ทำไมปัญหานี้ที่แก้ไม่ตกใน NP ไม่ได้?

เห็นได้ชัดว่าไม่มีปัญหาที่ไม่สามารถตัดสินใจได้ใน NP อย่างไรก็ตามตามWikipedia :

NP คือชุดของปัญหาการตัดสินใจทั้งหมดซึ่งอินสแตนซ์ที่คำตอบคือ "ใช่" มี [.. หลักฐานที่] ตรวจสอบได้ในเวลาพหุนามโดยเครื่องทัวริงกำหนด

[ ... ]

ปัญหาได้รับการกล่าวถึงว่าอยู่ใน NP ถ้าหากว่ามีตัวตรวจสอบสำหรับปัญหาที่ดำเนินการในเวลาพหุนาม

พิจารณาปัญหาต่อไปนี้:

ได้สมการไดโอแฟนไทน์มันมีเลขจำนวนเต็มไหม?

ได้รับการแก้ไขมันง่ายต่อการตรวจสอบในเวลาพหุนามว่าจริง ๆ แล้วมันเป็นทางออก: เพียงแค่เสียบตัวเลขเข้ากับสมการ ดังนั้นปัญหาอยู่ใน NP อย่างไรก็ตามการแก้ปัญหานี้เป็นที่รู้จักกันว่า undecidable !

(ในทำนองเดียวกันดูเหมือนว่าปัญหาการหยุดชะงักควรอยู่ใน NP เนื่องจาก "ใช่" - การแก้ไข "โปรแกรมนี้หยุดที่ขั้นตอน N-th" สามารถตรวจสอบได้ในขั้นตอน N)

เห็นได้ชัดว่ามีบางอย่างผิดปกติกับความเข้าใจของฉัน แต่มันคืออะไร

คำจำกัดความที่เทียบเท่าของ NP คือมันประกอบด้วยปัญหาทั้งหมดที่สามารถตัดสินใจได้ (ไม่ใช่แค่พิสูจน์ได้) ในเวลาพหุนามโดยเครื่องทัวริงที่ไม่ได้กำหนดค่าไว้ เป็นที่ทราบกันว่า NTMs ไม่มีประสิทธิภาพมากกว่า TM ในแง่ที่ว่าชุดปัญหาที่ decidable โดย NTMs นั้นเหมือนกับชุดของปัญหาที่ decidable โดย TMs ดังนั้นอย่างชัดเจนโดยนิยามนี้จึงไม่มีปัญหาที่ไม่สามารถตัดสินใจได้ใน NP

เพื่อแสดงให้เห็นว่าทั้งสองคำจำกัดความของ NP มีค่าเท่ากันเนื่องจากการมีอยู่ของเครื่องตรวจสอบกำหนดค่าที่คุณสามารถแสดงให้เห็นว่ามี decider ที่ไม่ได้กำหนดค่าไว้และในทางกลับกัน

สมมติว่าคุณมีตัวตรวจสอบพหุนามแบบกำหนดแน่นอน จากนั้นยังมีเครื่องที่ไม่คาดเดาใบรับรองที่มีความยาวที่ จำกัด โดยพหุนามที่สอดคล้องกับขนาดใบรับรองที่ถูกผูกไว้กับปัญหา / ตัวตรวจสอบนี้แล้วรันตัวตรวจสอบ เนื่องจากตัวอักษรมี จำกัด ใบรับรองสำหรับอินพุตที่กำหนดใด ๆ จะมี จำกัด (และพหุนามขนาดใหญ่ที่สุดของอินพุต) และตัวตรวจสอบจะทำงานในเวลาพหุนามเครื่องจักรจึงหยุดทำงานที่สาขาทั้งหมดสำหรับอินพุตทั้งหมดและทำงานใน (ไม่ใช่ - กำหนดขึ้น) เวลาพหุนาม ดังนั้นจึงมี decider ที่ไม่ได้กำหนดค่าไว้สำหรับตัวตรวจสอบที่กำหนดค่าได้

หากคุณมี decider ที่ไม่สามารถกำหนดค่าได้ดังนั้นสำหรับการคำนวณที่ยอมรับได้ทุกครั้งคุณสามารถเขียนเส้นทางของตัวเลือกที่ผู้ตัดสินใจใช้เพื่อเข้าถึงสถานะการยอมรับ เนื่องจาก decider รันในเวลาพหุนามเส้นทางนี้จะยาวที่สุดในพหุนาม และมันก็เป็นเรื่องง่ายสำหรับ TM กำหนดขึ้นเพื่อตรวจสอบว่าเส้นทางคือเส้นทางที่ถูกต้องผ่าน NTM ไปสู่การยอมรับของรัฐดังนั้นเส้นทางดังกล่าวในรูปแบบใบรับรองเป็นเวลาพหุนามตรวจสอบสำหรับปัญหาที่เกิดขึ้น ดังนั้นจึงมีการตรวจสอบที่กำหนดขึ้นสำหรับทุก decider ที่ไม่ได้กำหนดขึ้น

ดังนั้นปัญหาที่แก้ไม่ได้ใด ๆ ไม่สามารถมีเครื่องตรวจสอบที่ใช้งานได้กับใบรับรองขนาดพหุนาม (ไม่เช่นนั้นการมีอยู่ของเครื่องตรวจสอบจะบ่งบอกถึงการมีอยู่ของ decider)

เมื่อคุณอ้างว่ามีตัวตรวจสอบสำหรับปัญหาการหยุดพักใบรับรองที่คุณกำลังพูดถึงคือการเข้ารหัส (TM, I, N) บางส่วนโดยที่ TM หยุดทำงานกับอินพุต I ในขั้นตอน N สิ่งนี้สามารถตรวจสอบได้ในขั้นตอน N แต่ขนาดของใบรับรองไม่ใช่พหุนามในขนาดของอินพุต (TM, I) กับปัญหาดั้งเดิม (ปัญหาการหยุดพัก); N สามารถมีขนาดใหญ่โดยพลการ (ไม่คำนึงถึงการเข้ารหัส) หากคุณพยายามที่จะแปลงตัวตรวจสอบดังกล่าวเป็นตัวแปลงที่ไม่ได้กำหนดค่าคุณจะได้เครื่องจักรที่น่าสนใจ คุณควรจะสามารถพิสูจน์ได้ว่าเมื่อรันบน (TM, I) สำหรับ TM ที่ไม่ได้ทำงานหยุดการป้อนข้อมูลฉันไม่มีเส้นทางที่ไม่หยุดนิ่งผ่านเครื่อง แต่สำหรับเส้นทางใด ๆ ที่นำไปสู่สถานะการหยุดนิ่งจะมีเส้นทางอีกต่อไปอีกต่อไป (สอดคล้องกับการเดาของ N ที่มีขนาดใหญ่กว่า) ดังนั้นจึงไม่มีขอบเขต จำกัด เวลาดำเนินการ เป็นหลักนี้เป็นเพราะมีพื้นที่ที่ไม่มีที่สิ้นสุดที่จะต้องมีการสำรวจโดยการคาดเดาเริ่มต้นที่ไม่กำหนด การแปลง NTM ดังกล่าวเป็นTM ที่กำหนดขึ้นนำไปสู่หนึ่งในเครื่องเหล่านั้นที่ไม่ได้วนซ้ำหรือหยุดพักในอินพุตบางตัว ในความเป็นจริงไม่มี NTM ที่สามารถตัดสินปัญหาการหยุดทำงานดังนั้นจึงไม่มีตัวตรวจสอบที่ใช้งานได้กับใบรับรองที่มีขนาด จำกัด

ฉันไม่คุ้นเคยกับสมการไดโอแฟนไทน์ แต่ดูเหมือนว่าปัญหาเดียวกันจะนำมาใช้กับการโต้แย้งของคุณที่นั่น

ด้วยเหตุนี้ฉันพบว่าง่ายขึ้นที่จะให้เหตุผลเกี่ยวกับคำจำกัดความ NTM ของ NP มีตัวตรวจสอบสำหรับปัญหาที่ไม่สามารถตัดสินใจได้ (ไม่ใช่แค่ตัวตรวจสอบใบรับรองที่มีขนาดพหุนามผูกกับขนาดของอินพุตกับปัญหาดั้งเดิม) ในความเป็นจริง TM ใด ๆ ที่รู้จักแต่ไม่ได้ตัดสินใจว่าบางภาษาสามารถแปลงเป็นตัวตรวจสอบสำหรับภาษาเดียวกันได้อย่างง่ายดาย

หากคุณคิดเกี่ยวกับการตรวจสอบฉันคิดว่าคุณต้องให้เวลากับพวกเขาในแง่ของขนาดของปัญหาที่ป้อนเข้าดั้งเดิมไม่ใช่ขนาดของใบรับรอง คุณสามารถขยายขนาดของใบรับรองได้โดยพลการเพื่อให้ตัวตรวจสอบทำงานในเวลาที่น้อยลงในรูปแบบของขนาดของใบรับรอง

ฉันคิดว่าคุณเข้าใจผิดว่ามันหมายถึงการแก้สมการไดโอแฟนไทน์และทฤษฎีความไม่สามารถอธิบายได้ของมาติยาเซวิช

Matiyasevich พิสูจน์ให้เห็นว่าสำหรับชุด RE ทุกมีสม diophentineเช่นว่าเท่านั้นถ้ามีจำนวนเต็มสัมประสิทธิ์ , .. ,ดังกล่าวว่า0 โดยเฉพาะอย่างยิ่งปัญหาการหยุดชะงักเป็นชุด RE ทั่วไปและดังนั้นการแก้ปัญหาดังกล่าวจึงไม่สามารถตัดสินใจได้ฉ( n ; x 1 , . . . , x k ) n ∈ S x 1 x k F ( n ; x 1 , . . . , x k ) = $S$$f(n;x_1,...,x_k)$$n \in S$$x_1$$x_k$$f(n;x_1,...,x_k) = 0$

โปรดทราบว่าไม่มีขอบเขตขนาดและโดยทั่วไปอาจมีขนาดใหญ่โดยพลการดังนั้นจึงไม่มี "ใบรับรองขนาดพหุนาม" ปรากฏในปัญหานี้$x_1, ... x_k$

ในการขยาย: จำนวนเต็มจะต้องเขียนเป็นเลขฐานสองเพื่อเป็นใบรับรอง เนื่องจากจำนวนเต็มเหล่านี้สามารถมีขนาดใหญ่โดยพลการ (โดยไม่คำนึงถึง ) เราจึงมีใบรับรองที่ไม่ใช่พหุนามในหรือที่สำคัญกว่านั้นไม่มีขอบเขตและฟังก์ชันที่คำนวณ n บันทึก$x_1, ... , x_k$$n$$\log n$

อย่างไรก็ตามทุกปัญหาในมีใบรับรองที่ล้อมรอบด้วยพหุนาม (โดยที่คือขนาดของอินพุต) ดังนั้นคำถามจึงสามารถตัดสินใจได้เล็กน้อยเนื่องจากคุณสามารถแจกแจงบิตสตริงที่เป็นไปได้ทุกความยาวไม่เกินและหากไม่มีการรับรองอินพุตให้ส่งคืน false ถ้าบางคนกลับมาจริง p ( N ) N N P p ( N $\mathsf{NP}$$p(N)$$N$$\mathsf{NP}$$p(N)$

คุณควรเลื่อนลงไปที่คำจำกัดความที่เป็นทางการ :

ภาษาอยู่ใน NP และถ้าหากมีอยู่หลายชื่อและและกำหนดเครื่องทัวริงเช่นว่าp q $L$$p$$q$$M$

• สำหรับทุกและ y เครื่องวิ่งในเวลากับการป้อนข้อมูลy)M p ( | x | ) ( x , y $x$$M$$p(|x|)$$(x,y)$
• สำหรับทุกมีอยู่สตริงของความยาวเช่นว่า1y q ( | x | ) M ( x , y ) = $x \in L$$y$$q(|x|)$$M(x,y) = 1$
• สำหรับทุกและสตริงทุกของความยาว ,0y q ( | x | ) M ( x , y ) = $x \not\in L$$y$$q(|x|)$$M(x,y) = 0$

นั่นคือผู้ตรวจสอบต้องทำงานกับวิธีแก้ปัญหาด้วย ที่ไหนสักแห่งในนั้นปัญหาที่ undecidable ล้มเหลว (ในกรณีของคุณการจำกัดความยาวของผู้สมัครโซลูชันอาจไม่สำเร็จ) ดังที่เห็นได้ชัดโดย (ในแง่การคำนวณ) นิยามที่ชัดเจนยิ่งขึ้น:

NP คือชุดของปัญหาการตัดสินใจที่ตัดสินใจได้โดยเครื่องทัวริงที่ไม่ได้กำหนดค่าไว้ซึ่งทำงานในเวลาพหุนาม

ฉันพยายามให้รายละเอียดเพิ่มเติมสำหรับคำตอบข้างต้น

ในความเป็นจริงคำถามนี้เป็นปัญหาที่กระอักกระอ่วน

ในอีกด้านหนึ่งสมการไดโอแฟนไทน์ปัญหาสมการ (DEP) คือ undecidable ตามทฤษฎีของ Matiyesevich (Matiyesevich ของทฤษฎีบทตอบคำถามของฮิลแบร์ตที่สิบปัญหา แต่ในทางกลับกันไม่มีปัญหาใด ๆ ที่ไม่สามารถตัดสินใจได้ใน NP ตามคำจำกัดความของ NP (ถอดรหัสได้และตรวจสอบได้)

กล่าวคือ DEP อย่างใดอย่างหนึ่งไม่ได้อยู่ใน NP หรือ DEP อยู่ใน NP ทั้งคู่เกี่ยวข้องกับคำจำกัดความของ NP

หาก DEP ไม่ได้อยู่ใน NP นั่นหมายถึงปัญหาใน NP (NDTM ＝ เครื่องทัวริงที่ไม่ใช่แบบกำหนดค่าได้) สามารถตรวจสอบและพิสูจน์ได้นั่นคือเรายอมรับ P = NP (NDTM)

ถ้า DEP อยู่ใน NP ดังนั้น NP (NTM ＝ Non Turing Machine) มี decidable และ undecidable เห็นได้ชัดว่า decidable สามารถตรวจสอบได้ดังนั้นปัญหาคือ undecidable พิสูจน์ได้หรือไม่ ในความเป็นจริงนั่นเป็นปัญหาที่โด่งดังของ P กับ NP แน่นอนว่า undecidable นั้นพิสูจน์ไม่ได้ดังนั้น NP จึงสอดคล้องกับ NTM (Non Turing Machine) แทน NDTM (NonDeterminstic Turing Machine)

การดำเนินการบนพื้นฐานของ DEP อยู่ใน NP (NTM) เราคิดว่า NP (NTM) เป็นปัญหาของ Nondeterministic (undecidable) และนิยามปัจจุบันของ NP (NDTM, decidable และตรวจสอบได้) ทำให้สูญเสีย nondeterminism นี้ (undecidable) ดังนั้น เราคิดว่ามันต้องถูกสอบสวน

เราคิดว่าภาวะที่กลืนไม่เข้าคายไม่ออกที่คุณยกเกี่ยวกับสมการไดโอแฟนไทน์มีความสำคัญมากเพราะมันแสดงให้เห็นสิ่งที่ผิดปกติในคำจำกัดความปัจจุบันของ NP: - ปัญหาถูกกล่าวถึงใน NP ถ้าหากว่ามีตัวยืนยันสำหรับปัญหาที่ดำเนินการในพหุนาม เวลา.

เกี่ยวกับคำจำกัดความของ NP มันสามารถสืบย้อนไปถึงยุค 60 ที่พบปัญหาที่สำคัญและมีการใช้งานจำนวนมากซึ่งไม่พบอัลกอริธึมเชิงพหุนามเพื่อแก้ปัญหาเหล่านั้นเพื่อที่จะรับรู้ปัญหาเหล่านี้จากปัญหา (P) แนวคิดของ NP ถูกนำออกมา

อย่างไรก็ตามคำจำกัดความของ NP ในปัจจุบันที่กำหนดให้ตรวจสอบได้ในเวลาพหุนามทำให้เกิดปัญหากับ NP เนื่องจากปัญหาใน P ยังสามารถตรวจสอบได้ในเวลาพหุนาม อีกนัยหนึ่งคำจำกัดความดังกล่าวนำไปสู่การสูญเสียแก่นแท้ของ NP, « nondeterminisme » ดังนั้นมันทำให้เกิดความกำกวมร้ายแรงในการทำความเข้าใจปัญหา NP เช่นภาวะที่กลืนไม่เข้าคายไม่ออกของคุณ: โดยธรรมชาติแล้วปัญหาของสมการไดโอแฟนไทน์จะไม่สามารถตัดสินใจได้ แต่ตามคำจำกัดความของ NP มันสามารถถอดรหัสได้ ...

ในความเห็นของเราความยากลำบากในการแก้« P กับ NP »อยู่ที่ระดับการรับรู้ก่อนดังนั้นถ้าเราหวังที่จะได้รับข้อมูลเชิงลึกเกี่ยวกับ« P กับ NP »เราต้องถามคำถามแรก: NP คืออะไร?