอบว่าตรงกับที่คุณประมาณ$10 n^2$

วิธีตรวจสอบความคิดอัลกอริทึม P = NP ของคุณไม่สามารถทำงานได้

หากคุณทำสิ่งเหล่านี้คุณจะมั่นใจได้ว่าอัลกอริทึมของคุณไม่ทำงาน (ถ้าใช้งานได้ดีกว่านักแก้ปัญหา SAT แล้วแข่งขันในการแข่งขันครั้งต่อไปและผู้คนจำนวนมากจะสนใจศึกษาอัลกอริทึมและแนวคิดของคุณ)

ตอนนี้คุณรู้ว่ามันใช้งานไม่ได้ แต่ก็ยังไม่เพียงพอ คุณต้องการที่จะรู้ว่าทำไม

เหตุผลที่อัลกอริทึมของฉันไม่ทำงานเป็นปัญหาเล็ก ๆ ที่สามารถแก้ไขได้หรือมีเหตุผลพื้นฐานว่าทำไมมันไม่สามารถทำงานได้

บางครั้งปัญหาของอัลกอริทึมนั้นง่ายและเราสามารถระบุได้ว่าอะไรผิดปกติทางแนวคิด ผลลัพธ์ที่ดีที่สุดคือคุณเข้าใจเหตุผลที่ความคิดของคุณไม่สามารถทำงานได้ บ่อยครั้งที่ความคิดของคุณไม่ได้ผล แต่คุณไม่สามารถหาสาเหตุได้ ในกรณีนั้นโปรดทราบ:

การเข้าใจว่าทำไมความคิดบางอย่างไม่สามารถทำงานได้ยากขึ้นที่การแก้ P กับ NP!

หากคุณสามารถทำให้ความคิดของคุณเป็นทางการมากพอคุณอาจจะสามารถพิสูจน์ข้อ จำกัด ของความคิดเฉพาะ (เช่นมีผลลัพธ์ที่บอกว่าการทำแบบเฉพาะของอัลกอริทึมโลภไม่สามารถแก้ปัญหา NP-complete) อย่างไรก็ตามมันก็ยิ่งยากขึ้นและคุณไม่มีโอกาสมากนักถ้าคุณยังไม่ได้อ่านตำราทฤษฎีความซับซ้อนมาตรฐาน

บางครั้งไม่มีแนวคิดทางแนวคิดที่ชัดเจนว่าทำไมอัลกอริธึมจึงควรใช้งานนั่นคือขึ้นอยู่กับฮิวริสติกที่เข้าใจไม่ได้ หากคุณไม่มีแนวคิดที่ชัดเจนว่าทำไมอัลกอริธึมของคุณจึงควรใช้งานคุณอาจไม่มีโอกาสเข้าใจว่าทำไมมันถึงไม่ได้!

ปัญหาทั่วไปเกี่ยวกับการเรียกร้องP NP$\neq$

แม้ว่าผู้เชี่ยวชาญส่วนใหญ่คิดว่า P NP มีแนวโน้มมากกว่า P = NP แต่การอ้างสิทธิ์ดังกล่าวดูเหมือนจะน้อยกว่าทั่วไป เหตุผลก็คือการพิสูจน์ขอบเขตล่างดูเหมือนว่าจะเป็นงานที่หนักกว่าการออกแบบอัลกอริธึม (แต่บ่อยครั้งที่พิสูจน์ขอบเขตล่างและขอบเขตบนสัมพันธ์กันโดยเนื้อแท้ )$\neq$

ปัญหาที่ 1: ผู้เขียนไม่ทราบคำจำกัดความของ P และ NP หรือแย่กว่านั้นคือไม่เข้าใจว่าอะไรคือข้อพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ เนื่องจากผู้เขียนขาดการฝึกอบรมทางคณิตศาสตร์ขั้นพื้นฐานเขาไม่เข้าใจเมื่อเขาได้รับการบอกในสิ่งที่เขานำเสนอไม่ใช่ข้อพิสูจน์ (เช่นขั้นตอนที่ไม่ได้ทำตามก่อนหน้านี้)

ปัญหาที่ 2: ผู้เขียนสับสนว่า "เราไม่รู้ว่า" กับ "ความเป็นไปไม่ได้ทางคณิตศาสตร์" ตัวอย่างเช่นพวกเขาใช้สมมติฐานที่ไม่ยุติธรรมหลายประการและเมื่อถูกถามว่า "ทำไมข้อความนี้ถึงเป็นจริง?" พวกเขาตอบว่า "จะเป็นเท็จได้อย่างไร" สิ่งหนึ่งที่พบได้ทั่วไปคือการสมมติว่าโปรแกรมใด ๆ ที่แก้ปัญหาจะต้องทำตามขั้นตอนพิเศษเช่นต้องคำนวณค่ากลางโดยเฉพาะเพราะเขาไม่สามารถคิดวิธีอื่นในการแก้ปัญหาได้

[จะแล้วเสร็จ]

อาร์กิวเมนต์P NP ไม่ถูกต้อง$\neq$

[จะเขียน]

วิธีการตรวจสอบแนวคิด P NP ของคุณไม่สามารถทำงานได้$\neq$

หากการเรียกร้องไม่ได้รับความเดือดร้อนจากปัญหาพื้นฐานเหล่านี้การปฏิเสธนั้นจะยากขึ้น ในระดับแรกหนึ่งสามารถค้นหาขั้นตอนที่ไม่ถูกต้องในการโต้แย้ง คำตอบทั่วไปจากผู้เขียนคือฉันสามารถแก้ไขได้และสิ่งนี้กลับไปกลับมา เช่นเดียวกับการแก้ปัญหา P = NP มันมักจะยากที่จะหาปัญหาพื้นฐานด้วยความคิดที่สามารถแสดงว่ามันไม่สามารถทำงานได้โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อความคิดของตัวเองเป็นทางการ

ในกรณีที่ดีที่สุดถ้าเราสามารถ formalizes ความคิดและระบุอุปสรรคที่แสดงให้เห็นความคิดที่ไม่สามารถทำงานที่เราได้รับการพิสูจน์ผลอุปสรรคใหม่ (นี้เป็นวิธีที่พยายามที่จะพิสูจน์ P NP ใช้วงจรตะกั่วต่ำกว่าขอบเขตที่จะพิสูจน์ธรรมชาติอุปสรรค )$\neq$

บางทีเทคนิคที่พบบ่อยที่สุดที่ไม่สามารถใช้งานได้ก็คือการเปลี่ยนความสัมพันธ์นั่นคือการมี TM ด้วยการเข้าถึง oracle

ความเป็นไปไม่ได้ดังต่อไปนี้จากกระดาษโดยTheodore Baker, John Gill, Robert Solovayที่แสดงการมีอยู่ของ oracle สองภาษา (ภาษา),และเช่นนั้น และ BB P A = NP A P B ≠ NP $A$$B$$\text{P}^A = \text{NP}^A$$\text{P}^B \ne \text{NP}^B$

ดังนั้นถ้ามีข้อพิสูจน์ว่าพูดสามารถ relativized นี่ก็หมายความว่าสำหรับทุก oracles ,ซึ่งขัดแย้งกับการดำรงอยู่ของO P O ≠ NP O$\text{P}\ne \text{NP}$$O$$\text{P}^O \ne \text{NP}^O$$A$

โดยเฉพาะที่นี้หมายถึงdiagonalizationไม่สามารถนำมาใช้เพื่อพิสูจน์เป็นบทพิสูจน์ที่สามารถ relativized ดูเช่นเหล่านี้ประกอบการบรรยาย$\text{P} \stackrel{?}{=} \text{NP}$

ฉันขอแนะนำให้อ่านโพสต์บล็อกนี้โดยLance Fortnow :

1. คุณคิดว่าคุณได้ตัดสิน P verus NP คุณคิดผิด คิดออก. บางครั้งคุณยังสามารถกอบกู้บางสิ่งที่น่าสนใจจากข้อพิสูจน์ที่มีข้อบกพร่องของคุณ
2. คุณเชื่อว่าการพิสูจน์นั้นถูกต้อง ความเชื่อของคุณไม่ถูกต้อง กลับไปที่ขั้นตอนที่ 1
3. คุณกำลังตั้งสมมติฐานหรือทางลัดแม้จะดูเล็กและชัดเจนก็ตาม คุณใช้คำเช่น "ชัดเจน", "ชัดเจน", "ง่ายต่อการดู", "ควร", "ต้อง" หรือ "น่าจะ"? คุณกำลังอ้างว่าตั้งคำถามที่สำคัญที่สุดในคณิตศาสตร์ทั้งหมด คุณไม่ได้รับการตั้งสมมติฐาน กลับไปที่ขั้นตอนที่ 1
4. คุณเข้าใจปัญหาของ P กับปัญหา NP หรือไม่? ในการแสดง P ≠ NP คุณต้องค้นหาภาษา L ใน NP เช่นนั้นสำหรับทุก k และทุกเครื่อง M ที่ทำงานในเวลา (n = ความยาวอินพุต), M ล้มเหลวในการคำนวณอย่างถูกต้อง L L เป็นชุดของสตริง ไม่มีอะไรอีกแล้ว. L ไม่สามารถพึ่งพา M หรือ k M สามารถเป็นโปรแกรมใด ๆ ที่ประมวลผลสตริงของบิต M อาจทำหน้าที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิงจากที่คุณคาดหวังจากวิธีที่คุณกำหนดแอลกลับไปที่ขั้นตอนที่ 1$n^k$
5. คุณส่งกระดาษของคุณไปยังที่เก็บแบบออนไลน์ บางทีบางคนบอกคุณว่ามีอะไรหายไปหรือผิดในเอกสารของคุณ สิ่งนี้จะทำให้คุณไปที่ขั้นตอนที่ 1 แต่คุณเปลี่ยนกระดาษและโพสต์ใหม่
6. ในที่สุดคนก็เพิกเฉยต่อกระดาษของคุณ คุณสงสัยว่าทำไมคุณไม่ได้รับชื่อเสียงและโชคลาภ
7. คุณส่งรายงานของคุณไปยังวารสาร
8. กระดาษถูกปฏิเสธ หากคุณฉลาดคุณจะกลับไปที่ขั้นตอนที่ 1 แต่ถ้าคุณฉลาดคุณจะไม่ได้รับขั้นตอนที่ 7
9. คุณบ่นกับบรรณาธิการว่าทั้งบรรณาธิการไม่เข้าใจข้อพิสูจน์หรือแก้ไขได้ง่าย คุณรู้สึกตกใจที่บรรณาธิการหรือวารสารที่น่านับถือจะปฏิบัติต่อเอกสารของคุณด้วยวิธีนี้
10. คุณส่งกระดาษอุทธรณ์อีกครั้งลองวารสารอื่น ๆ ทั้งหมดเพื่อประโยชน์
11. คุณเชื่อมั่นว่า "สถานประกอบการ" กำลังระงับกระดาษของคุณโดยเฉพาะเนื่องจากสาขาของเราจะน่าสนใจน้อยกว่ามากหากเราแก้ไขปัญหา P กับปัญหา NP ดังนั้นเราจึงต้องเปิดให้บริการอยู่ตลอดเวลา
12. ถ้าฉันบอกคุณเป็นอย่างอื่นคุณจะเชื่อฉัน

นี่คือมุมที่ค่อนข้างคลุมเครือ / ลึก / ยาก / คนวงใน / การอ้างอิง / การบิดที่เกี่ยวข้องกับวิธีการผ่านวงจรสืบมาตั้งแต่ทศวรรษที่ 1980 ชี้ให้เห็นถึงฉันเมื่อหลายปีก่อนโดย Luca Trevisan ที่อื่นในไซเบอร์สเปซและย้ำโดย Stasys Jukna การอ้างอิงใกล้กับวัตถุ, ความซับซ้อนของฟังก์ชันบูลีน: ความก้าวหน้าและขอบเขต (อัลกอริทึมและคอมบิเนทีฟ, ตอนที่ 27 )

เราสามารถเห็นแนวโน้มก่อนหน้านี้ในบางความคิดของ Razborov ที่ในที่สุดก็นำไปสู่กระดาษพิสูจน์ธรรมชาติ (ที่เรียกว่า "การแปลงสัญชาติ") อ้างอิง [273] เป็นเทคนิคที่ยากมากและดูเหมือนจะไม่ถูกอ้างถึงสร้าง / ขยายหรือย้ำมากโดยเอกสาร / หนังสือในภายหลังแม้ว่าการพิสูจน์ทางธรรมชาติอาจถูกมองว่าเป็นลักษณะทั่วไปขนาดใหญ่ในภายหลัง ส่วนที่ตัดตอนมาจาก John E Savages ref อ้างอิงที่ยอดเยี่ยมแบบจำลองการคำนวณ p457

$\Omega(n^2)$$n$

[270] AA Razborov,“ ขอบเขตที่ต่ำกว่าบนความซับซ้อนแบบโมโนโทนของฟังก์ชั่นบูลีน” Dokl Akad Nauk SSSR (คณิตศาสตร์ของสหภาพโซเวียต Dokl.) 281 (1985), 798–801, (ในรัสเซีย); การแปลภาษาอังกฤษในวิชาคณิตศาสตร์ของสหภาพโซเวียต Dokl 31 (1985), 354–357

[271] AA Razborov“ ขอบเขตที่ลดลงบนความซับซ้อนของเครือข่ายโมโนโทนของสัญญาณตรรกะถาวร” Mat Zametki 37 (1985), 887–900, (ในรัสเซีย); การแปลภาษาอังกฤษในวิชาคณิตศาสตร์ หมายเหตุ 37 (6) (1985), 485–493

[273] AA Razborov“ วิธีการประมาณค่า” Proc วันที่ 21 ACM Symp ทฤษฎีการคำนวณ (1989), 167–176