ทำไมทัวริงถึงถูกต้อง?

ฉันใช้คอมพิวเตอร์ดิจิทัลเพื่อเขียนข้อความนี้ เครื่องดังกล่าวมีคุณสมบัติซึ่งถ้าคุณคิดว่ามันเป็นจริงค่อนข้างโดดเด่น: มันเป็นหนึ่งในเครื่องซึ่งหากโปรแกรมที่เหมาะสมสามารถดำเนินการคำนวณเป็นไปได้ใด ๆ

แน่นอนว่าการคำนวณเครื่องจักรแบบใดแบบหนึ่งกลับไปเป็นแบบโบราณ ผู้คนได้สร้างเครื่องจักรเพื่อทำการบวกและลบ (เช่นลูกคิด) การคูณและการหาร (เช่นกฎสไลด์) และเครื่องจักรเฉพาะโดเมนอื่น ๆ เช่นเครื่องคิดเลขสำหรับตำแหน่งของดาวเคราะห์

สิ่งที่โดดเด่นเกี่ยวกับคอมพิวเตอร์ก็คือมันสามารถทำการคำนวณใด ๆ การคำนวณใด ๆ เลย และทั้งหมดโดยไม่ต้องติดตั้งเครื่องจักรใหม่ วันนี้ทุกคนใช้ความคิดนี้เพื่อรับ แต่ถ้าคุณหยุดและคิดเกี่ยวกับมันมันน่าอัศจรรย์ที่อุปกรณ์ดังกล่าวเป็นไปได้

ฉันมีคำถามจริงสองข้อ :

เมื่อไหร่ที่มนุษยชาติคิดออกว่าเครื่องจักรดังกล่าวเป็นไปได้? เคยมีข้อสงสัยอย่างมากเกี่ยวกับว่าสามารถทำได้หรือไม่? เรื่องนี้ถูกตัดสินเมื่อไหร่? (โดยเฉพาะมันถูกตัดสินก่อนหรือหลังการใช้งานจริงครั้งแรกหรือไม่)
นักคณิตศาสตร์พิสูจน์ได้อย่างไรว่าเครื่องทัวริงที่สมบูรณ์สามารถคำนวณทุกอย่างได้จริง ๆ

คนที่สองนั้นเที่ยวยุ่งยิ่ง ดูเหมือนว่าพิธีการทุกอย่างจะมีบางสิ่งที่ไม่สามารถคำนวณได้ ปัจจุบัน "ฟังก์ชันคำนวณ" ถูกกำหนดให้เป็น "อะไรทัวริงเครื่องสามารถคำนวณ" แต่เราจะรู้ได้อย่างไรว่าไม่มีเครื่องจักรที่ทรงพลังกว่าเล็กน้อยที่สามารถคำนวณสิ่งต่าง ๆ ได้มากขึ้น? เราจะรู้ได้อย่างไรว่าเครื่องจักรทัวริงเป็นนามธรรมที่ถูกต้อง?

computability turing-machines history

— MathematicalOrchid
แหล่งที่มา

คอมพิวเตอร์ (และแบบจำลองทางทฤษฎีของพวกเขาเช่นเครื่องทัวริง) ไม่สามารถคำนวณได้ทุกอย่าง ตรวจสอบเช่นลังเลปัญหา

ตอบคำถามที่สอง: เราไม่พิสูจน์สิ่งนี้ มันเป็นเรื่องของความหมาย; ปรากฎว่าสิ่งที่เราคิดว่า "คำนวณ" อย่างสังหรณ์ใจนั้นคำนวณโดยเครื่องทัวริง (หรืออะไรก็ตามที่เทียบเท่า) การเรียกร้องนี้เป็นที่รู้จักกันวิทยานิพนธ์โบสถ์ทัวริง

— sdcvvc

การหักล้างวิทยานิพนธ์ของคริสตจักรหมายความว่าอย่างไร

— Artem Kaznatcheev

เครื่องเช่นพีซีของคุณที่มีหน่วยความจำ จำกัด นั้นไม่ได้มีการเทียบเท่ากับทัวริง เครื่องทัวริงมีเทปที่ไม่มีขอบเขตซึ่งหมายความว่ายิ่งการคำนวณต่อไปนานเท่าใดหน่วยความจำก็ยิ่งสามารถใช้งานได้มากขึ้นเท่านั้น พีซีไม่สามารถทำการคำนวณที่ใช้เวลา จำกัด แต่ต้องการพื้นที่เก็บข้อมูลมากกว่าที่มี

— Mike Samuel

@ MikeSamuel นี่คือความแตกต่างทางความคิดและคล้ายกับการพูดว่า "มีจำนวน จำกัด ของอนุภาคในจักรวาลดังนั้นทุกอย่างเป็นสถานะที่แน่นอน" มันเป็นข้อความจริง แต่ไม่มีประโยชน์ มันไม่ค่อยมีประโยชน์ในการสร้างแบบจำลองคอมพิวเตอร์ในโลกแห่งความจริงในฐานะเครื่อง จำกัด แน่นอน

— Artem Kaznatcheev

คำตอบ:

การคำนวณอย่างเป็นทางการของมนุษยชาติและพัฒนาทั้งสองระบบในปี 1936 ด้วยเอกสารน้ำเชื้อของAlonzo Churchบน -calculusและAlan Turing (ซึ่งวันนี้ 23 มิถุนายน 2012 จะมีอายุ 100 ปีหากไม่ใช่เพราะสถานการณ์น่ารังเกียจที่นำไปสู่การเสียชีวิตครั้งแรกของเขา) ในสิ่งที่เป็นที่รู้จักในฐานะทัวริง - เครื่องจักร นักคณิตศาสตร์ทั้งสองได้รับการแก้Entscheidungsproblem $\lambda$

แม้ว่าเอกสารของศาสนจักรได้รับการตีพิมพ์ก่อนหน้านี้เล็กน้อย แต่ทัวริงไม่รู้เมื่อเขาพัฒนาความคิดของเขาและวิธีการของทัวริงพิสูจน์แล้วว่ามีประโยชน์มากกว่าสำหรับการออกแบบเครื่องจักรในโลกแห่งความจริง นี่เป็นเพราะเขาแสดงให้เห็นถึงวิธีการออกแบบUniversal Turing Machineที่สามารถตั้งโปรแกรมให้รันการคำนวณใด ๆ เครื่องจักรอเนกประสงค์ที่มีสถาปัตยกรรมคอนกรีตที่สร้างจากผลงานของJohn von Neumannเป็นแนวคิดพื้นฐานที่อยู่เบื้องหลังเครื่องที่คุณกำลังอ่านคำตอบของฉัน

ดังที่คุณกล่าวไว้การคำนวณนั้นหมายถึง "การคำนวณบนเครื่องทัวริง" และแบบจำลองการคำนวณอื่น ๆ ที่สมเหตุสมผลทั้งหมดได้พิสูจน์แล้วว่าเทียบเท่ากับพลังของมัน ความเชื่อที่ว่าแบบจำลองการคำนวณที่สมเหตุสมผลทั้งหมดนั้นเทียบเท่ากับปัญหาการตัดสินใจที่พวกเขาสามารถแก้ไขได้เรียกว่าวิทยานิพนธ์ทัวริสต์ทัวริสต์ ในรูปแบบดั้งเดิมมันเกือบจะเชื่ออย่างสมบูรณ์โดยชุมชนที่เรียนรู้ ในความเป็นจริงมันไม่ชัดเจนว่าการพิสูจน์ / พิสูจน์หักล้างวิทยานิพนธ์ของโบสถ์ที่ทัวริงนั้นหมายความว่าอย่างไร ในหลาย ๆ วิธีมันกลายเป็นคำถามเชิงประจักษ์

อย่างไรก็ตามยังมีการทำวิทยานิพนธ์ทัวริสต์ในโบสถ์เพิ่มเติมซึ่งถามคำถามที่ละเอียดยิ่งขึ้นอีกเล็กน้อยของ: สิ่งที่สามารถคำนวณได้อย่างมีประสิทธิภาพ ? โมเดลคลาสสิกจำนวนมากเช่น -calculus, Turing Machines, ระบบแท็ก, เซลลูลาร์ออโตมาตาและอื่น ๆ ที่เทียบเท่ากับวิทยานิพนธ์ที่ขยายออกไปเช่นกัน อย่างไรก็ตามการพัฒนาควอนตัมคอมพิวติ้งเมื่อไม่นานมานี้ทำให้เกิดความสงสัยในการทำวิทยานิพนธ์เพิ่มเติม แม้ว่าคนส่วนใหญ่ที่ทำงานบนเครื่องคอมพิวเตอร์ควอนตัม (รวมทั้งผม) เชื่อว่าพวกเขามีประสิทธิภาพมากขึ้นว่าคนที่คลาสสิกเรื่องคืออาจมีการอภิปรายทางวิชาการ โปรดทราบว่าในแง่ของความคิดหยาบของสิ่งที่คำนวณได้ (ตรงข้ามกับประสิทธิภาพ $\lambda$ คำนวณ) การคำนวณควอนตัมยังคงเทียบเท่ากับโมเดลของทัวริง

— Artem Kaznatcheev
แหล่งที่มา

เอกสารปี 1936 ของทัวริงเมื่อเทียบกับงานของศาสนจักรในเวลานั้นมีความน่าสนใจมากกว่าในการโต้แย้งว่าฟังก์ชันเชิงตัวเลขใด ๆ ที่สามารถคำนวณโดยอัลกอริทึมโดยมนุษย์สามารถคำนวณได้โดยเครื่องทัวริง พิธีการของศาสนจักรไม่ชัดเจนว่ามีทรัพย์สินและจนถึงทุกวันนี้การลดระบบการคำนวณอื่น ๆ ลงในเครื่องทัวริงก็มีความสำคัญเนื่องจากการวิเคราะห์ดั้งเดิมของทัวริงว่าเครื่องทัวริงอะไรสามารถคำนวณได้

— Carl Mummert

@CarlMummert ฉันเห็นด้วยอย่างแน่นอน แต่งานของโบสถ์ต้องถูกกล่าวถึงอย่างครบถ้วน นอกจากนี้มันไม่ได้มีนัยสำคัญเลยในขณะที่ทฤษฎีส่วนใหญ่สร้างขึ้นรอบ TMs ทฤษฎี The B นั้นเป็นมิตรต่อแลมบ์ดาแคลมากขึ้น ดังนั้นจึงเป็นความแตกต่างของวัฒนธรรมบางส่วน

— Artem Kaznatcheev

รอ - คุณกำลังบอกว่ามันไม่ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าไม่มีระบบการคำนวณที่ทรงพลังมากขึ้น? มันเป็นเพียงข้อสมมติฐาน ?

— คณิตศาสตร์

@MathematicalOrchid ทั้งหมดที่เหมาะสมรูปแบบของการคำนวณ (ที่เหมาะสมประมาณหมายถึง: ในเวลาเพียงหนึ่งเดียวที่ทำงานในส่วนที่ จำกัด ของวัตถุและทำเพียงหนึ่งในหลายทางเลือกขีด) ที่ผมคุ้นเคยกับได้รับการแสดงเทียบเท่ากับเครื่องจักรทัวริง

— Artem Kaznatcheev

@MathematicalOrchid เพื่อให้คำตอบที่ตรงไปตรงมามากขึ้นสำหรับคำถามการติดตามของคุณ: ใช่ไม่มีใครพิสูจน์ว่าไม่มีรูปแบบการคำนวณที่สมเหตุสมผลที่ทรงพลังกว่า TM "อัสสัมชัญ" เป็นคำเดียวสำหรับมัน "สมมติฐาน" เป็นอีกเรื่องหนึ่ง เราสามารถตื่นขึ้นมาในวันพรุ่งนี้และดูรูปแบบการคำนวณใหม่ที่ดีกว่าบน CNN มันไม่น่าเป็นไปได้ แต่เป็นไปได้

— Patrick87

-2

มีเหตุผลที่เรียกว่าเครื่องทัวริงและเพราะมันถูกคิดค้นโดยอลันทัวริง เขาทำบทความบนกระดาษ 2479 สร้างแนวคิดเหล่านี้ หากคุณต้องการทราบข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับเครื่องจักรทัวริงให้ตรวจสอบกระดาษ ก่อนที่เขาจะออกแบบและสร้างสิ่งที่ทำลายปริศนาซึ่งแนวคิดนี้สามารถใช้งานได้จริง อย่างไรก็ตามชาวอังกฤษค่อนข้างสิ้นหวังและเขาเป็นอัจฉริยะดังนั้นพวกเขาจึงเชื่อใจเขาและได้รับผลตอบแทนมหาศาล

อย่างไรก็ตามเมื่อคุณคิดถึงมันมากกว่านี้มันก็ไม่ได้วิเศษขนาดนั้นเลย เป็นที่ทราบกันมานานก่อนที่ทัวริงว่าคณิตศาสตร์ทั้งหมดจะถูกลดลงเหลือแค่สัจพจน์บางชุด สิ่งที่คุณต้องทำคือให้คำแนะนำกำหนดความสามารถในการปฏิบัติสัจพจน์เหล่านี้และจากไป

— ลูกสุนัข
แหล่งที่มา

ทัวริงไม่ได้ออกแบบหรือสร้างปริศนา (แม้ว่าเขาจะออกแบบคอมพิวเตอร์เครื่องอื่นซึ่งไม่เคยสร้าง) ย่อหน้าที่สองของคุณทำออกมาได้ดี: ความตื่นเต้นมากมายในช่วงเวลาของทัวริง (และนี่คือประเด็นของบทความของเขา) ที่เกี่ยวข้องกับข้อ จำกัด ของการคำนวณ

— Marcin

เราเชื่อใจเขาไหม? เพียงจนกว่าเขาจะได้รับการพิสูจน์ว่าเป็นเกย์พวกเราจะฆ่าเขา นอกจากนี้ยังได้รับการพิสูจน์แล้วว่ามีชุดของปัญหาที่สามารถระบุไว้ในกรอบความจริงใด ๆ ที่ไม่สามารถพิสูจน์ได้ด้วยสัจพจน์เหล่านั้น

@ TonyHopkinson: ฉันรู้ อย่างไรก็ตามงานของ TM ไม่ได้เป็นการคำนวณทุกอย่างแต่เพื่อคำนวณสิ่งที่สามารถคำนวณได้ ข้อความของคุณบอกว่ามีการคำนวณบางอย่างซึ่งไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าถูกต้อง นั่นไม่ได้หมายความว่าพวกเขาไม่สามารถทำได้

@ มาร์ซิน: ฉันไม่เคยบอกเป็นนัย ๆ ว่าทัวริงได้ออกแบบหรือสร้างอินิกมา ฉันบอกว่าเขามีบทบาทสำคัญในเครื่องจักรซึ่งทำให้ปริศนาแตก

คำตอบนี้ไม่ถูกต้อง ทัวริงไม่ได้ออกแบบ TM เพื่อไขปริศนาเขาช่วยออกแบบBombeซึ่งเป็นเครื่องจักรพิเศษสำหรับโจมตีรหัสปริศนาและไม่ใช่สากล นอกจากนี้ยังไม่มีใครรู้ว่าคณิตศาสตร์จะถูกลดเหลือแค่สัจพจน์บางชุด ในความเป็นจริงในปี 1931 Godel ได้พิสูจน์สิ่งที่ตรงกันข้ามและอยู่บนแนวคิดของข้อพิสูจน์ว่างานของทัวริงนั้นมีพื้นฐานมาจาก แม้แต่ความคิดเห็นเกี่ยวกับการเปิดอ่านบทความต้นฉบับของทัวริงก็ทำให้เข้าใจผิด ถึงแม้ว่ากระดาษจะดี แต่ถ้าคุณแค่ต้องการเรียนรู้พื้นฐานหนังสือแบบสมัยใหม่อย่าง Sipser ก็ดีกว่า

— Artem Kaznatcheev