วิทยานิพนธ์เพิ่มเติมเกี่ยวกับโบสถ์ทัวริง

หนึ่งในคำถามที่กล่าวถึงมากที่สุดในเว็บไซต์ได้รับสิ่งที่มันจะหมายถึงการที่จะพิสูจน์วิทยานิพนธ์โบสถ์ทัวริง ส่วนหนึ่งเป็นเพราะ Dershowitz และ Gurevich ตีพิมพ์หลักฐานของวิทยานิพนธ์ทัวริสตจักรทัวริงเป็น Bulletin ของ Symbolic Logic ในปี 2008 (ฉันจะไม่พูดถึงที่นี่ แต่สำหรับลิงค์และความคิดเห็นที่กว้างขวางโปรดดูคำถามเดิมหรือ - - การโปรโมตตนเองที่ไร้ยางอาย - รายการบล็อกที่ฉันเขียน)

คำถามนี้เป็นคำถามเกี่ยวกับการขยายวิทยานิพนธ์โบสถ์ทัวริงซึ่งเป็นสูตรโดยเอียนพาร์เบอร์รีเป็น:

เวลาในโมเดลเครื่องที่ "สมเหตุสมผล" นั้นสัมพันธ์กับพหุนาม

ขอบคุณ Giorgio Marinelli ฉันได้เรียนรู้ว่าหนึ่งในผู้เขียนร่วมของบทความก่อนหน้านี้ Dershowitz และนักศึกษาปริญญาเอกของเขา Falkovich ได้ตีพิมพ์หลักฐานของวิทยานิพนธ์คริสตจักรทัวริงซึ่งเพิ่งปรากฏที่การประชุมเชิงปฏิบัติการการพัฒนาของ รุ่นคำนวณ 2011

เช้านี้ฉันเพิ่งพิมพ์ออกมาและฉันก็อ่านไม่ออกเลย ผู้เขียนอ้างว่าเครื่องจักรทัวริงสามารถจำลองอุปกรณ์คำนวณแบบลำดับใดก็ได้ที่มีค่าใช้จ่ายส่วนใหญ่ การคำนวณควอนตัมและการคำนวณแบบขนานขนาดใหญ่ไม่ได้ครอบคลุมอย่างชัดเจน คำถามของฉันเกี่ยวข้องกับข้อความต่อไปนี้ในเอกสาร

เราได้แสดงให้เห็น - ตามที่ได้รับการคาดการณ์และเชื่อกันอย่างกว้างขวางว่าการใช้งานที่มีประสิทธิภาพทุกครั้งไม่ว่าโครงสร้างข้อมูลใดที่ใช้จะถูกจำลองด้วยเครื่องทัวริง

ดังนั้นคำถามของฉัน: นี่คือ "เชื่ออย่างกว้างขวาง" แม้ในกรณีของการคำนวณตามลำดับ "อย่างแท้จริง" โดยไม่มีการสุ่มหรือไม่ เกิดอะไรขึ้นถ้าสิ่งที่สุ่ม? การคำนวณควอนตัมน่าจะเป็นตัวอย่างที่น่าจะเป็นถ้าจริง ๆ แล้วมันสามารถยกตัวอย่างได้ แต่มีความเป็นไปได้ที่ "อ่อนแอ" กว่าควอนตัมที่จะเป็นตัวอย่าง

เตรียมพูดจาโผงผาง

ฉันต้องบอกคุณฉันไม่เห็นว่าการพูดคุยเกี่ยวกับ "บทพิสูจน์" ของ CT หรือ ECT จะเพิ่มแสงให้กับการสนทนานี้อย่างไร "หลักฐาน" ดังกล่าวมีแนวโน้มที่จะดีเท่ากับสมมติฐานที่พวกเขาวางอยู่บน - ในคำอื่น ๆ เช่นเดียวกับสิ่งที่พวกเขาใช้คำเช่น "การคำนวณ" หรือ "การคำนวณที่มีประสิทธิภาพ" หมายถึง ดังนั้นทำไมไม่ดำเนินการต่อทันทีเพื่อการอภิปรายของสมมติฐานและแจกจ่ายด้วยคำว่า "พิสูจน์"?

นั่นชัดเจนมากแล้วกับ CT ดั้งเดิม แต่ก็ชัดเจนยิ่งขึ้นด้วย ECT --- เนื่องจากไม่เพียง แต่เป็น ECT "ไม่สามารถพิสูจน์ได้ในเชิงปรัชญา" แต่วันนี้มันเชื่อกันอย่างกว้างขวางว่าเป็นเท็จ! สำหรับฉันการคำนวณควอนตัมนั้นเป็นตัวอย่างใหญ่ที่เห็นได้ชัดซึ่งควรจะเป็นจุดเริ่มต้นสำหรับการอภิปรายสมัยใหม่เกี่ยวกับ ECT ไม่ใช่สิ่งที่ปัดออกไปด้านข้าง ทว่ากระดาษที่เขียนโดย Dershowitz และ Falkovich ไม่ได้สัมผัสกับ QC จนถึงย่อหน้าสุดท้าย:

ผลลัพธ์ข้างต้นไม่ครอบคลุมการคำนวณแบบขนานขนาดใหญ่เช่นการคำนวณควอนตัมเนื่องจากมันมีตำแหน่งคงที่ในระดับของการขนานซึ่งมีจำนวนของคำสำคัญที่กำหนดโดยอัลกอริทึม คำถามเกี่ยวกับความซับซ้อนของ [sic] ของตัวแบบคู่ขนานจะถูกติดตามในอนาคตอันใกล้

ฉันพบสิ่งที่ทำให้เข้าใจผิดสูงกว่าข้างต้น: QC ไม่ใช่ "รุ่นคู่ขนาน" ในความหมายทั่วไป ในกลศาสตร์ควอนตัมไม่มีการสื่อสารโดยตรงระหว่าง "กระบวนการแบบขนาน" --- การแทรกสอดของแอมพลิจูดเท่านั้น - แต่มันก็ยังง่ายที่จะสร้าง "กระบวนการคู่ขนาน" แบบทวีคูณ (อันที่จริงใคร ๆ ก็สามารถนึกถึงทุกระบบของจักรวาลในขณะที่เราพูด!) ไม่ว่าในกรณีใดก็ตามที่คุณคิดเกี่ยวกับการตีความกลศาสตร์ควอนตัม (หรือแม้แต่ความจริงหรือเท็จ) ก็ชัดเจนว่ามันต้องแยก การอภิปราย!

ตอนนี้คำถามที่น่าสนใจของคุณ!

ไม่ฉันไม่ทราบถึงตัวอย่างที่น่าเชื่อถือของ ECT นอกเหนือจากการคำนวณควอนตัม กล่าวอีกนัยหนึ่งถ้ากลศาสตร์ควอนตัมเป็นเท็จ (ในทางที่ยังคงรักษาจักรวาล "ดิจิตอล" มากกว่า "อะนาล็อก" ที่ระดับพลังค์ --- ดูด้านล่าง) ดังนั้น ECT ที่ฉันเข้าใจว่ามันยังคงไม่เป็นเช่นนั้น "พิสูจน์ได้" (เนื่องจากมันจะยังคงขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงเชิงประจักษ์เกี่ยวกับสิ่งที่คำนวณได้อย่างมีประสิทธิภาพในโลกทางกายภาพ) แต่มันจะเป็นสมมติฐานการทำงานที่ดี

การสุ่มอาจไม่ท้าทาย ECT ตามที่เข้าใจตามอัตภาพเนื่องจากหลักฐานที่แข็งแกร่งในวันนี้คือ P = BPP (แม้ว่าโปรดทราบว่าหากคุณสนใจในการตั้งค่าอื่นนอกเหนือจากปัญหาการตัดสินใจทางภาษา - ตัวอย่างเช่นปัญหาเกี่ยวกับความสัมพันธ์ต้นไม้ตัดสินใจหรือความซับซ้อนในการสื่อสาร - จากนั้นการสุ่มการพิสูจน์สามารถสร้างความแตกต่างอย่างมาก คนที่จะพูดถึงพวกเขาไม่ใช่คนที่คนทั่วไปมักนึกถึงเมื่อพูดถึง ECT)

อีกตัวอย่างของ "counterexamples" สำหรับ ECT ที่มักเกิดขึ้นนั้นเกี่ยวข้องกับการคำนวณแบบอะนาล็อกหรือ "ไฮเปอร์" มุมมองของฉันเองก็คือว่าในความเข้าใจที่ดีที่สุดของเราในปัจจุบันเกี่ยวกับฟิสิกส์การคำนวณแบบอะนาล็อกและการประมวลผลหลายมิติไม่สามารถปรับขนาดได้และเหตุผลที่พวกเขาทำไม่ได้คือกลไกกลศาสตร์ควอนตัม! โดยเฉพาะอย่างยิ่งในขณะที่เรายังไม่มีทฤษฎีแรงโน้มถ่วงควอนตัมสิ่งที่ทราบกันดีในวันนี้ชี้ให้เห็นว่ามีอุปสรรคพื้นฐานในการวิ่งมากกว่า 10 ⁴³ขั้นตอนการคำนวณต่อวินาทีหรือแก้ไขระยะทางที่เล็กกว่าประมาณ 10 ^-33ซม.

ในที่สุดถ้าคุณต้องการที่จะอภิปรายสิ่งที่อาจเป็นความท้าทายที่น่าเชื่อถือหรือน่าสนใจสำหรับ ECT และอนุญาตเฉพาะการคำนวณแบบต่อเนื่องไม่ต่อเนื่องกำหนดขึ้นจากนั้นฉันเห็นด้วยกับ Dershowitz และ Falkovich ที่ ECT ถืออยู่! :-) แต่ถึงอย่างนั้นมันก็ยากที่จะจินตนาการว่า "การพิสูจน์อย่างเป็นทางการ" เพิ่มความมั่นใจของฉันในคำสั่งนั้น - ปัญหาจริงอีกครั้งคือสิ่งที่เราใช้คำเช่น "อนุกรม", "ไม่ต่อเนื่อง" และ "กำหนด" เพื่อค่าเฉลี่ย

สำหรับคำถามสุดท้ายของคุณ:

การคำนวณควอนตัมน่าจะเป็นตัวอย่างที่น่าจะเป็นถ้าจริง ๆ แล้วมันสามารถยกตัวอย่างได้ แต่มีความเป็นไปได้ที่ "อ่อนแอ" กว่าควอนตัมที่จะเป็นตัวอย่าง

วันนี้มีตัวอย่างที่น่าสนใจมากมายของระบบทางกายภาพที่ดูเหมือนว่าจะสามารถนำไปใช้ในการคำนวณควอนตัมบางส่วนแต่ไม่ทั้งหมด (การยอมให้คลาสความซับซ้อนที่อาจเป็นสื่อกลางระหว่าง BPP และ BQP) นอกจากนี้ระบบเหล่านี้จำนวนมากอาจเข้าใจได้ง่ายกว่าระบบควบคุมคุณภาพแบบเต็ม ดูตัวอย่างเอกสารนี้โดย Bremner, Jozsa และ Shepherd หรือเอกสารนี้โดย Arkhipov และตัวฉันเอง

คำตอบนี้มีจุดประสงค์เพื่อเป็นส่วนเสริมของคำตอบของ Scott Aaronson (ซึ่งส่วนใหญ่ฉันเห็นด้วย)

จากมุมมองทางวิศวกรรมเป็นที่น่าสังเกตว่าบทความ Dershowitz / Falkovich ใช้คำว่า "สุ่ม" เท่านั้นในแง่ของ "หน่วยความจำเข้าถึงโดยสุ่ม" และยิ่งกว่านั้นบทความไม่ได้ใช้คำว่า "ตัวอย่าง" (หรืออย่างใดอย่างหนึ่งของมัน ทุกรุ่น) แต่ความสำคัญของการวิเคราะห์ Dershowitz / Falkovic นั้น จำกัด เฉพาะการคำนวณฟังก์ชั่นตัวเลข

ข้อ จำกัด นี้น่าทึ่งเพราะทรัพยากรการคำนวณ STEM สมัยใหม่ส่วนใหญ่ (ฉันจะกล้าพูด) ไม่เคารพข้อ จำกัด ของฟังก์ชันตัวเลข แต่แทนที่จะอุทิศเพื่อสร้างตัวอย่างจากการแจกแจง (เช่นโมเลกุลพลศาสตร์การไหลของของเหลวปั่นป่วนการแตกหักแบบแพร่กระจาย ระบบปั่นที่มีเสียงดังทั้งแบบดั้งเดิมและแบบควอนตัมคลื่นที่แพร่กระจายผ่านสื่อสุ่ม ฯลฯ )

ดังนั้นหาก "วิทยานิพนธ์ของคริสตจักรขยายทัวริง" (ECT) จะมีความเกี่ยวข้องอย่างมากกับการคำนวณ STEM ในวงกว้างอาจเป็นข้อ จำกัด เฉพาะสำหรับฟังก์ชันตัวเลขที่ควรยกขึ้นและให้แถลงทั่วไปของ ECT ที่ครอบคลุมการสุ่มตัวอย่าง การคำนวณ (และการตรวจสอบความถูกต้องและการตรวจสอบ)

รุ่น ECT ที่มีการสุ่มตัวอย่างแบบทั่วไปนี้จะยังคงตกอยู่ในขอบเขตของ TCS ตามที่คิดกันมาหรือไม่? คำตอบที่ดูเหมือนคือ "ใช่" ตามคำถามที่พบบ่อยของ TCS Stack Exchange :

เราแนะนำคุณเกี่ยวกับคำอธิบายของกลุ่มผลประโยชน์พิเศษ ACM เกี่ยวกับอัลกอริทึมและทฤษฎีการคำนวณ (SIGACT) ... TCS ครอบคลุมหลากหลายหัวข้อรวมถึงการคำนวณความน่าจะเป็น ... การทำงานในฟิลด์นี้ [TCS] มักจะโดดเด่นด้วยการเน้นทางคณิตศาสตร์ เทคนิคและความแม่นยำ

$\text{ECTT}$$\{0,1,+,\times\}$$\text{ECTT}$ซึ่งบอกว่าเพรดิเคตของความมีเหตุผลมีความพึงพอใจโดยรุ่นที่มีการแปลเวลาพหุนามเป็นเครื่องทัวริง ในฐานะที่เป็นสัจพจน์มันไม่สามารถพิสูจน์ได้ในแง่ของทฤษฎีของเราที่จะสามารถโต้แย้งได้ตราบใดที่ทฤษฎีนั้นสอดคล้องกับการเริ่มต้น แต่ความสมบูรณ์ของทฤษฎีของเรานั้นเป็นเท็จ: มีรูปแบบการคำนวณที่สมเหตุสมผลซึ่งไม่เกี่ยวข้องกับ เครื่องทัวริงโดยการแปลเวลาพหุนาม การอนุญาตให้การค้นพบสมมติฐานนี้อาจเกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนความคิดเกี่ยวกับสิ่งที่สมเหตุสมผลนั่นคือวิธีที่ฉันเห็นด้านที่เป็นทางการ ดูเหมือนเล็กน้อยในการหวนกลับ แต่ฉันคิดว่ามันเป็นจุดสำคัญในการวิเคราะห์คณิตศาสตร์จากทุกสิ่ง

$\text{ECTT}$$\text{BPP}$$\text{P}$$\text{ECTT}$$\text{P} \neq \text{BPP}$$\text{BPP}$$\text{ECTT}$$\text{P}$$\text{ECTT}$$\text{P} \neq \text{BQP}$$\text{ECTT}$$\text{ECTT}$$\text{BPP}$$\text{BQP}$$\text{P}$

ตัวอย่างเช่นสมมติว่าฉันอ้างว่าได้สร้างเครื่องขึ้นมาเพื่อระบุจำนวนและการใช้งานของเครื่องนั้นเป็นไปตามขอบเขตพหุนามเฉพาะ เครื่องอยู่ในกล่องคุณป้อนหมายเลขที่เขียนบนเทปกระดาษและพิมพ์ปัจจัยออกมา ไม่ต้องสงสัยเลยว่ามันใช้งานได้ดีเพราะฉันใช้เพื่อเอาชนะความท้าทาย RSA, ยึด cryptocurrency, ให้คุณเลือกจำนวนมาก ฯลฯ มีอะไรในกล่องบ้าง? มันเป็นคอมพิวเตอร์รูปแบบใหม่ที่น่าทึ่งหรือเป็นคอมพิวเตอร์ธรรมดาที่ใช้ซอฟต์แวร์ประเภทใหม่ที่น่าทึ่งใช่ไหม

$\text{ECTT}$$\text{ECTT}$

$\text{ECTT}$$\text{EXPTIME}$$\text{P}_\text{CTC} = \text{PSPACE}$$\text{ECTT}$$\text{P} \neq \text{PSPACE}$

$\text{P} \neq \text{NP}$$\text{ECTT}$$\text{P} \neq \text{P}_\text{CTC}$$\text{P} = \text{NP}$$\text{ECTT}$$\text{ECTT}$$\text{NP}$$\text{3SAT}$$\text{P}$

$\text{EXPTIME}$$\text{ECTT}$$\text{EXPTIME} \neq \text{P}$$\text{ECTT}$

$\text{ECTT}$$\text{P} = \text{BPP}$$\text{ECTT}$$\text{P} \neq \text{BQP}$

$\text{ECTT}$$\{\in\}$$\text{ECTT}$$\{\in\}$

$\text{ECTT}$