ค้นหาอย่างน้อยสองเส้นทางที่มีความยาวเท่ากันในกราฟกำกับ

สมมติว่าเรามีที่กำกับกราฟและสองโหนดและBฉันต้องการทราบว่ามีอัลกอริทึมสำหรับคำนวณปัญหาการตัดสินใจต่อไปนี้หรือไม่:A $G=(V,E)$$A$$B$

มีอย่างน้อยสองเส้นทางระหว่างและที่มีความยาวเท่ากันหรือไม่?$A$$B$

แล้วความซับซ้อนล่ะ? ฉันจะแก้มันในเวลาพหุนามได้หรือไม่?

ฉันต้องการเพิ่มข้อ จำกัด ใหม่บนกราฟบางทีปัญหาอาจแก้ไขได้มากกว่า ในเมทริกซ์คำคุณศัพท์ทุกคอลัมน์ไม่ว่างเปล่า ดังนั้นทุกโหนดมีลูกศรอย่างน้อยหนึ่งลูกที่อินพุตและมีอย่างน้อยหนึ่งโหนดที่เชื่อมต่อกับตัวเอง ดังนั้นถ้าโหนดคือโหนด th ดังนั้นคือขอบในกราฟ( ฉัน, ฉัน$i$$(i,i)$

พิจารณากราฟเราต้องการทราบว่ามีสองเส้นทางที่แตกต่างจากถึงที่มีความยาวเท่ากันหรือไม่ จะทำอย่างไร? ง่าย: โค้ดสองเส้นทางในหนึ่งเดียว กำหนดกราฟมีจุด\} คุณทำขั้นตอนในโดยทำสองขั้นตอนอิสระใน ' บิตเพิ่มเติมจะบอกคุณว่าสองพา ธ ได้แยกจากกันหรือไม่A B G ′ V × V × { 0 , 1 } G ′$G$$A$$B$$G'$$V \times V \times \{0,1\}$$G'$$G$

เป็นทางการมีขอบใน iff ,ในและ(เจเจ)G ′ฉัน→ ฉัน′ j → j ′ G e ′ = e ∨ $(i,j,e) \to (i',j',e')$$G'$$i \to i'$$j \to j'$$G$$e'=e ∨ (i,i')≠(j,j')$

ขั้นตอนวิธีการตรวจสอบหากมีเส้นทางเพื่อในซึ่งเป็นหรือสิ่งที่ต้องการ2)( B , B , 1 ) G ′ O ( V $(A,A,0)$$(B,B,1)$$G'$O ( ( V + E ) 2$O(V^4)$$O((V+E)^2)$

หากคุณยอมรับว่าอัลกอริทึมนี้ถูกต้องดังนั้นเส้นทางในมีความยาวไม่เกินดังนั้น "การชนกันของเส้นทาง" ที่อาจเกิดขึ้นจะต้องเกิดขึ้นล่าสุดในระยะเวลานั้น คุณสามารถรับอัลกอริทึมจากการสังเกตนี้โดยที่คือความซับซ้อนในการคูณเมทริกซ์ (ถามว่าคุณต้องการสปอยเลอร์ ... ) 2 n $G'$$2n^2$$O(V^{\omega} \log V)$$\omega$

ฉันรู้สึกว่ามีอัลกอริทึมซึ่งใช้โครงสร้างของปัญหามากขึ้น$O(V+E)$

อาจเป็นคำตอบสำหรับปัญหานี้ แต่ฉันไม่แน่ใจว่ามันใช้งานได้

มันไม่สำคัญที่จะ "ค้นหา" ทั้งสองเส้นทางสิ่งเดียวที่สำคัญคือ "รู้" ถ้าพวกมันมีอยู่จริงหรือไม่ ฉันไม่คิดว่านี่เป็นปัญหาที่สมบูรณ์ของปัญหา

ดังนั้นใช้ถ้อยคำเมทริกซ์เราสามารถสมมติว่ามันเต็มไปด้วยค่า 0,1 (0 = ไม่มีขอบ; 1 = มีขอบ) ลองใช้พีชคณิตต่อไปนี้กับ 3 ค่า (0,1,2) ซึ่งทุกอย่างทำงานได้ตามปกติยกเว้น: ; 2 + <something> = 2 2 ∗ <อะไรก็ตามที่มากกว่า 0> = $\textbf A$$2+\text{<something>} = 2$$2*\text{<whatever greater than 0>} = 2$

ดังนั้นถ้ามีสองเส้นทางของความยาวเดียวกันจากผมคาดหวังว่าจะมีค่าเช่นว่า2$i,j$$p$$(\textbf A^p)_{i,j} = 2$

ให้คือจำนวนจุดยอดในกราฟ (หรือสมมุติว่ามีส่วนข้อมูล ) ฉันไม่รู้คุณค่าของแต่ถ้าฉันทำซ้ำโดยคูณกับตัวมันเองเป็นอย่างมากฉันควรหาคำตอบ (ดังนั้น ) (ความรู้สึกคือฉันตรวจสอบจากนั้นฉันตรวจสอบจากนั้นฉันตรวจสอบและอื่น ๆ ... )A n × n p A n 2 p < n 2 A A 2 A $n$$\textbf A$$n\times n$$p$$\textbf A$$n^2$$p<n^2$$\text A$$\text A^2$$\text A^3$

นี่คือการโต้แย้งของฉัน:

• หากทั้งสองเส้นทางเป็นเส้นทางที่เรียบง่ายก็ใช้งานได้; ถ้ามีอย่างมากฉันต้องทำซ้ำครั้ง$n$
• หากมีอย่างน้อยหนึ่งรอบ neasted หรือมีเส้นทางที่มีสองรอบดีฉันต้องค้นหาตัวคูณร่วมน้อย (LCM) เป็นค่าที่มากขึ้นอย่างแน่นอนและในเวลาน้อยกว่าn 2ครั้งหากมีฉันควรจะต้องหามัน$n^2$$n^2$
• หากทั้งสองเส้นทางเป็นสองเส้นทางที่แตกต่างกันทั้งสองมีรอบเดียวมันมากหรือน้อยคล้ายกับการหาทางออกสำหรับสมการนี้สอง: โดยที่mและkเป็นความยาวของทั้งสองที่แตกต่างกัน รอบ คูณเมทริกซ์คิวตามที่ระบุไว้ข้างต้นว่า "มีเส้นทางจากฉันไปมีความยาว ?" ดังนั้นถ้าคือกระต่ายขูดกว่าก็หมายความว่ามีเส้นทางอื่น ๆ ชั้นนำจากไปเจโดยทำซ้ำเมทริกซ์$\alpha + \beta m = \gamma + \delta k$$m$$k$$\text A^q$$i$คิวQ 1 ฉันเจn 2 δ บีตาL C M ( , ข) ( * ข) / G C D ( , ข) $j$$q$$\textbf A^q$$1$$i$$j$$n^2$ครั้งที่เราผ่านทั้งหมดรวมกันเป็นไปได้ของและ\แท้จริงถูกกำหนดให้เป็นและไม่มีวงจรสามารถมีค่ามากกว่าn$\delta$$\beta$$LCM(a,b)$$(a*b)/GCD(a,b)$$n$

ฉันหยุดที่จะย้ำเมื่อฉันพบ2$(\textbf A^p)_{i,j} = 2$

ฉันผิดหรือเปล่า