อะไรคือความผิดปกติที่เหมาะสมระหว่างภาษาทางการ?

ภาษาอย่างเป็นทางการ มากกว่าตัวอักษรเป็นส่วนหนึ่งของนั่นคือชุดของคำมากกว่าตัวอักษรว่า สองภาษาอย่างเป็นทางการและมีค่าเท่ากันถ้าชุดที่สอดคล้องกันเป็น extensionally เท่ากับเป็นส่วนย่อยของL' เราสามารถใช้ภาษาในทฤษฎีความซับซ้อนเพื่อทำให้แนวคิดของ "ปัญหา" เป็นระเบียบ ใคร ๆ ก็บ่นว่า "โดยทั่วไป" ความเสมอภาคมิติไม่สามารถอธิบายได้ แต่ฉันเชื่อว่าสิ่งนี้จะถูกเข้าใจผิด$L$$\Sigma$$\Sigma^*$$L$$L'$$L\cup L'$

ฉันไตร่ตรองปัญหาต่อไปนี้มาระยะหนึ่งแล้ว: สองภาษาและบนตัวอักษรและ (โดย , ,และ$L$$L'$$\Sigma=\{a,b\}$$\Sigma'=\{c,d\}$$a$$b$$c$$d$เป็นตัวอักษรที่แตกต่างกัน) จะต้องไม่เท่ากันแม้ว่าพวกเขาจะอธิบายว่า "ปัญหา" เดียวกัน " แต่พวกมันควรจะเป็นไอโซมอร์ฟิคหากพวกเขาอธิบายปัญหา "ที่เหมือนกัน" อย่างแท้จริง " สิ่งที่ฉันอยากรู้มีความเป็นไปได้ในเรื่องของมอร์ฟิซึ่มส์ที่เหมาะสมกับทฤษฎีความซับซ้อน ตอนแรกฉันคิดว่า "นักแปล" ที่อ่อนแอในการคำนวณเช่นเครื่อง จำกัด - รัฐสามารถใช้เพื่อกำหนด isomorphisms ที่ได้รับอนุญาต แต่สิ่งนี้ดูเหมือนจะพังลงแล้วสำหรับการแปลเชิงวากยสัมพันธ์เล็กน้อยระหว่างสูตรตรรกะเชิงตรรกะที่เทียบเท่า (ดูตัวอย่างตารางนี้พร้อมกับคำจำกัดความของคู่ ในตรรกะเชิงเส้น$A^\bot$ )

วันนี้ฉันมีความคิดต่อไปนี้: คำจำกัดความของภาษาที่สอดคล้องกับ "ปัญหาการตัดสินใจ" บางอย่างมักจะมีสองส่วน: (1) การเข้ารหัสของอินสแตนซ์ปัญหาที่ได้รับอนุญาตเป็นขอบเขต จำกัด ของสัญลักษณ์และ (2) คำจำกัดความของ " ยอมรับ "กรณีปัญหาซึ่งเป็นของภาษา หากการตรวจสอบว่าสตริง จำกัด ที่กำหนดของสัญลักษณ์เป็นการเข้ารหัสของปัญหาที่ได้รับอนุญาตต้องใช้เครื่องที่คำนวณได้ดีกว่าเครื่อง จำกัด สถานะแล้วเครื่องที่แข็งแกร่งกว่านี้ก็ควรใช้สำหรับนิยามของ isomorphisms ที่อนุญาตด้วย

คำถาม: มีเหตุผลมากมายในการแก้ปัญหาของฉันหรือไม่? ปัญหาของฉันได้รับการแก้ไขแล้วเพื่อที่ฉันจะต้องอ่านข้อมูลอ้างอิงที่ถูกต้อง? ปัญหาของฉันมีความหมายหรือไม่หรือนี่เป็นเพียงการเข้าใจผิดเกี่ยวกับความไม่แน่นอนของความเสมอภาคมิติ

แก้ไข (ยังไม่มีคำตอบ)ฉันสังเกตเห็นว่า "(1) การเข้ารหัสอินสแตนซ์ปัญหาที่อนุญาตเป็นสตริง จำกัด ของสัญลักษณ์" มีอยู่แล้ว (ซ่อน) สมมติฐานของอินพุตปกติ หากไม่มีข้อสันนิษฐานนี้สตริง จำกัด ที่แตกต่างกันสองสตริงอาจตรงกับอินสแตนซ์ปัญหาเดียวกัน แทนที่จะตรวจสอบว่าสตริง จำกัด ที่กำหนดนั้นถูกต้องหรือไม่การตรวจสอบอาจสร้างอินพุตปกติ (และแมปสตริงที่ไม่ถูกต้องกับสตริงพิเศษ)

การตั้งค่านี้มีข้อได้เปรียบที่เครื่องที่ทำการตรวจสอบ / การทำให้เป็นมาตรฐานได้ติดตั้งวิธีการเปลี่ยนสาย จำกัด ให้เป็นสายอักขระ จำกัด อื่น ๆ เครื่องที่ได้รับอนุญาต (คลาสความซับซ้อน) สำหรับงานนี้อาจเป็นส่วนหนึ่งของการกำหนดปัญหาและ morphisms (iso) จะใช้เครื่องเดียวกัน (คลาสความซับซ้อน) (ข้อเสนอแนะของ "การลดจำนวนโพลีหลายครั้ง" จากความคิดเห็นของราฟาเอลนั้นจะเป็นไปได้อย่างหนึ่งสำหรับปัญหาใน )$\mathsf{P}$

ข้อเสียเปรียบคือวิธีการกำหนดคุณสมบัตินี้อาจเหมาะสมสำหรับเครื่องที่กำหนดไว้แล้วเท่านั้น เครื่องที่ไม่ได้กำหนดค่าไว้อาจต้องการวิธีที่ยืดหยุ่นกว่าในการระบุ / ตัดสินใจว่าสตริงอินพุตสองสตริงสอดคล้องกับอินสแตนซ์ปัญหาเดียวกันหรือไม่

ปัญหาของฉันได้รับการแก้ไขแล้วเพื่อที่ฉันจะต้องอ่านข้อมูลอ้างอิงที่ถูกต้อง?

ทฤษฎีภาษาตระกูลนามธรรมมีความเกี่ยวข้อง ตัวอย่างเช่น morphisms ที่กำหนดโดย transducers สถานะ จำกัด นำไปสู่ตระกูลกรวย การพูดคุยสั้นระหว่างICMของไอเลนเบิร์กจากปี 1970 อธิบายกรอบนี้อย่างชัดเจนดูบทที่ 11 "การปิดคุณสมบัติของตระกูลภาษา" จากIntroduction to Automata Theory, Languages, Computing (1st ed.)โดย J. Hopcroft และ J. Ullman จากปี 1979 อย่างไรก็ตาม ภาษาเท่านั้น nondeterministic พอดีกับกรอบนี้1 ในท้ายที่สุดหนังสือทฤษฎีรหัสโดย J. Berstel และ D. Perrin จากปี 1985ช่วยให้ฉันหาวิธีแก้ไขที่เหมาะสมสำหรับปัญหาของฉัน รหัสและออโตโดย J. Berstel, D. Perrin และ C. Reutenauer จากปี 2009เป็นการแก้ไขครั้งใหญ่ของหนังสือเล่มนี้โดยมีเนื้อหาครอบคลุมมากขึ้น

บรรทัดของการให้เหตุผลนี้โอกาสในการ "แก้ไข" ปัญหาของฉันหรือไม่ ปัญหาของฉันมีความหมายหรือไม่หรือเป็นเพียงแค่เข้าใจผิดว่าเป็น ...

การสันนิษฐานว่ามีหมวดหมู่ที่ถูกต้องสำหรับการสร้างแบบจำลองสัณฐานระหว่างภาษาเพื่อ "ทำให้แนวคิดของปัญหา" เป็นทางการ มีหลายประเภทที่น่าสนใจในบริบทของภาษาทางการ

ที่นี่มีสามประเภทที่น่าสนใจที่เกี่ยวข้องกับการลดลงของจำนวนมากหนึ่งซึ่งจะถูกเรียกว่าเป็นรวม , บางส่วนและความสัมพันธ์ วัตถุประเภทคู่ของตัวอักษร จำกัดและภาษาของคำมากกว่า\สำหรับทั้งหมด morphisms ระหว่างวัตถุต้นทางและวัตถุเป้าหมายเป็นฟังก์ชันทั้งหมดกับ(L) สำหรับบางส่วน morphisms เป็นหน้าที่บางส่วน$(\Sigma, L)$$\Sigma$$L\subset\Sigma^*$$\Sigma$$(\Sigma, L)$$(\Sigma', L')$$f : \Sigma^* \to \Sigma'^*$$L=f^{-1}(L')$$f : \Sigma^* \to \Sigma'^*$ด้วยที่ฟังก์ชันสองส่วน ,ถูกพิจารณาว่าเท่ากัน (เป็น morphisms) ถ้าสำหรับทุกL สำหรับเชิงสัณฐานความสัมพันธ์มีความสัมพันธ์กับและสอง morphisms ระหว่างแหล่งเดียวกันและเป้าหมายนั้นถือว่าเท่ากัน . ชุดของฟังก์ชั่นหรือความสัมพันธ์ที่ได้รับอนุญาตสามารถถูก จำกัด ให้กับ "นักแปล" แบบง่าย ๆ เพื่อรับหมวดหมู่ที่มีความผิดปกติที่น่าสนใจ$L=f^{-1}(L')$$f$$g$$f(x)=g(x)$$x\in L$$R\subset \Sigma^* \times \Sigma'^*$$L=R^{-1}(L')$

• monoid homomorphisms จากถึงเป็นหมวดหมู่พื้นฐานที่สมบูรณ์มาก แสดงการถอดของหมวดหมู่นี้มีพื้นเพียง bijections ระหว่างและSigma' ตระกูลภาษาที่สมเหตุสมผลใด ๆ ควรที่จะเคารพ isomorphisms เหล่านี้ดีกว่าคือปิดภายใต้ homomorphisms ผกผัน$\Sigma^*$$\Sigma'^*$$\Sigma$$\Sigma'$
• ฟังก์ชั่นบางส่วนที่กำหนดโดยกำหนดเข้าสู่ระบบพื้นที่ทัวริงแปลเครื่องให้มีความเป็นธรรมชาติค่อนข้างบางส่วนหมวดหมู่ มันสามารถที่จะทำการเปลี่ยนแปลงเชิงวากยสัมพันธ์มากมาย (เช่นการใช้กฎของเดอมอร์แกนเพื่อเคลื่อนย้ายการปฏิเสธไปยังอะตอม) รวมถึงมอร์ฟิซึ่มส์ที่กำหนดโดยทรานสดิวเซอร์สถานะ จำกัด การทำงาน¹และยังสามารถเรียงลำดับ ถึงกระนั้นก็ยังไม่ได้ระบุว่าสองภาษาที่ไม่เกี่ยวข้องอย่างสมบูรณ์เป็น isomorphic เพราะความเท่าเทียมกันขององค์ประกอบของสองมอร์ฟิซึ่มส์กับมอร์ฟิซึ่มเอกลักษณ์เป็นข้อกำหนดที่แข็งแกร่งกว่าการมีอยู่ของการลดลงของทั้งสองทิศทาง
• ความสัมพันธ์ที่กำหนดโดยนักแปลทัวริงของ log-space ทัวริสเตอรอลให้หมวดหมู่เชิงสัมพันธ์ที่น่าสนใจ SAT คือ isomorphic to HORNSAT ในหมวดหมู่นี้ แต่มันเป็นคำถามที่เปิดกว้างว่า TAUTOLOGY หรือปัญหาร่วมอื่น ๆ ที่สมบูรณ์แบบของ NP คือ isomorphic ของ HORNSAT

สองภาษาและเหนือตัวอักษรและ (โดยที่ , ,และเป็นตัวอักษรที่แตกต่างกัน) จะไม่เท่ากันแม้ว่า พวกเขาอธิบาย "ปัญหา" เดียวกัน "อย่างแน่นอน" แต่พวกมันควรจะเป็นไอโซมอร์ฟิคหากพวกเขาอธิบายปัญหา "ที่เหมือนกัน" อย่างแท้จริง "$L$$L'$$\Sigma=\{a,b\}$$\Sigma'=\{c,d\}$$a$$b$$c$$d$

หมวดหมู่พื้นฐานทั้งหมดที่อธิบายไว้ข้างต้นช่วยแก้ปัญหานี้ได้

ปัญหาจะน่าสนใจยิ่งขึ้นถ้า "เหมือนเดิม" ถูกแทนที่ด้วย "เกือบจะเหมือนกันสำหรับจุดประสงค์ในทางปฏิบัติ": ให้เป็นภาษาเหนือและให้เป็น ภาษามากกว่าได้รับจากโดยเปลี่ยนตัว , ,และ11 โปรดทราบว่าในการใด ๆรวมหมวดหมู่และไม่ได้ isomorphic สำหรับ * เช่นเดียวกันจะเป็นจริงสำหรับหมวดหมู่บางส่วนถ้าส่วน "ที่ฟังก์ชันบางส่วนสองส่วน$L$$\Sigma=\{U,C,A,G\}$$L'$$\Sigma'=\{0,1\}$$L$$U \to 00$$C \to 01$$A \to 10$$G \to 11$$L$$L'$$L=\Sigma^*$$f$,ถือว่าเท่ากัน (เป็น morphisms) ถ้าสำหรับ "ถูกละไว้จากคำจำกัดความ$g$$f(x)=g(x)$$x\in L$

หมวดที่ค่อนข้างเป็นธรรมชาติบางส่วนที่อธิบายไว้ข้างต้นเพียงพอสำหรับการทำและ isomorphic มันจะเป็นการดีถ้ามีหมวดหมู่พื้นฐาน (เช่น จำกัด มากขึ้น) ที่ทำให้พวกมัน isomorphic ประเภทต่อไปนี้ (ถูก จำกัด มากขึ้นอย่างต่อเนื่อง) ดูสมเหตุสมผลสำหรับฉัน:$L$$L'$

• ฟังก์ชั่นบางส่วนที่รับรู้โดยทรานสดิวเซอร์ไฟไนต์สถานะที่ไม่คลุมเครือ²โดยที่สถานะที่ยอมรับเพียงอย่างเดียวคือสถานะเริ่มต้น แสดงการถอดนี้บางส่วนในประเภทคือ (กย่อยของ) bijections ระหว่างรหัสยาวตัวแปรที่รู้จัก
• ฟังก์ชั่นบางส่วนได้รับการยอมรับโดย transducers จำกัด แน่นอนที่รัฐยอมรับเพียงอย่างเดียวคือสถานะเริ่มต้น แสดงการถอดนี้บางส่วนในประเภทคือ (กย่อยของ) bijections ระหว่างรหัสคำนำหน้า
• ฟังก์ชั่นการรับรู้บางส่วนพร้อมกันโดยตัวแปลงสัญญาณไปข้างหน้าและถอยหลังแบบย้อนกลับโดยที่สถานะการยอมรับเพียงอย่างเดียวคือสถานะเริ่มต้น แสดงการถอดนี้บางส่วนในประเภทคือ (กย่อยของ) bijections ระหว่างรหัส bifix
• ข้อ จำกัด เพิ่มเติมของฟังก์ชั่นบางส่วนเช่นว่า isomorphisms คือ (ส่วนย่อยของ) bijections ระหว่างรหัสบล็อกก็สามารถทำให้รู้สึก

เราสามารถใช้ภาษาในทฤษฎีความซับซ้อนเพื่อทำให้แนวคิดของ "ปัญหา" เป็นระเบียบ

แม้ก่อนที่ฉันจะเรียนรู้เกี่ยวกับทฤษฎีหมวดหมู่ฉันก็ยังสงสัยว่ามีวิธี "ซื่อสัตย์มากกว่า" ที่จะทำให้แนวคิดของ "ปัญหา" เป็นระเบียบเรียบร้อยหรือไม่ หลังจากทำความคุ้นเคยกับทฤษฎีหมวดหมู่บางครั้งฉันพยายามหาวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ แต่มักจะเลิกบล็อกแรกอย่างรวดเร็วเสมอ (เพราะไม่มีใครใส่ใจเลย) ฉันรู้ว่ายูริกูเรวิชได้แก้ไขคำถามที่เกี่ยวข้องบางอย่าง แต่การแก้ปัญหาของเขาสามารถนำไปใช้ได้จริงในขณะที่ฉันกำลังมองหาสิ่งที่ดีและเป็นนามธรรม

เวลาส่วนใหญ่ของฉันในช่วงสามสัปดาห์ที่ผ่านมาในที่สุดก็ทำให้ความคืบหน้าเกี่ยวกับปัญหานี้ในที่สุด บ่อยครั้งที่การใช้เวลาในการค้นหาปัญหาที่น่ารำคาญในการแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ที่ฉันมีในใจ ความรู้สึกของความก้าวหน้าเกิดขึ้นจากการอ่านหนังสือและบทความเก่า ๆ รวมถึงการเรียนรู้แนวคิดพื้นฐานและข้อเท็จจริงมากมายเกี่ยวกับทรานสดิวเซอร์และชุดเหตุผล ในที่สุดฉันก็ได้เรียนรู้ความคิดของรหัสนำหน้าและรหัส bifix (ก่อนหน้านี้เป็นรหัส biprefix ในหนังสือของ Berstel) ซึ่งทำให้ฉันได้รับหมวด^{3 ที่}เหมาะสมตามที่อธิบายไว้ข้างต้น

อาจเป็นการยากที่จะชื่นชมหมวดหมู่เหล่านั้น (เกี่ยวข้องกับรหัส) โดยไม่เคยเห็นปัญหาของหมวดหมู่ที่ชัดเจนมากขึ้น ปัญหาทั่วไปคือการปิดภายใต้องค์ประกอบอาจทำให้ยากที่จะกำหนดคลาสบางส่วนที่ จำกัด ของฟังก์ชันบางส่วน อีกประเด็นหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับความจริงที่ว่าการเพิ่มหนึ่ง (หรือการคูณด้วยค่าคงที่) เป็น "ฟังก์ชั่นคำนวณง่าย" ถ้าตัวเลขของตัวเลขนั้นได้รับในลำดับต่ำสุดของ endian แต่ไม่ใช่ถ้าตัวเลขถูกกำหนดเป็นใหญ่ คำสั่ง endian

1 _{ตัวแปลงสัญญาณสถานะ จำกัด เชิงหน้าที่เป็นตัวแปลงสัญญาณ จำกัด ขอบเขตแบบไม่มีเงื่อนไขกำหนดที่รู้ตัวฟังก์ชัน ฟังก์ชั่นบางส่วนเหล่านี้ไม่สามารถรับรู้ได้โดยเครื่องแปลงความถี่สถานะ จำกัด พวกเขาสามารถตระหนักโดยกำหนดbimachinesแต่ผู้ที่อาจต้องไปข้างหน้าและข้างหลังสแกนมากกว่าการป้อนข้อมูลที่หากพวกเขาต้องการที่จะทำงานในพื้นที่$O(n)$$O(1)$}

2 _{transducer finite state ที่ไม่กำกวมเป็น transducer finite state แบบไม่ จำกัด ขอบเขตอย่างน้อยที่สุดหนึ่งพา ธ การยอมรับสำหรับแต่ละอินพุต มันตระหนักถึงฟังก์ชั่นบางส่วนดังนั้นจึงเป็นตัวแปลงสัญญาณสถานะ จำกัด การทำงาน มันเป็นเรื่องที่ตัดสินใจได้ว่าสถานะ จำกัด transducer ไม่มีความชัดเจน}

3 _{ฉันไม่แน่ใจว่ายอดรวมและหมวดหมู่สัมพันธ์ที่แนะนำด้านบนนั้นสมเหตุสมผลเพียงใด ฉันแค่ต้องการแสดงทางเลือกที่ตรงไปตรงมากับหมวดหมู่บางส่วน ทางเลือกที่ง่ายขึ้นที่จะเกิดขึ้นเช่นร่วมสัมพันธ์ซึ่งสัณฐานมีความสัมพันธ์กับและสัณฐานสองประการใด ๆ ระหว่างแหล่งที่มาและเป้าหมายเดียวกันนั้นถือว่าเท่ากัน $R\subset \Sigma^* \times \Sigma'^*$$L=R^{-1}(L')-R^{-1}(\Sigma'^*-L')$}