การแลกเปลี่ยนพื้นที่เวลาสำหรับปัญหาองค์ประกอบที่ขาดหายไป

นี่เป็นปัญหาที่รู้จักกันดี

รับอาร์เรย์$A[1\dots n]$ของจำนวนเต็มบวกเอาท์พุทจำนวนเต็มบวกที่เล็กที่สุดที่ไม่ได้อยู่ในอาร์เรย์

ปัญหาสามารถแก้ไขได้ในพื้นที่และเวลา$O(n)$ : อ่านอาร์เรย์ติดตามในพื้นที่ไม่ว่าจะเป็นเกิดขึ้นสแกนหาองค์ประกอบที่เล็กที่สุด$O(n)$$1,2,\dots,n+1$

ฉันสังเกตเห็นว่าคุณสามารถแลกเปลี่ยนพื้นที่เวลา ถ้าคุณมีหน่วยความจำเท่านั้นคุณสามารถทำมันได้ในรอบและได้รับเวลา(kn) ในกรณีพิเศษมีอัลกอริทึมกำลังสอง - เวลาคงที่แน่นอน$O(\frac{n}{k})$$k$$O(k n)$

คำถามของฉันคือ:

สิ่งนี้เป็นการแลกเปลี่ยนที่ดีที่สุดหรือไม่คือ ? โดยทั่วไปแล้วเราจะพิสูจน์ขอบเขตดังกล่าวได้อย่างไร$\operatorname{time} \cdot \operatorname{space} = \Omega(n^2)$

สมมติว่ารุ่น RAM พร้อมเลขคณิตที่ จำกัด และการเข้าถึงอาร์เรย์ใน O (1) แบบสุ่ม

แรงบันดาลใจสำหรับปัญหานี้: แลกเปลี่ยนพื้นที่เวลาสำหรับ palindromes ในรูปแบบเทปเดียว (ดูตัวอย่างที่นี่ )

สิ่งนี้สามารถทำได้ใน$O(n \log n)$การทำงานของ word และ$O(1)$คำของหน่วยความจำ (ตามลำดับ$O(n \log^2 n)$เวลา)และ$O(\log n)$หน่วยความจำในรูปแบบ RAM ระดับบิต อันที่จริงการแก้ปัญหาจะขึ้นอยู่กับการสังเกตต่อไปนี้

พูดว่ามีเลขคี่$n_0$และ$n_1$ตัวเลขคี่อยู่ในช่วง$[1, n + 1]$ (ดังนั้น$n_0 \approx n_1$และ$n_0 + n_1 = n + 1$ ) จากนั้นก็มี$b \in \{0, 1\}$ซึ่งมีค่าสูงสุด$n_b - 1$มี parity $b$ในอินพุต แน่นอนมิฉะนั้นจะมีอย่างน้อย$n_0$แม้และอย่างน้อย$n_1$ค่าคี่ในอินพุตหมายความว่ามีอย่างน้อย$n_0 + n_1 = n + 1$ค่าในอินพุตความขัดแย้ง (มีเพียง$n$ของพวกเขา) หมายความว่าเราสามารถค้นหาหมายเลขที่หายไปได้เฉพาะในเลขคี่หรือเลขคู่เท่านั้น อัลกอริทึมเดียวกันสามารถนำไปใช้กับบิตที่สูงขึ้นของสัญกรณ์ไบนารีเช่นกัน

ดังนั้นอัลกอริทึมของเราจะเป็นดังนี้:

1. สมมติว่าตอนนี้เรามีค่า$x$เท่านั้นในอินพุตที่มีโมดูโลเหลือ$2^b$เท่ากับ$r \in [0, 2^b)$แต่มีอย่างน้อย$x + 1$หมายเลขในช่วง$[1, n + 1]$ที่มี เศษเหลือ$r$ modulo $2^b$ (ตอนเริ่มเรารู้ว่าแน่นอนสำหรับ$b = 0, r = 0$ )

2. สมมติว่ามีค่า$x_0$ในอินพุตพร้อมเศษเหลือ$r$ modulo $2^{b + 1}$และ$x_1$ค่าในอินพุตพร้อมเศษเหลือ$r + 2^b$ modulo $2^{b + 1}$ (เราสามารถหาตัวเลขเหล่านี้ในการส่งผ่านครั้งเดียวผ่านอินพุต) เห็นได้ชัดว่า$x_0 + x_1 = x$ x ยิ่งกว่านั้นเนื่องจากมีอย่างน้อย$x + 1$ตัวเลขในอินพุตพร้อมเศษเหลือ$r$ modulo $2^b$อย่างน้อยหนึ่งคู่$(r, b + 1), (r + 2^b, b + 1)$ตอบสนองความต้องการของขั้นตอนที่ 1$1$

3. เราพบจำนวนที่หายไปเมื่อ$2^b \geqslant n + 1$ : มีเพียงหมายเลขเดียวในช่วง$[1, n + 1]$ที่อาจมีเศษเหลือ$r$ modulo $2^b$ ( $r$ถ้าอยู่ในช่วง) ดังนั้นจึงมี ค่าศูนย์ส่วนใหญ่ในอินพุตที่มีเศษเหลือ ดังนั้น$r$แน่นอนที่ขาดหายไป

เห็นได้ชัดว่าอัลกอริทึมหยุดในขั้นตอน$O(\log n)$แต่ละอันนั้นต้องการเวลา$O(n)$ (การส่งผ่านครั้งเดียวผ่านอาร์เรย์อินพุต) ยิ่งไปกว่านั้นต้องใช้หน่วยความจำ$O(1)$คำเท่านั้น

ถ้าฉันเข้าใจคำจำกัดความของคุณสิ่งนี้สามารถทำได้ในเวลาเชิงเส้นด้วยพื้นที่คงที่ เห็นได้ชัดว่านี่คือขอบเขตที่ต่ำที่สุดเนื่องจากเราต้องอ่านอินพุตทั้งหมดอย่างน้อย

คำตอบที่ให้ในคำถามนี้ตอบสนอง

เป็นไปไม่ได้ที่จะเรียกใช้งานโดยใช้เวลาหรือพื้นที่น้อยลงและการเพิ่มเวลาหรือพื้นที่เพิ่มเติมนั้นไร้ประโยชน์ดังนั้นจึงไม่มีการแลกเปลี่ยนเวลาว่างที่นี่ (สังเกตว่าดังนั้นการแลกเปลี่ยนที่คุณสังเกตเห็นจะไม่ถือ asymptotically ไม่ว่าในกรณีใด ๆ )$n=O(n/k)$

ในแง่ของคำถามทั่วไปของคุณฉันไม่รู้ทฤษฎีบทที่ดีใด ๆ ซึ่งจะช่วยคุณพิสูจน์การแลกเปลี่ยนเวลาว่าง ดูเหมือนคำถามนี้จะระบุว่าไม่มีคำตอบง่ายๆ (รู้) โดยทั่วไป:

สมมติว่าภาษาบางภาษาสามารถถอดรหัสได้ในเวลา (ใช้พื้นที่จำนวนหนึ่ง) และพื้นที่s (ใช้เวลาสักครู่) เราสามารถหาf , gซึ่งLสามารถถอดรหัสได้โดยMซึ่งทำงานในเวลาf ( t , s )และพื้นที่g ( t , s ) ?$t$$s$$f,g$$L$$M$$f(t,s)$$g(t,s)$

ไม่เป็นที่รู้จักและคำตอบที่ดีจะแก้ปัญหาเปิดมากมาย (โดยเฉพาะอย่างยิ่งเกี่ยวกับเซาท์แคโรไลนา) ซึ่งหมายความว่าไม่มีวิธีแก้ปัญหาที่ง่าย

แก้ไข: ตกลงด้วยการทำซ้ำ (แต่ฉันยังคงสมมติว่าด้วยการป้อนขนาดจำนวนที่เป็นไปได้สูงสุดคือn + 1 )$n$$n+1$

สังเกตว่าอัลกอริทึมของเราจะต้องสามารถแยกความแตกต่างระหว่างคำตอบที่เป็นไปได้อย่างน้อยสมมติว่าในแต่ละผ่านข้อมูลที่เราจะได้รับมากที่สุดkชิ้นส่วนของข้อมูล จากนั้นเราจะต้องผ่านn / kเพื่อแยกคำตอบทั้งหมด สมมติว่าk = n / sจากนั้นเราก็วิ่งใน$n$$k$$n/k$$k=n/s$เวลา ดังนั้นฉันคิดว่านี่พิสูจน์สิ่งที่คุณต้องการ$\frac{n}{n/s}n=sn$

ความยากลำบากในการแสดงให้เห็นว่าในแต่ละครั้งที่เราได้รับเพียงบิต หากคุณคิดว่าการดำเนินการทางกฎหมายเพียงอย่างเดียวของเราคือ = แสดงว่าเราดี อย่างไรก็ตามหากคุณอนุญาตการดำเนินการที่ซับซ้อนมากขึ้นคุณจะสามารถรับข้อมูลเพิ่มเติมได้$k$