เครื่องทัวริงเทปเดี่ยวที่มีอินพุตป้องกันการเขียนจะรับรู้เฉพาะภาษาปกติ

นี่คือปัญหา:

พิสูจน์ว่าเครื่องทัวริงเทปเดี่ยวที่ไม่สามารถเขียนบนส่วนของเทปที่มีสตริงป้อนข้อมูลจะรับรู้เฉพาะภาษาปกติ

ความคิดของฉันคือการพิสูจน์ว่า TM นี้โดยเฉพาะเทียบเท่ากับ DFA

การใช้ TM นี้เพื่อจำลอง DFA นั้นตรงไปตรงมามาก

อย่างไรก็ตามเมื่อฉันต้องการใช้ DFA นี้เพื่อจำลอง TM ฉันพบปัญหา สำหรับการเปลี่ยนแปลง TM , DFA สามารถจำลองได้อย่างแน่นอนโดยการอ่านเทปทางด้านขวาและทำการเปลี่ยนสถานะเดียวกัน$\delta(q,a)=(q',a,R)$

สำหรับ , ฉันไม่สามารถหาวิธีใช้ DFA หรือ NFA นี้เพื่อจำลองการย้ายทางซ้ายเนื่องจาก DFA อ่านไปทางซ้ายเท่านั้นและไม่มีสแต็กหรืออะไรที่จะเก็บ$\delta(q,a)=(q',a,L)$

ฉันควรพิจารณาวิธีอื่นไหม ใครช่วยบอกคำแนะนำกับฉันได้บ้าง ขอบคุณ

บทนำ

ฉันคิดว่าอาจมีข้อผิดพลาดในข้อความต้นฉบับของคำถามและ OP ไม่ได้ถาม ดังนั้นฉันจึงสันนิษฐานว่าเทปอ่านได้ทุกที่และเขียนหลักฐานแรกตามข้อสันนิษฐานนั้นซึ่งได้รับแรงบันดาลใจจากความจริงที่ว่า TM มีพลังทัวริงเต็มนอกส่วนอินพุตของเทปถ้ามันสามารถเขียนได้ เชื่อว่ามันสามารถรับรู้ภาษา RE ใด ๆ

อย่างไรก็ตามนั่นไม่ใช่กรณี: ข้อ จำกัด ในการเขียนบนส่วนอินพุตของเทปหมายความว่าเฉพาะข้อมูล จำกัด เท่านั้นที่สามารถแยกออกมาจากอินพุตถูก จำกัด โดยจำนวนสถานะเมื่อเข้าและออกจากส่วนนั้นของเทป (รวมกับ ด้านข้างของการเข้าและออก) InstructedAจะได้รับเครดิตสำหรับการบันทึกในความคิดเห็นว่ามีปัญหาในการจดจำภาษา RE ใด ๆ เนื่องจากไม่สามารถทำสำเนาของอินพุตโดยไม่ต้องเขียน EVER ไปยังพื้นที่อินพุตดั้งเดิม

ดังนั้นฉันจึงเขียนหลักฐานที่สองที่สมมติว่าเฉพาะส่วนอินพุตของเทปเป็นแบบอ่านอย่างเดียวส่วนที่เหลือที่ได้รับอนุญาตให้อ่าน - เขียนได้

ฉันกำลังเก็บหลักฐานทั้งสองไว้ที่นี่เหมือนครั้งแรกที่ช่วยฉันหาวิธีแก้ปัญหาแม้ว่ามันไม่จำเป็นที่จะต้องเข้าใจหลักฐานที่สองมีความซับซ้อนมากขึ้นและได้รับการพิสูจน์โดยหลักฐานที่สอง มันสามารถข้ามได้ อย่างไรก็ตามการพิสูจน์ที่อ่อนแอกว่ามีความได้เปรียบในการสร้างสรรค์ (เพื่อให้ได้ FSA ที่เทียบเท่ากับเครื่องทัวริง) ในขณะที่ผลลัพธ์ทั่วไปที่มากกว่านั้นก็ไม่เชิงสร้างสรรค์

อย่างไรก็ตามฉันจะให้ผลลัพธ์สุดท้ายและมีประสิทธิภาพมากขึ้นเป็นลำดับแรก ฉันรู้สึกประหลาดใจเล็กน้อยที่ฉันไม่สามารถค้นหาผลลัพธ์นี้แม้จะไม่มีข้อพิสูจน์ที่อื่นในเน็ตหรือโดยการถามผู้ใช้ที่มีความสามารถและการอ้างอิงถึงงานที่เผยแพร่ใด ๆ ก็ยินดีต้อนรับ

สารบัญ:

• เครื่องทัวริงที่ไม่ได้เขียนทับการป้อนข้อมูลยอมรับเฉพาะภาษาปกติ หลักฐานนี้ไม่สร้างสรรค์

• เครื่องทัวริงที่ใช้เทปแบบอ่านอย่างเดียวยอมรับเฉพาะภาษาปกติเท่านั้น มันอาจถูกข้ามไปเป็น subsumed โดยการพิสูจน์ก่อนหน้านี้ แต่ใช้วิธีการที่แตกต่างกันซึ่งมีข้อได้เปรียบของการสร้างสรรค์

เครื่องทัวริงที่ไม่ได้เขียนทับการป้อนข้อมูลยอมรับเฉพาะภาษาปกติ

$\Sigma^*$

เราคิดว่า TM ยอมรับเมื่อมันเข้าสู่สถานะการยอมรับ

พิสูจน์

เรากำหนดอินพุตที่ จำกัด การคำนวณ (IRC)เป็นการคำนวณ (อ่านอย่างเดียว) ของ TM เพื่อให้หัว TM อยู่ในส่วนอินพุตของเทปยกเว้นอาจเป็นช่วงการเปลี่ยนภาพครั้งสุดท้ายที่อาจย้ายไปยังเซลล์ทันทีที่ ซ้ายหรือขวาของพื้นที่อินพุต

การคำนวณที่ จำกัด อินพุตด้านซ้ายคือ IRC ที่เริ่มต้นที่สัญลักษณ์ซ้ายสุดของอินพุต การคำนวณที่ จำกัด อินพุตที่เหมาะสมคือ IRC ที่เริ่มต้นที่สัญลักษณ์ขวาสุดของอินพุต

$p$

• $K_{Lp\to Lq}$$p$$q$

• $K_{Lp\to Rq}$$p$$q$

• $A_{Lp}$$p$

$p$$K_{Rp\to Lq}$$K_{Rp\to Rq}$$A_{Rp}$

6 บทพิสูจน์นั้นขึ้นอยู่กับความจริงที่ว่าสองวิธีที่ไม่ใช่แบบ จำกัด สถานะออโตมาตะ (2NFA)รับรู้เซตปกติ (ดู Hopcroft + Ullman 1979, pp 36-41 และดำเนินการ 2.18 หน้า 51) 2NFA ทำงานเหมือน TM แบบอ่านอย่างเดียวบนเทปที่ จำกัด การป้อนข้อมูลเริ่มต้นจากสัญลักษณ์ซ้ายสุดและการยอมรับโดยการเคลื่อนที่เกินปลายด้านขวาในสถานะที่ยอมรับ

$K_{??\to ??}$

$p$$q$

$k$$4k^2$$K_{??\to ??}$$2k$$A_{??}$$4k^2+2k$

$4k^2+2k$$\Sigma^*$$4k^2+2k$

$\mathcal P$$\Sigma^*$$2^{4k^2+2k}$

$u$$v$$\mathcal P$$u$$v$$\mathcal P$

เพื่อให้สมบูรณ์มากเราข้ามกรณีของสตริงอินพุตว่าง ในกรณีนี้เรามี TM ปกติที่สามารถอ่านหรือเขียนได้ทุกที่ หากถึงสถานะที่ยอมรับได้สตริงว่างจะอยู่ในภาษามิฉะนั้นจะไม่เป็นเช่นนั้น แต่นั่นมีผลเพียงเล็กน้อยต่อความจริงที่ว่าภาษาที่ได้รับการยอมรับนั้นปกติ

แน่นอนว่ามันไม่สามารถตัดสินใจได้ว่าคลาสเทียบเท่าหรือไม่อยู่ในภาษา (เดียวกันถือสำหรับสตริงที่ว่างเปล่า) นี่คือหลักฐานที่ไม่สร้างสรรค์

QED

เครื่องทัวริงที่ใช้เทปแบบอ่านอย่างเดียวยอมรับเฉพาะภาษาปกติเท่านั้น

นี่คือวิทยโดยผลลัพธ์ก่อนหน้า มันถูกเก็บไว้เพราะใช้วิธีการที่แตกต่างกันอาจดูสง่างามน้อยกว่าและช่วยฉันในการค้นหาหลักฐานก่อนหน้าโดยการทำความเข้าใจกับสิ่งที่สำคัญ แต่ผู้อ่านสามารถข้ามได้ อย่างไรก็ตามข้อดีอย่างหนึ่งของข้อพิสูจน์นี้ก็คือมันเป็นข้อพิสูจน์เชิงสร้างสรรค์ที่ทำให้ FSA ยอมรับภาษา ร่างของหลักฐานที่คล้ายกันจะได้รับโดยHendrik ม.ค.ในคำตอบของเขาไปสู่คำถามที่คล้ายกันก่อนหน้านี้ซึ่งถือว่าเทปทั้งหมดถูกอ่านอย่างเดียว

$\Box$

ขั้นตอนแรกของการพิสูจน์คือการแสดงให้เห็นว่าหัวไม่จำเป็นต้องออกจากพื้นที่อินพุตของเทป เราจึงวิเคราะห์ว่าจะเกิดอะไรขึ้นเมื่อหัวเลื่อนสัญลักษณ์อินพุตที่ด้านขวาสุด การวิเคราะห์เมื่อเคลื่อนที่ออกทางซ้ายสุดเหมือนกัน

$q$

1. TM นั้นประมวลผลตลอดเวลาโดยไม่ต้องหัวกลับมาที่ส่วนอินพุตของเทป

2. TM ไปถึง (a) การยอมรับหรือ (b) หยุดในสถานะที่ไม่ยอมรับ

3. $r$

$q$

$\Box$$1$$0$

$0$

เราเป็นตัวแทนส่วนที่เกี่ยวข้องของการควบคุมสถานะอัน จำกัด โดยกราฟกำกับโดยที่จุดยอดคือสถานะของ TM และตำแหน่งที่ขอบเป็นช่วงการเปลี่ยนภาพว่างเปล่าโดยมีน้ำหนัก +1 หรือ -1 ขึ้นอยู่กับว่าหัวควรเคลื่อนที่หรือไม่ ขวาหรือซ้าย

$A_R$$q$

$E_R$$(q,r)$$-1$$q$$r$

$\Box$

$q_A$

$p,a\mapsto R,q$$p,a\mapsto R,q_A$$q\in A_R$

$p,a\mapsto R,q$$(q,r)\in E_R$$p,a\mapsto S,r$$S$

$a$$F_a=\{(p,r)\mid \text{ there is a dummy transition } p,a\mapsto S,r\}$$F_a^*$$F_a$$r,a\mapsto L,s$$(p,r)\in F_a^*$$p,a\mapsto L,s$

$+1$$-1$

$q_A$

ตอนนี้เราต้องทำการเปลี่ยนแปลงเครื่องสำอางเล็กน้อยเพื่อให้ TM นี้ทำงานเหมือนกับ NDA แบบสองทาง (การยอมรับเป็นเพียงการออกจากการป้อนข้อมูลทางด้านขวาเข้าสู่สถานะ eccpting เท่านั้น) จากนั้นเราสามารถพึ่งพาการรู้เท่ากันระหว่าง 2-NDA และ FSA (ดูตัวอย่าง Hopcroft + Ullman 1979, หน้า 40) เพื่อรับการพิสูจน์ว่าภาษาเป็นปกติ

QED

การย้ายไปทางซ้ายหรือขวาไม่ใช่ปัญหาเนื่องจากออโตมาต้า จำกัด สองวิธียอมรับภาษาที่แน่นอน (ซึ่งไม่ชัดเจน) อย่างไรก็ตามหาก TM ของคุณสามารถเขียนนอกส่วนของเทปของคำที่ป้อนเข้าได้ฉันคิดว่าคุณสามารถใช้ส่วนนี้ของเทปเพื่อจดจำในภาษาปกติ บางทีฉันอาจไม่เข้าใจคำถามอย่างชัดเจน