NP-ครบถ้วนของปัญหาการระบายสีกราฟ

สูตรทางเลือก

ฉันคิดสูตรทางเลือกสำหรับปัญหาด้านล่าง การกำหนดทางเลือกเป็นจริงกรณีพิเศษของปัญหาการร้องและใช้กราฟสองฝ่ายเพื่ออธิบายปัญหา อย่างไรก็ตามฉันเชื่อว่าสูตรทางเลือกยังคงเป็นปัญหายาก การกำหนดทางเลือกใช้ชุด disjoint ของโหนดขาเข้าและขาออกที่ทำให้การกำหนดปัญหาง่ายขึ้น

ได้รับออกและโหนดเข้า (โหนดสีแดงและสีน้ำเงินในรูปตามลำดับ) และชุด 's ขนาดของน้ำหนักขอบระหว่างจุดออกและขาเข้า เป้าหมายของปัญหาคือสีขอบหนาในรูปเพื่อให้ทุกโหนดที่เข้ามามีเงื่อนไข$n$$n$$w_{ij}$$n \times n$

ได้รับชุดจุดยอดขาออก, ชุดของจุดยอดอินพุท,น้ำหนัก ระหว่าง 's และ ' s สำหรับ , และค่าคงที่บวก , หา จำนวนขั้นต่ำของสีสำหรับขอบ (ขอบหนาในรูปด้านบน) เช่นว่าทุก ,$\{ O_i \; | \; i=1 \dots n \}$$\{ I_i\; | \; i=1 \dots n \}$$n \times n$$w_{ij} \ge 0$$O_i$$I_j$$i,j=1 \dots n$$\beta$$e_{ii}$$j=1 \dots n$

$$\frac{w_{jj}}{1+\sum_{c(i)=c(j),i \neq j} w_{ij}} \ge \beta$$

ที่แสดงสีของขอบ{}$c(i)$$e_{ii}$

สูตรเก่า

ปัญหาต่อไปนี้ดูเป็นปัญหาสำหรับฉัน แต่ฉันไม่สามารถแสดงได้ การพิสูจน์ / ความคิดเห็นใด ๆ เพื่อแสดงความแข็งหรือความสะดวกสบายของมันชื่นชม

สมมติที่สมบูรณ์แบบกราฟถ่วงน้ำหนักกับโหนดและขอบ ให้แสดงน้ำหนักของขอบและการแสดงสีของขอบIJให้เซตย่อยของขอบและค่าคงที่เป็นบวกเป้าหมายคือ: ค้นหาจำนวนสีขั้นต่ำเช่นนั้นสำหรับแต่ละ :$K_n=\langle V,E \rangle$$n$$n(n-1)$$w_{ij} \ge 0$$ij$$c(ij)$$ij$$T \subseteq E$$\beta$$e_{ij} \in T$

$$\frac{w_{ij}}{1+\sum_{c(kl)=c(ij),kl \neq ij} w_{kj}} \ge \beta.$$ และ $$c(ij) \neq c(ik) \quad for \quad j \neq k$$

โปรดทราบว่าในปัญหาดังกล่าวข้างต้นเฉพาะขอบในจะต้องมีสี นั่นคือปัญหาที่เกิดขึ้นสามารถแก้ไขได้ใน|!)$T$$\mathcal{O}(|T|!)$

ปรับปรุง:

หลังจากความคิดเห็นของ Tsuyoshi Ito ฉันได้อัพเดตปัญหาแล้ว ตัวส่วนเปลี่ยนจากเป็น{} ดังนั้นตัวส่วนประกอบด้วยน้ำหนักนอกเช่นกัน นั่นคือเหตุผลที่ฉันพูดถึงกราฟที่สมบูรณ์ในคำจำกัดความ$1+\sum_{c(kj)=c(ij),k \neq i,e_{kj} \in T} w_{kj}$$1+\sum_{c(kl)=c(ij),kl \neq ij} w_{kj}$$T$

ฉันยังเพิ่มข้อ จำกัด เพิ่มเติมk นั่นหมายความว่าขอบขาออกจากโหนดจะต้องมีสีต่างกัน (แต่สีที่เข้ามาอาจจะเหมือนกันตราบใดที่ความไม่เท่าเทียมถือ) ทำให้นี้ใช้งานง่ายผูกพันลดลงในจำนวนของสีซึ่งเป็นการศึกษาระดับปริญญาออกสูงสุดของโหนดในT$c(ij) \neq c(ik) \quad for \quad j \neq k$$T$

ตามที่ Tsuyoshi พูดถึง 's,และเป็นอินพุตของปัญหาและสีของขอบเป็นผลลัพธ์$w_{ij}$$T$$\beta$

อัปเดต 2:

ปัญหาไม่ได้บังคับใช้ขอบและเป็นสีเดียวกัน$e_{ij}$$e_{ji}$

มันค่อนข้างง่ายที่จะแสดงว่าสูตรทางเลือกคือ NP-hard การลดลงมาจากปัญหาการระบายสีจุดยอด ได้รับกราฟ G มีจุดที่เราสร้างตัวอย่างของปัญหาดังกล่าวที่มีจุดส่งออกและจุดอินพุต น้ำหนักมีการตั้งค่าดังต่อไปนี้: สำหรับทุกให้ 1 สำหรับถ้ามีขอบระหว่างจุดสุดยอดและจุดสุดยอดให้ , อื่นให้ 0 นอกจากนี้ให้ 1$n$$n$$n$$i$$w_{ii}=1$$i \neq j$$i$$j$$w_{ij}=w_{ji}=1$$w_{ij}=w_{ji}=0$$\beta=1$

นี่ค่อนข้างชัดเจน แต่ยากที่จะอธิบายว่าทำไมการลดลงจึงถูกต้อง ให้แสดงอินสแตนซ์ของการระบายสีกราฟและแสดงอินสแตนซ์ที่ลดลงของปัญหา ในการแสดงการลดลงข้างบนนั้นเป็นวิธีแก้ปัญหาที่ถูกต้องเราต้องแสดงให้เห็นว่า (1) ทุกสีที่ใช้ได้สำหรับนั้นใช้ได้สำหรับเช่นกัน (2) คำตอบที่ได้รับจากเป็นน้อยที่สุดสำหรับ{C}$\mathcal{C}$$\mathcal{R}$$\mathcal{R}$$\mathcal{C}$$\mathcal{R}$$\mathcal{C}$

ถ้าและมีสองจุดที่อยู่ติดกันของแล้วพวกเขาก็จะต้องมีสีที่แตกต่างกันใน{R} นั่นเป็นเพราะถ้าและอยู่ติดกันและมีสีเดียวกันเศษส่วนจะส่งผลให้โดยที่มีค่าเป็นบวก ดังนั้นเงื่อนไขไม่ถือ นอกจากนี้ทุกสีที่ถูกต้อง (แต่ไม่จำเป็นต้องน้อยที่สุด) สำหรับเป็นสีที่ถูกต้องสำหรับเช่นกัน มันเป็นไปตามความจริงที่ว่าในสีที่ถูกต้องของ$i$$j$$\mathcal{C}$$\mathcal{R}$$i$$j$$\frac{w_{jj}}{1+\sum_{c(i)=c(j),i \neq j} w_{ij}}$$\frac{1}{1+X}$$X$$\mathcal{C}$$\mathcal{R}$$\mathcal{C}$ทุกคู่ของโหนดที่อยู่ติดกันมีสีต่างกันดังนั้นเงื่อนไขจะถือเป็นขอบสีทั้งหมดของในการแก้ปัญหา เนื่องจากทุกสีของเป็นสีที่ถูกต้องสำหรับการแก้ปัญหาน้อยที่สุดเพื่อจะต้องเป็นวิธีแก้ปัญหาที่น้อยที่สุดเพื่อ เช่นกัน ไม่อย่างนั้นจะไม่ใช่วิธีที่น้อยที่สุดเพราะวิธีแก้ปัญหา ให้วิธีแก้ปัญหาที่มีจำนวนสีน้อยกว่า$\mathcal{R}$$\mathcal{C}$$\mathcal{R}$$\mathcal{R}$$\mathcal{C}$$\mathcal{C}$

แก้ไข : การก่อสร้างด้านล่างทำงานได้ค่อนข้างเป็นต่อความคิดเห็นซึโยชิอิโตะด้านล่างก็ไม่ได้บังคับว่า(Ji) ฉันปล่อยไว้ในกรณีที่มันเป็นประโยชน์เริ่มต้น นอกจากนี้ไม่ควรมีส่วนโค้งที่มีน้ำหนัก0$c(ij)=c(ji)$$T$$0$

ตามเส้นที่แนะนำ Mohsen ให้เริ่มด้วย Edge Coloring, แปลงกราฟเป็น digraphบนจุดสุดยอดชุดเดียวกันกับที่เรามีและใน , ให้ส่วนโค้งทั้งหมด (ณ จุดนี้) น้ำหนัก , จากนั้นเพิ่มและให้กับกับชุดไปและ a$G=(V,E)$$D=(V,A)$$\forall uv\in E$$(u,v)$$(v,u)$$A$$a \in A$$w_{a} = 1$$\forall xy \notin E$$(x,y)$$(y,x)$$A$$w_{xy}=w_{yx}=0$$\beta$$1$$T=A$

จากนั้นเงื่อนไขก็น่าพึงพอใจก็ต่อเมื่อไม่มีส่วนโค้งสองอันที่จุดยอดเดียวกันมีสีเดียวกันโดยไม่สนใจส่วนโค้งที่มาจากที่ไม่ใช่ขอบในกราฟดั้งเดิม (เนื่องจากมีน้ำหนัก ) สีนี้สามารถแปลงกลับไปเป็นสีที่เหมาะสมสำหรับกราฟต้นฉบับ$0$

โดยทางเทคนิคแล้วฉันได้แปลงปัญหาดั้งเดิมของคุณเป็นปัญหาการตัดสินใจ ("กราฟมีสีเป็นหรือไม่?") แต่สิ่งนี้จำเป็นต้องทำเพื่อให้พอดีกับต่อไปและมันเปลี่ยนได้อย่างมีประสิทธิภาพเป็นพหุนาม$k$$NP$

ดังนั้นฉันคิดว่ามันใช้งานได้หรือว่าฉันเพิ่งแสดงสิ่งอื่นเพื่อเป็น -hard? ;)$NP$